圆锥曲线解题方法与题型(含解析)

代入 y2=4x 得 x= 1 ，∴Q( 1 ,1 )
4
4
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
例 2、F 是椭圆 x 2 + y 2 = 1 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆 43
一动点。
（1） PA + PF 的最小值为 （2） PA + 2 PF 的最小值为
+9 4 x02
= (4x02
+ 1) + 9 −1 4x02 + 1
≥ 2 9 −1 = 5,
y0
≥
5 4
当 4x02+1=3
即
x0 = ±
2 2
时， ( y0 ) min
=
5 4
此时 M (±
2 , 5) 24
法二：如图， 2 MM 2 = AA2 + BB2 = AF + BF ≥ AB = 3
即 y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )，（注：另一交点为( 1 ,− 2 )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点， 2
舍去）
3
圆锥曲线解题方法与题型（解析）
（2）（ 1 ,1 ） 4
过 Q 作 QR⊥l 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时， BQ + QF = BQ + QR 最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，
y AP
F0 F ′
上
H x
分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 PF ′ 或准线作出来考虑问题。
解：（1）4- 5 设另一焦点为 F ′ ，则 F ′ (-1,0)连 A F ′ ,P F ′ PA + PF = PA + 2a − PF ′ = 2a − ( PF ′ − PA ) ≥ 2a − AF ′ = 4 − 5
∴ MM 2
≥
3， 2
即 MM1
+1≥ 4
3， 2
∴
MM 1
≥
5， 4
当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。
∴M 到 x 轴的最短距离为 5 4
y M
B
A A1 0 M1 B1 x
A2
M2 B2
点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消 x1，x2，从而形成 y0 关于 x0 的函数，这是一种“设而 不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离， 再利用梯形的中位线，转化为 A、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形 “压扁”时，QQ 群 557619246 两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点， 即没有验证 AB 是否能经过焦点 F，而且点 M 的坐标也不能直接得出。
（1）
x a
2 2
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)
与直线相交于
A、B，设弦
AB
中点为
M(x0,y0)，则有
x0 a2
+ y0 b2
k
= 0 。(其
中 K 是直线 AB 的斜率)
（2）x 2 a2
−
y2 b2
=
1(a
>
0, b
>
0)
与直线
l
相交于
A、B，设弦
AB
中点为
M(x0,y0)则有
x0 a2
− y0 b2
当 P 是 F ′ A 的延长线与椭圆的交点时, PA + PF 取得最小值为 4- 5 。
（2）作出右准线 l，作 PH⊥l 交于 H，因 a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e= 1 ， 2
∴ PF = 1 PH ,即2 PF = PH 2
∴ PA + 2 PF = PA + PH
当
中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接
简明。 2、韦达定理法
1
圆锥曲线解题方法与题型（解析）
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问 题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是 弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出
(x + 1)2 + y 2 + (x − 1)2 + y 2 = 4 ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！
例 4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= 3 sinA,求点 A 的轨迹方程。 5
则 d 表示点 P（x，y）到原点的距离；又如“ y − 3 ”，令 y − 3 =k，则 k 表示点 P（x、y）与点 A（-2，3）
x+2
x+2
这两点连线的斜率……
6、参数法
2
圆锥曲线解题方法与题型（解析）
（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式 求解。如 x 轴上一动点 P，常设 P（t，0）；直线 x-2y+1=0 上一动点 P。除设 P（x1,y1）外，也可直接 设 P（2y1-1,y1） （2）斜率为参数 当直线过某一定点 P(x0,y0)时，常设此直线为 y-y0=k(x-x0)，即以 k 为参数，再按命题要求依次列式求 解等。 （3）角参数 当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。 7、代入法中的顺序 这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件 P1,P2 求（或求 证）目标 Q”，方法 1 是将条件 P1 代入条件 P2，方法 2 可将条件 P2 代入条件 P1，方法 3 可将目标 Q 以待定的 形式进行假设，代入 P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选 择简易的代入法。 八、充分利用曲线系方程法
解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在
解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象
为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y”，令 2x+y=b，则 b 表示斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距；如“x2+y2”,令 x 2 + y 2 = d ，
所求轨迹方程为 x 2 − y 2 = 1 （x>3） 9 16
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。
分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设 A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及 中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径），可转化为边长的
关系。
解：sinC-sinB= 3 sinA 5
∴ AB − AC = 3 BC 5
2RsinC-2RsinB= 3 ·2RsinA 5
即 AB − AC = 6 （*）
∴点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4
3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称 为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的 两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0)，将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点 与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：QQ 群 557619246
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题
常用的八种方法
1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。
（2）双曲线有两种定义。第一定义中， r1 − r2 = 2a ，当 r1>r2 时，注意 r2 的最小值为 c-a：第二定义
的 MC = MD ）。
y C
M D A 0B 5 x
解：如图， MC = MD ，
∴ AC − MA = MB − DB即6 − MA = MB − 2
4
∴ MA + MB = 8 （*）
圆锥曲线解题方法与题型（解析）
∴点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15 轨迹方程为 x 2 + y 2 = 1 16 15
一、定义法【典型例题】
例 1 、 (1) 抛 物 线 C:y2=4x 上 一 点 P 到 点 A(3,4 2 ) 与 到 准 线 的 距 离 和 最 小 , 则 点 P 的 坐 标 为
______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为
A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为
a2 c
−
xA
=
4 −1 =
3
例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方 程。
分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中
的 A、M、C 共线，B、D、M 共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中
方 程 中 ， 得 到 型 如 ax 2 + bx + c = 0 的 方 程 ， 方 程 的 两 根 设 为 x A ， xB ， 判 别 式 为 △ ， 则
| AB|=
1 + k 2 ·| xA − xB |=
1 + k 2· △ ，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 |a|
5、数形结合法
二、韦达定理法【典型例题】
例 6、已知椭圆 x 2 + y 2 = 1(2 ≤ m ≤ 5) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次交 m m −1
6
圆锥曲线解题方法与题型（解析）
于 A、B、C、D、设 f(m)= AB − CD ,（1）求 f(m),（2）求 f(m)的最值。
分析：此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何运算，因 A、B 来源于“不同系统”，A 在准线上，B 在椭圆上，同样 C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到 x 轴上，立即可得 防
k
= 0 (其
中 K 是直线 AB 的斜率)
（3）y2=2px（p>0）与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p. (其中 K 是 直线 AB 的斜率)
4、弦长公式法
弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是：把直线方程 y = kx + b 代入圆锥曲线
圆锥曲线解题方法与题型（解析）
圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解）
总论：常用的八种方法
1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法
七种常规题型
（1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。
解法一：设 A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB 中点 M(x0，y0)
则
⎪⎨⎧(xx11+−xx22
)2 =
+( 2x0
x12
−
x22 ) 2
=9
⎪ ⎩
x12
+
x22
=
2 y0
① ② ③
由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 5
即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
∴ 4y0
− 4x02
=
9 1 + 4x02
，
圆锥曲线解题方法与题型（解析）
4 y0
= 4x02
分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则 PH = PF ，因而易发现，
H A、P、F 三点共线时，距离和最小。
（2）B 在抛物线内，如图，作 QR⊥l 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时， 离和最小。
。
QA
当
P
B
F
距
解：（1）（2， 2 ）
连 PF，当 A、P、F 三点共线时， AP + PH = AP + PF 最小，此时 AF 的方程为 y = 4 2 − 0 (x −1) 3−1