人教版九年级数学下册《反比例函数的图象和性质》教学设计

反比例函数的图象和性质（二）
三维目标
一、知识与技能
进一步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质．
二、过程与方法
1．经历用反比例函数的图象和性质解决数学问题的过程．
2．进一步体会分类讨论思想特别是数形结合思想的运用．
三、情感态度与价值观
1．积极参与数学活动、注意多与同伴交流看法．
2．在参与数学活动的过程中，体会探索、创新的乐趣，养成乐于探索的习惯．
教学重点
用反比例函数的图象和性质解决数学中的简单问题．
教学难点
数形结合的思想在解题中的应用．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
创设问题情境，引入新课
活动1
1．•作反比例函数图象的基本步骤是：•（•1）•________；•（•2）•_________；•（•3）_________．
2．反比例函数y=k
x
的图象是由_______组成的，通常称为_______，当k>0•时______
位于________；当k<0时，_________位于________．
3．反比例函数y=k
x
的图象，当k>0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而________;
当k<0时，在每一个象限内，y的值随x的增大而________．
4．反比例函数y=k
x
的图象上任取一点，过这一点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标
轴围成的矩形的面积是________．
5．知识结构
反比例函数的图象与性质
(1)
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪⎧
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎪⎪⎩
⎩
反比例函数
的图象是__________
(1)当k>0时
_________ (2)性质
(2)当k<0时
__________
设计意图：
帮助学生回忆节上节课研究过的反比例函数的图象和性质，进一步让学生体会数形结合的思想．
师生行为：
由学生回答，教师引导学生进一步归纳总结．
此活动中，教师应重点关注：
①学生能否顺利地完成填空；
②学生是否能由反比例函数的图象和性质整合起来理解．
二、讲授新课
活动2
问题：【例3】已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．
（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？
（2）点B（3，4），C（-21
2
，-4
4
5
）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？
设计意图：
根据已知条件确定反比例函数的解析式，并根据函数解析式判断点是否在函数图象上．师生行为：
学生独立思考，自己解答．
教师巡视解答过程并给予引导．
在此活动中，教师应重点关注：
①是否理解反比例函数解析式的确定就是k值的确定．
②点是否在图象上，只需将点的横、纵坐标代入解析式，看是否符合解析式，即可判断． 生：解：（1）设这个反比例函数为y=
k x ，因为它经过点A ，把点A 的坐标（2，6）代入函数式，得6=2
k ，解得k=12． 这个反比例函数的表达式为y=12x
． 因为k>0，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．
（2）把点B 、C 和D 的坐标代入y=
12x
，可知点B 、点C 的坐标满足函数关系式．点D•的坐标不满足函数关系式，所以点B 、点C 在函数y=12x 的图象上，点D 不在这个函数的图象上．
活动3
问题：【例4】如下图是反比例函数y=5m x
的图象的一支，根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是什么？
（2）如上图的图象上任取点A （a ，b ）和点B （a ′，b ′）如果a>a ′，那么b 和b ′有怎样的大小关系？
设计意图：
熟练运用反比例函数的图象和性质解答数学问题，特别强调让学生注意数形结合思想的应用．
师生行为：
让学生先观察图象，然后结合反比例函数的性质完成此题．
教师应给学生充分交流的时间和空间．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否从图象的特点得到m-5的符号；
②学生能否从图象的特点，结合函数的性质解决问题；
③学生能否独立思考问题．
生：解：（1）反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、•第三象限，或者分布在第二、四象限，在这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．
因此这个函数的图象分布在第一、三象限，所以m-5>0，解得m>5．
（2）由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y 随x 的增大而减小．所以当a>a ′时，b<b ′．
三、巩固提高
活动4
练习：
1．练习反比例函数的图象经过点A （3，-4）．
（1）这个函数的图象分布在哪些象限？在图象的每一支上，y 随x 的增大如何变化？
（2）点B （-3，4），点C （-2，6）和点D （3，4）是否在这个函数的图象上？
2．如下图是反比例函数y=7n x
的图象的一支，根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数n 的取值范围是什么？
（2）在图象上任取一点A （a ，b ）和B （a ′，b ′），如果a<a ′，那么b 和b ′有怎样的大小关系？
设计意图：
进一步熟悉由数得到形的特点，由形得到数的特点，渗透数形结合的思想．
师生行为：
由学生独立思考完成，教师进一步根据学生的情况进行评析．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生是否具有数形结合的意识．
②学生能否有独立思考问题的习惯．
生：解：1．（1）设这个反比例函数为y=
k x ，因它经过点A （3，-4），把点A 的坐标代入函数式，得-4=3
k ．解得k=-12．
这个反比例函数的表达式为y=-12
x
．
因为k<0，所以这个函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
（2）把点B、C、D的坐标代入y=-12
x
，可知点B、点C的坐标满足函数关系式，点D
的坐标不满足函数关系式，所以点B，点C在函数y=-12
x
的图象上，点D不在这个函数图象
上．
2．（1）因为反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，•或者分布在第二、四象限，这个函数的图象的一支在第二象限，则另一支必在第四象限．
因此这个函数的图象分布在第二、第四象限，所以n+7<0，n<-7．
（2）由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y随x的增大而增大，所以当a<a′时，b<b′．
活动5
问题：如下图，点A、B在反比例函数y=k
x
的图象上，且点A、B的横坐标分别为a，
2a（a>0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2．
（1）求该反比例函数的解析式．
（2）若点（-a，y1），（-2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小．设计意图：
综合函数与几何知识，提高学生综合运用知识的能力．
师生行为：
先由学生独立思考，寻找解题的途径．
教师应给予适当的引导，特别对于“学困生”．
在此活动中，教师应重点关注：
①综合运用数学知识的能力；
②学生面对困难，有无面对困难的勇气和克服困难的坚强意志；
③学生能否借助于新旧知识的联系，转化迁移旧知识．
师生共析：
通过Rt△AOC的面积S=1
2
OC·AC=2，可知x A·y A=4．又因为点A在双曲线上，所以x A·y A=k，
•可求出函数的解析式，再根据反比例函数的性质，k>0，y随x的增大而减小知，•自变量x 越大，函数值反而小，通过比较-a与-2a的大小可知y1与y2的大小．
生：（1）解：因为点A在反比例函数y=k
x
的图象上，设点A的坐标为（a，
k
a
）．
∵a>0，k>0，∴AC=k
a
，OC=a，
又∵S△AOC=1
2
OC·AC=2．
∴1
2
·a·
k
a
=2，k=4，y=
4
x
．
即此反比例函数的解析式为y=．
（2）∵A点，B点横坐标分别为a；2a（a>0）
∴2a>a，即-2a<-a<0．
由于点（-2a，y1），（-a，y2）在双曲线上，根据反比例函数的性质k>0，y随x•增大而减小知y1<y2．
四、课时小结
活动6
谈谈你本节课有什么新的收获？掌握反比例函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式．
设计意图：
这种形式的小结，激发学生主动参与的意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要．
师生行为：
让学生小组讨论、交流本节课的收获．
教师根据学生的情况汇总．
在活动中，教师应重点关注：
①不同层次学生对本节知识的认识程度；
②学生独立面对困难和克服困难的能力．
板书设计
17．1．2反比例函数的图象和性质（二）
1．反比例函数
①定义②图象③主要性质
2．反比例函数的图象和性质的应用
例3例4
3．练习
4．小结
活动与探究
已知力F 所做的功是15焦，则力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的图象大致是（） 过程：在物理学中，功W=F ·s ，所以F=W s
，又因为W=15为定值，所以F 是s 的反比例函数，因为W=15>0，s>0，所以其图象在第一象限．
结果：应选B ．
习题详解
习题17．1
1．（1）S=V h
，此函数为反比例函数． （2）y=S x
．此函数为反比例函数．
2．B 是反比例函数，k=-
3 3．（1）>，减小．（2）<，增大，（3）k=3，减小．
4．如果y 是x 的反比例函数，那么x 也是y 的反比例函数．
5．y 与x 具有正比例函数关系．
6．y 与x 具有反比例函数关系．
7．（1）设正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=k x
的图象的交点坐标为（a ，2），则 2,2,4.
2;a a k k a =⎧=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩解得 所以反比例函数的解析式为y=
4x ． 当x=-3时，y=-43
． （2）反比例函数y=
4x 的图象在第三象限函数值y 随x 的增大而减小． 当x=-3时，y=-43
；当x=-1时，y=-4． 所以-3<x<-1时，y 的取值范围是-4<y<-
43． 8．BD
9．（1）
y=m x
的图象的一支在第一象限，图象的另一支在第三象限，所以
>0，得
（2）
的图象在第一、三象限，所以在每个象限y 随x 的增大而减小，所以b>b ′，•有a<a ′．
备课资料
参考练习
1．如果k>0，那么函数y=k x
的图象大致是下图中的（ ）
2．已知y=（a-1）x a 是反比例函数，则它的图象在（ ）
A ．第一，三象限
B ．第二，四象限
C ．第一，二象限
D ．第三，四象限
3．对于反比例函数y=-2x
，下列结论错误的是（ ） A ．当x>0时，y 随x 的增大而增大
B ．当x<0时，y 随x 的增大而增大
C ．x=-1时的函数值小于x=1时的函数值
D ．在函数图象所在的每个象限内，y 随x 的增大而增大
4．对于函数y=-12x
，当x>0时，函数的这部分图象在第______象限． 5．若点（-2，-1）在反比例函数y=
k x 的图象上，•则当x>•0•时，•y•值随x•值的增大而______．
6．如果函数y=kx 222k k +-的图象是双曲线，且在第二、四象限内，那么k=_______．
7．已知点P （1，a ）在反比例函数y=k x （k ≠0）的图象上，其中a=m 2+2m+3（m 为实数），•则这个函数的图象在第________象限．
8．设函数y=（m-2）x 255m m -+．当m 取何值时，它是反比例函数？它的图象位于哪些象限？•在每个象限内，y 随x 的增大而增大还是减小？画出其图象；并利用图象求当12
≤x ≤2时，•y 的取值范围． 答案：1．C2．B3．C4．第四象限5．减小6．k=-17．第一、三象限8．m=3时，它是反比例函数，当m=3时，它的图象位于第一、三象限，在每一个象限y 随x•的增大而减小．图略，12
≤y ≤2．。