2020届高三数学(文理)复习《椭圆》专题练

《椭圆》专题
专题 1 椭圆的定义及其应用
1．过椭圆 4x 2＋ y 2＝ 1 的一个焦点 F 1 的直线与椭圆交于 A ， B 两点，则 A 与 B 和椭圆的另一个焦点
F 2 组成的△ ABF 2 的周长为
2．已知动点 P(x ，y)的坐标知足
x 2＋ y ＋ 7 2＋ x 2＋ y －7 2＝16，则动点 P 的轨迹方程为 ________．
3．如下图，一圆形纸片的圆心为 O ，F 是圆内必定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使
M 与 F
重合，而后抹平纸片，折痕为
CD ，设 CD 与 OM 交于点 P ，则点 P 的轨迹是 (
)
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
专题 2 椭圆的标准方程
2.1
利用椭圆定义求椭圆的标准方程
1．已知动点 M 到两个定点 A(－ 2,0)， B(2,0)的距离之和为 6，则动点 M 的轨迹方程为
2．在△ ABC 中， A(－ 4,0)， B(4,0)，△ ABC 的周长是 18，则极点 C 的轨迹方程是
x 2
y 2
y 2 x 2
x 2 y 2
y 2 x 2 A. 25＋ 9 ＝1(y ≠ 0)
B ． 25＋
9 ＝ 1(y ≠ 0) C.
16＋ 9 ＝ 1(y ≠ 0) D ． 16＋ 9 ＝ 1(y ≠ 0)
3．已知两圆 C 1： (x － 4)2＋ y 2＝ 169， C 2： (x ＋ 4)2＋ y 2＝ 9，动圆在圆 C 1 内部且和圆 C 1 相内
切，和圆
C 2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为
1
： (x ＋ 3) 2
＋ y 2＝ 1 外切，且与圆 C 2 2
＋y 2＝81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方
4．（同 3）与圆 C ： (x －3)
程为 _______．
于点 P ，则动点 P 的轨迹方程为
2 2
3
，过 F 2 的直线 l 交 C
6．已知椭圆 C ： x 2＋ y
2＝ 1(a ＞ b ＞0)的左、右焦点分别为
F 1、 F 2，离心率为
a b
3
于 A 、 B 两点．若△ AF 1
的周长为 4 3，则 C 的方程为 B
1 ，B 是圆 x － 1
2 2
AB 的垂直均分线交 BF
7．（同 5）已知 A － ， 0
2
＋ y ＝ 4(F 为圆心 )上一动点，线段
2
于点 P ，则动点 P 的轨迹方程为 ________．
3
8．已知椭圆 G 的中心在座标原点，长轴在
x 轴上，离心率为
2 ，且椭圆 G 上一点到两个焦点的距
离之和为 12，则椭圆 G 的方程为
2.2
利用待定系数法求椭圆标准方程
1．若直线 x － 2y ＋ 2＝ 0 经过椭圆的一个焦点和一个极点，则该椭圆的标准方程为 ________．
2．已知椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点，则椭圆 C 的标准方程为 ____________．
3．已知椭圆的中心在原点，离心率 e ＝ 1
，且它的一个焦点与抛物线
y 2＝－ 4x 的焦点重合，则此椭
2
圆方程为
4．设椭圆
x 2 y 2
y 2
＝ 16x 的焦点同样，离心率为
6
，则此椭圆的方程 a 2
＋
2＝ 1(a>b>0) 的右焦点与抛物线
3
b
为 ________．
3
5．已知椭圆的中心在座标原点，长轴长是
8，离心率是 4，则此椭圆的标准方程是
6．已知椭圆
C 的中心在原点，一个焦点 F(－ 2，0)，且长轴长与短轴长的比是 2∶ 3，则椭圆 C 的
方程是 ________________ ．
y 2 x 2 7．过点 ( 3，－ 5)，且与椭圆 25＋
9 ＝ 1 有同样焦点的椭圆的标准方程为________．
x 2 y 2
8．过点 A(3，－ 2)且与椭圆 ＋
＝1 有同样焦点的椭圆的方程为
9 4
9．与椭圆 9x 2＋ 4y 2＝ 36 有同样焦点，且短轴长为
2 的椭圆的标准方程为
10．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点
－3
， 5 ，( 3， 5)，则椭圆方程
2 2
为
11．与椭圆 x
2 ＋ y 2
＝ 1 有同样的离心率且经过点 (2，－ 3)的椭圆方程为 4
3
12．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为
10，一个焦点的坐标是 ( － 5，0)，则椭圆的
标准方程为 ________．
13．已知椭圆
x 2 y 2
3 的直线 l 交 C
C ：
2
＋
2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为
，过 F 2
a b
3
于 A ， B 两点，若△ AF 1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为
14．椭圆 E 的焦点在 x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个极点和两个焦点恰为边长是
2 的正方形
的极点，则椭圆
E 的标准方程为
15．已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且
P 到两焦点的距离分别为
5,3，过 P 且与长轴垂直
的直线恰过椭圆的一个焦点的椭圆的标准方程为
________．
16．已知中心在座标原点的椭圆过点
A(－ 3,0)，且离心率
e ＝ 35
，则椭圆的标准方程为
________．
5
17．已知椭圆的中心在原点， 焦点在 x 轴上，离心率为 5
，且过 P(－ 5,4)，则椭圆的方程为 ________．
x 2 y 2
18．已知椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的长轴长为
6，且两焦点恰巧将长轴三均分，则此椭圆的标准
方程为
19．一个椭圆的中心在原点，焦点 F 1，F 2 在 x 轴上， P(2， 3)是椭圆上一点，且 |PF 1|，|F 1F 2|， |PF 2| 成等
差数列，则椭圆的标准方程为
x 2 y 2
20．设 F 1，F 2 为椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点，经过 F 1 的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，
若△ F 2
21．已知椭圆 x 2 y 2 ， F 2 分别为椭圆的左 、右焦点， A 为椭圆的上极点，直线 AF 2
a 2＋
b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)， F 1
交椭圆于另一点 B ．
→
→
→ → (1) 若∠ F 1AB ＝ 90°，求椭圆的离心率； (2) 若AF 2＝ 2F 2B ， AF 1·AB ＝ 3
，求椭圆的方程．
2
专题 3 椭圆的几何性质
3.1 辨别椭圆有关性质观点
x 2
y 2
1．椭圆 16＋ 25＝1 的焦点坐标为
2．已知椭圆的标准方程为 x 2
＋
y 2
＝ 1，则椭圆的焦点坐标为 10
x 2
y 2
3．椭圆 10－m ＋ m － 2＝1 的焦距为
4，则 m 等于
4．椭圆以两条坐标轴为对称轴， 一个极点是 (0,13) ，另一个极点是 (－ 10,0)，则焦点
坐标为 ________．
2
＋ y 2
2
2
5．曲线 C 1：
x
＝ 1 与曲线 C 2： x ＋ y ＝1(k<9)的 (
)
25 9
25－ k 9－ k
A ．长轴长相等
B ．短轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
6．已知椭圆
x 2 2
2＋ y 2＝ 1(a>b>0) 的一个焦点是圆
x 2＋ y 2－ 6x ＋ 8＝ 0 的圆心， 且短轴长为 8，则椭圆的左
a b
极点为 ____________．
x 2
y 2
4
7．椭圆 9 ＋ 4＋ k ＝ 1 的离心率为 5，则 k 的值为
x 2
8．椭圆 4 ＋ y 2＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1 ，F 2，过 F 1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆订交，一个交点
为 P ，则 |PF 2|等于
9．椭圆 mx 2＋ ny 2 ＋mn ＝ 0(m ＜n ＜ 0)的焦点坐标是
3.2 求离心率的值 ( 或范围 )
x 2 y 2
1．椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 的离心率是
x 2 y 2
2．若椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为
x 2 y 2
3．已知椭圆 C ： a 2＋ 4 ＝ 1 的一个焦点为 (2,0)，则 C 的离心率为 ________．
4．已知椭圆 C ：
x 2
2 ＝1(a ＞ b ＞ 0)和直线 l ：x ＋ y
＝1，若过 C 的左焦点和下极点的直线与直线
2＋
y
2
l 平
a b
4 3
行，则椭圆 C 的离心率为
x 2 y 2
m － 3，则此椭圆的离心率为
5．若椭圆 ＋
＝ 1 上一点到两焦点的距离之和为
4 m
x 2 y 2
6．焦点在 x 轴上的椭圆方程为
a 2＋
b 2＝ 1(a>b>0) ，短轴的一个端点和两个焦点相连组成一个三角形，
该三角形内切圆的半径为
b
3，则椭圆的离心率为
7．若一个椭圆长轴的长 、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是
8．如图， F 1， F 2 是双曲线 C 1： x 2
－
y 2 的公共焦点，点 A 是 C 1， C 2 在第一象限内的交
＝1 与椭圆 C 2
8
点，若 |F 1F 2|＝ |F 1 A|，则 C 2 的离心率是
2 4 A.
3 B. 5 3
2 C. 5
D. 5
x 2 y 2
9．已知 F 是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左焦点， A 为右极点， P 是椭圆上的一点， PF ⊥ x 轴，
若 |PF|＝
3
4|AF |，则该椭圆的离心率是 ________．
x 2 y 2
10．已知椭圆 a 2 ＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)的左焦点为 F ，右极点为 A ，点 B 在椭圆上， 且 BF ⊥x 轴，直线 AB
―→ ―→
交 y 轴于点 P.若 AP ＝ 2 PB ，则椭圆的离心率是
2
2
11．设椭圆
x
＋ y
＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为 F 12
2 1 2
，
C ：a 2 b 2
， F
，P 是 C 上的点， PF ⊥ F F ∠PF 1 2
°，则 C 的离心率为
F ＝ 30
12．已知 F 1， F 2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点．若 PF 1⊥ PF 2，且∠ PF 2F 1＝ 60°，则 C 的
离心率为
13． P 是椭圆 x 2 y
2 1
a 2＋
2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)上的一点， A 为左极点， F 为右焦点， PF ⊥ x 轴，若 tan ∠ PAF ＝ ，
b 2
则椭圆的离心率
e 为
2
2
x ＋
y
＝ 1(a>b>0) 的左、右极点分别为 A 1
2
1 2 为直径的圆与直线
a
b
bx － ay ＋ 2ab ＝ 0 相切，则 C 的离心 率为
15．已知椭圆
x 2 y 2
1
，其焦点分别为 A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任 a 2＋
2＝ 1(a>b>0) 的离心率等于
3
b
意一点，则在△
ABC 中， sin A ＋ sin B ＝________.
sin C
16．已知椭圆 x 2 y 2
M ，上极点为 N ，右焦点为 ―→ ―→
＝0，则椭圆
a 2＋ 2＝ 1(a ＞
b ＞ 0)的左极点为
F ，若 NM ·NF
b
的离心率为
17．已知 F 1，F 2 是椭圆 C ：
x 2
2
2＋ y
2＝ 1(a ＞ b ＞0)的左 、右焦点， A 是 C 的左极点，点
P 在过 A 且斜
a
b
率为
3
的直线上，△ PF 1
2
为等腰三角形，∠
1 2
°，则 C 的离心率为
6
F
F F P ＝120
x 2 y 2
18．设椭圆 C ：a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 订交于 A ， B 两点，直线
l 的倾斜角为 →→
60°， AF ＝2FB.则椭圆 C 的离心率是 ________．
- 8 -
3
19．椭圆 C 的两个焦点分别是
F 1，F 2，若 C 上的点 P 知足 |PF 1|＝ 2|F 1F 2|，则椭圆
C 的离心率 e 的取
值范围是
x 2 y 2
20．在椭圆 a 2＋ b 2 ＝ 1(a>b>0)中， F 1，F 2 分别是其左、 右焦点， 若 |PF 1|＝ 2|PF 2|，则该椭圆离心率
的取值范围是
2 2
21．过椭圆 C ：
x
2＋ y
2＝ 1(a>b>0) 的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆
C 于另一个点 B ，且点 B 在 x
a b
轴上的射影恰巧为右焦点
1 1 __________.
F 2，若 <k< ，则椭圆的离心率的取值范围是
3
2
x 2 y 2
22．如图，椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 2 的直线交椭圆于 P ， Q 两点，
且 PQ ⊥PF 1.
(1) 若 |PF 1 |＝ 2＋ 2， |PF 2|＝ 2－ 2，求椭圆的标准方程；
(2) 若 |PF 1 |＝ |PQ|，求椭圆的离心率 e.
3.3 求参数的值 ( 或范围 )
x 2 y 2 1 ，则 m 的值为 ________．
1．若焦点在 ＋ ＝ 1 的离心率为 2 y 轴上的椭圆 m
2 2
2 x y
2．若方程
＋ ＝ 1 表示椭圆，则 m 的取值范围是 5－m m ＋ 3
x 2 y 2 k 的取值范围是 3．已知方程 ＋ ＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 2－ k 2k － 1
4．方程 kx 2＋ 4y 2＝ 4k 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是
5．若 x 2＋ky 2 ＝2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数
k 的取值范围是 ________．
x 2
y 2 6．假如方程 a 2＋ a ＋ 6＝ 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是 ________．
x 2 ＋ y 2 ＝ 1 表示椭圆”的 ()
7． “ 2<m<6”是“方程 m － 2 6－ m
A ．充足不用要条件
B ．必需不充足条件
C ．充要条件
D ．既不充足也不用要条件
2 8．已知椭圆 mx 2＋ 4y 2＝ 1 的离心率为
2 ，则实数 m 等于
x 2 y 2
2 9．设 e 是椭圆 4 ＋ k ＝1 的离心率，且 e ＝ 3，则实数 k 的值是 ________．
10．“ m ＞n ＞ 0”是“方程 mx 2＋ ny 2＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 ()
A ．充足而不用要条件
B ．必需而不充足条件
C ．充要条件
D ．既不充足也不用要条件
2 2
x ＋ y ＝ 1(0<b<2) 的左、右焦点分别为 F 12
1 的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点，
11．已知椭圆 4 b 2 ，F ，过F -10-
若 |BF 2|＋ |AF 2|的最大值为 5，则 b 的值是
12．已知动点 M 到定点 F 1(－ 2,0)和 F 2(2,0)的距离之和为
4 2.
(1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程；
(2) 设 N(0,2)，过点 P( － 1，－ 2)作直线 l ，交 C 于不一样于 N 的两点 A ， B ，直线 NA ， NB 的斜率分别为 k 1， k 2，求 k 1＋ k 2 的值．
3.4 焦点三角形
x 2 y 2
1．椭圆 C ：25＋ 16＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 2 的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，则△ F 1AB 的周长为 ________．
2．过椭圆
x 2 作直线 l 交椭圆于 A ， B 两点， F 2 是椭圆右焦点，则△ ABF 2 的周长 ＋ y 2＝ 1 的左焦点 F 1 4
为
3．已知△ ABC 的极点 B ， C 在椭圆
x 2＋ y 2＝ 1 上，极点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的此外一个焦 3
点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 ________．
4．已知点 F 1，F 2 分别为椭圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 的左、右焦点，若点 P 在椭圆 C 上，且∠ F 1PF 2＝ 60°， 4 3
则 |PF 1|· |PF 2|＝
-11-
12
x2 ＋ y2 ＝ 1 的两个焦点， A 为椭圆上一点，且∠ AF 1 2 1 2
的面积为5．F ，F 是椭圆9 7 F ＝45 °，则△ AF F
6．如图，椭圆x 2 2
2＋
y ＝ 1(a＞ 2)的左、右焦点分别为 F
1，F2，点 P 是椭圆上的一点，若∠ F 1PF2＝ 60°，a 4
那么△ PF1 F2的面积为
x2y2
7．已知 F1， F2是椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞ b＞ 0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△ PF 1F2的面积为 9，则 b＝ ________.
x2y2|PF2| 8．设 F 1， F2为椭圆9＋5＝ 1 的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF1|的值为
x2y2
9．已知 F1， F2是长轴长为 4 的椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，则△ PF1 F2面积的最大值为________．
x2 ＋ y2 ＝1 上一点， F1 2
分别是椭圆的左焦点和右焦点，1 2
于点 H，
10．P 为椭圆25 9 ，F 过 P 点作 PH⊥F F 若 PF1⊥PF2，则 |PH |＝
-12-
x 2 ＋ y 2 ＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1 2 → 1 → 2＝ 9，则 |PF 12
| 11．设椭圆 16 12 ，F ，点 P 在椭圆上， 且知足 PF ·PF
| ·|PF 的值为
x 2 y 2
12．椭圆 9 ＋ 2 ＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1， F 2，点 P 在椭圆上，若 |PF 1|＝ 4，则∠ F 1PF 2 的大小为
-13-。