基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点总结
向量不等式：
注意： a b 、
同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+； a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+.这些和实数集中类似
代数不等式：
,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.
绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤
双向不等式：a b a b a b -±+≤≤
左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.
放缩不等式：
①00a b a m >>>>，,则b m b b m
a m a a m
-+<<-+. 说明：
b b m a a m
+<+0,0a b m >>>,糖水的浓度问题. 拓展：，则，，000>>>>n m b a b
a n
b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b
c R +
∈,
b d a
c <,则b b
d d
a a c c
+<<+； ③n N +∈
<
< ④,1n N n +∈>,211111
11n n n n n
-
<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x
e x +≥()x R ∈.
函数()(0)b
f x ax a b x
=+>、图象及性质
1函数()0)(>+
=b a x
b
ax x f 、图象如图：
2函数()0)(>+
=b a x
b ax x f 、性质：
①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；
②单调递增区间：(,-∞
,)+∞
；单调递减区间：(0,
,[0). 基本不等式知识点总结
重要不等式
1、和积不等式：,a b R ∈⇒22
2a b ab +≥当且仅当a b =时取到“=”．
变形：①222()22
a b a b ab ++≤≤当a = b 时,22
2()22a b a b ab ++==
注意：(,)2a b a b R ++∈,2
(
)(,)2a b ab a b R +∈≤ 2、均值不等式：
两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”
.若0x >,则1
2x x +
≥ 当且仅当1x =时取“=”; 若0x <,则1
2x x
+≤- 当且仅当1x =-时取“=”
若0x ≠,则11122-2x x x x
x
x
+≥+≥+≤即或 当且仅当b a =时取“=”
.若0>ab ,则2≥+a
b b
a 当且仅当
b a =时取“=”
若0ab ≠,则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 当且仅当b a =时取“=” 3、含立方的几个重要不等式a 、b 、c 为正数：
3333a b c abc ++≥0a b c ++>等式即可成立,时取等或0=++==c b a c b a ；
不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如：当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以
ab 得
2≥+b a a b 或b
a a
b -≥-11; ,,b a 均为正数,b a b
a -≥22
八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2
)2
(b a ab +≤； ③2)2(
222b a b a +≤+ ④)(22
2
b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b
a b a +≥+4
11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(
2≥
+； ⑧ 若0≠ab ,则2
22)11(2111b a b
a +≥+; 上述八个不等式中等号成立的条件都是“
b a =”;
最值定理
积定和最小
①,0,x y x y >+≥由若积()xy P =定值,则当x y =时和x y +有最小值
和定积最大
②,0,x y x y >+≥由若和()x y S +=定值,则当x y =是积xy 有最大值214
s .
推广：已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(2
2
+-=+.
1若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.
2若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小；当||y x -最小时,||xy 最大.
③已知,,,R a x b y +∈,若1ax by +=,则有则
的最小值为：
2
11
11()()2 ()
by ax
ax by a b a b ab a b x y x y x y
+=++=+++++=+≥
④已知
,若则和的最小值为：
①
.
②
应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数乘、除变量系数.例1.当 04x <<时,求函的数(82)y x x =-最大值.
⑵凑项加、减常数项：例2.已知54x <
,求函数1
()4245f x x x =-+-的最大值.
⑶调整分子：例3.求函数2710
()(1)1
x x f x x x ++=
≠-+的值域； ⑷变用公式：基本不等式2a b ab +≥有几个常用变形2222
a b a b ++≥
,22
2()22a b a b ++≥不易想到,应重视；
例4.求函数15
2152()22
y x x x =
--<<的最大值；
⑸连用公式：例5.已知0a b >>,求2
16()
y a b a b =+-的最小值；
⑹对数变换：例6.已知1,12
x y >>,且xy e =,求ln (2)y
t x =的最大值；
⑺三角变换：例7.已知2
0y x π
<<
≤,且tan 3tan x y =,求t x y =-的最大值；
⑻常数代换逆用条件：例8.已知0,0a b >>,且21a b +=,求11
t a b
=
+的最小值. “单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值
若22
x y a +=a 为定值,0a ≠,可设,,x a y a αα=
=,其中02απ<≤.
①(,)2)4
f x y x y a a a πααα=+==+在15
[0,],[,2)44πππ上是增函数,
在15[,]44
π
π上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357
[0,],[,],[,2)4444
πππππ上是增函数,在
1357
[,],[,]4444
ππππ上是减函数；
③11(,)x y m x y x y
xy +=
+==.令sin cos )4t παα
α=+=+
,其中[1)(1,1)(1,2]t ∈--.由212sin
cos t αα=+,得22sin cos 1t αα=-,从而
2
(,)1)m x y t t
==-在[1)(1,1)(1,2]--上是减函数. ⑵和为定值
若x y b +=b 为定值,0b ≠,则.y b x =-
①2
(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数,在[,)2
b +∞上是减函数；
②211(,)x y b
m x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时,在(,0),(0,]2
b -∞上是减函数,在
[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时,在(,),(,]2b b b -∞上是减函数,在[,0),(0,)2
b
+∞上是增函数. ③2222
(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数
,在[,)
2
b +∞上是增函数；
⑶积为定值
若xy c =c
为定值,0c ≠
,则.c y x
= ①(,)c
f x y x y x x
=+=+
.当0c >时,在[上是减函数,在(,)
-∞+∞上是增函数；当
0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；
②111(,
)()x y c
m x y x x y xy c x
+=+=
=+.当0c >时,在[上是减函数,在(
,)
-∞+∞上是增函数；当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；
③
22
2
2
2
2(,)()2c c n x y x y x x c x x
=+=+=+-在(,-∞上是减函数,在
()+∞上是增函数.
⑷倒数和为定值
若
112
x y d +=d 为定值,111,,x d y ,则.c y x
=成等差数列且均不为零,可设公差为z ,其中
1z d
≠±,则1111
,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz =
=-+. ①222()1d f x x y d z =+=-.当0
d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11
[0,),(,)d d
+∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是增函数,在11
[0,),(,)d d --+∞上减函数；
②222(,).1d g x y xy d z ==-.当0
d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11
[0,),(,)d d
+∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是减函数,在11
[0,),(,)d d --+∞上是增函数；
③22222
222
2(1)(,).(1)
d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+,其中1t ≥且2t ≠,从而
22
222(,)4(2)4
d t d n x y t t t
==
-+-在[1,2)上是增函数,在(2,)+∞上是减函数.。