第二章 函数-导数及其应用-第八节 对数与对数函数

第二章 函数、导数及其应用
2．对数的常用关系式(a，b，c，d 均大于 0 且不等于 1)： (1)loga1＝ 0 ．(2)logaa＝ 1 ． (3)对数恒等式：alogaN＝ N ． logcb (4)换底公式：logab＝log a ． c 1 推广 logab＝ ，logab·logbc·logcd＝ logad ． logba
－lg 15 －1 3 ＝ － 2 lg 15
3 ＝－2. 答案 3 (1)D (2)－2
第二章 函数、导数及其应用
对数函数的图象及应用
[典题导入] (1)(2014· 南昌模拟)函数 y＝f(x)的图象如图所示， 则函数 y＝log1f(x)的图象大致是
2
(
)
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
[听课记录]
由函数 y＝f(x)的图象知，
2
当 x∈(0，2)时，f(x)≥1，所以 log1 f(x)≤0. 又函数 f(x)在(0， 1)上是减函数， 在(1， 2)上是增函数， 所以 y＝log1
2
f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数．结合各选项知， 选 C. 答案 C
第二章 函数、导数及其应用
当0<a<1时，显然不成立； 当a>1时，如图，
第二章 函数、导数及其应用
要使 x∈(1 ， 2) 时 f1(x) ＝ (x － 1)2 的图象在 f2(x) ＝ logax 的图象下 方， 只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，
又即loga2≥1. 所以1<a≤2， 即实数a的取值范围是(1，2]． 答案 (1，2]
M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)． 2．对数值取正、负值的规律： 当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，logab>0； 当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，logab<0.
第二章 函数、导数及其应用
3．对数函数的定义域及单调性： 在对数式中，真数必须大于 0 ，所以对数函数 y ＝ logax 的 定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因 而，在研究对数函数的单调性时，要按 0<a<1 和 a>1 进行
1 3
(
)
第二章 函数、导数及其应用
1 x 3 ，x≥0， C [由题意可得 f(1－x)＝log1（1－xx)为减函数，且 y>0； 当 x<0 时，y＝f(1－x)为增函数，且 y<0.]
第二章 函数、导数及其应用
对数函数的性质及应用 [典题导入] 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(
)
C．(1，0) C [当 x＝1 时 y＝0.]
D．(0，1)
第二章 函数、导数及其应用
3．函数y＝lg |x|
(
)
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B [y ＝lg|x|是偶函数，由图象知在( －∞ ，0)上单调递减，
第二章 函数、导数及其应用
[规律方法]
1 ． 对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函
数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利 用数形结合求解． 2 ．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函 数图象问题，利用数形结合法求解．
第二章 函数、导数及其应用
[跟踪训练] 3x，x≤1， 2．已知函数 f(x)＝ 则 y＝f(1－x)的大致图象是 log x，x>1，
n
第二章 函数、导数及其应用
二、对数函数的概念 1．把y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函 (0，＋∞)． y＝ x 对称．
数的定义域是
2．函数y＝logax(a>0，a≠1)是指数函数y＝ax的反函数，函数 y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)的图象关于
第二章 函数、导数及其应用
[跟踪训练] 1 1 1．化简：(1)(2014· 唐山模拟)已知 2 ＝5 ＝ 10，则a＋b＝ (
a b
)
1 A.2 C. 2
B．1 D．2
lg 4－lg 60 －11 3 5 (2) － 4 × 2 ＝________． lg 3＋lg 5
第二章 函数、导数及其应用
解析
三、对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0<a<1
图象
第二章 函数、导数及其应用
定义域：(0，＋∞) 值域：R 性 质 当x>1时， y<0 过点 (1，0) ，即x＝ 1 时，y＝ 0
y>0
当x>1时， y<0 当0<x<1时， 时，y>0
当0<x<1
在(0，＋∞)上是 增函数
在(0，＋∞)上是 减函数
第二章 函数、导数及其应用
[规律方法]
对数式的化简与求值的常用思路 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的 形式，使幂的底数最简，然后运用对数运算法则化简合并． (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用
对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
第二章 函数、导数及其应用
在(0，＋∞)上单调递增．]
第二章 函数、导数及其应用
4．(2012· 江苏高考)函数 f(x)＝ 解析 由 1－2log6x≥0， 1 解得 log6x≤2⇒0＜x≤ 6， 故所求定义域为(0， 6 ]． 答案 (0， 6 ]
1－2log6x的定义域为________．
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
(3)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0， 则 h(x)＝ax2＋2x＋3 应有最小值 1， a>0， 1 因此应有 3a－1 解得 a＝ . 2 ＝ 1 ， a 1 故存在实数 a＝2使 f(x)的最小值为 0.
第二章 函数、导数及其应用
[规律方法] 研究复合函数y＝loga f(x)的单调性(最值)时，应先研究其定义
(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；
(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值； 若不存在，说明理由．
第二章 函数、导数及其应用
[听课记录]
(1)因为 f(x)的定义域为 R，
所以 ax2＋2x＋3>0 对任意 x∈R 恒成立． 显然 a＝0 时不合题意，
域，分析复合的特点，结合函数 u ＝ f(x) 及 y ＝ logau 的单调性
分类讨论．
第二章 函数、导数及其应用
对数式的化简与求值
[典题导入] 求解下列各题． 1 32 4 (1)2lg 49－3lg 8＋lg 245＝________； 1 1 (2)若 2 ＝5 ＝m，且a＋b＝2，则 m＝________．
a b
第二章 函数、导数及其应用
[听课记录]
1 32 4 (1)2lg 49－3lg 8＋lg 245
(1)2a＝5b＝ 10，
∴a＝log2 10， b＝log5 10， 1 1 利用换底公式可得：a＋b＝log 2＋log 5
10 10
＝log 10＝2.
10
故选 D.
第二章 函数、导数及其应用
lg (2)原式＝
4－（lg 4＋lg 15） －11 3 10 － 2 × 2 lg 15
第二章 函数、导数及其应用
1 (2)(2012· 新课标全国卷)当 0<x≤2时，4x<logax，则 a 的取值范围 是
A. 0，
( 2 2
B. 2 2 ，1
)
C．(1， 2)
D．( 2，2)
第二章 函数、导数及其应用
[听课记录]
解法一：构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax，当 a>1 时
(
)
D．(0，2)
第二章 函数、导数及其应用
C
1 [∵A＝{y|y>0}，B＝y|2<y<1，
1 ∴A∩B＝y|2<y<1.]
第二章 函数、导数及其应用
2．函数 y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点 A，则 A 点坐 标是
2 A.0，3 2 B.3，0
1 2
答案
B
第二章 函数、导数及其应用
[互动探究] 若本例(2)变为：若不等式(x－1)2<logax在x∈(1，2)内恒成立， 实数a的取值范围为________．
解析 设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，
要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立， 只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方 即可．
a>0， a>0， 从而必有 即 解得 Δ <0 ， 4 － 12 a <0 ，
1 a>3.
即a
1 的取值范围是3，＋∞.
第二章 函数、导数及其应用
(2)因为 f(1)＝1，所以 log4(a＋5)＝1， 因此 a＋5＝4，a＝－1， 这时 f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0 得－1<x<3，即函数定义域为(－1，3)． 令 g(x)＝－x2＋2x＋3. 则 g(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减． 又 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以 f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．
第二章 函数、导数及其应用
第八节
对数与对数函数
第二章 函数、导数及其应用
[主干知识梳理] 一、对数的概念 1．对数的定义：
如果 ax＝N(a>0且a≠1) ，那么数x叫做以a为底N的对数，
记作 x＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真 数．当a＝10时叫常用对数．记作x＝ lg N ，当a＝e时叫 自然对数，记作x＝ ln N ．
1 4 3 1 ＝2× (5lg 2－2lg 7)－3× 2lg 2＋2(lg 5＋2lg 7) 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2× 5)＝ . 2 2 2 2
第二章 函数、导数及其应用
(2)由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 1 1 ∵a＋b＝2， ∴logm10＝2，即 m2＝10. 解得 m＝ 10(∵m>0)． 答案 1 (1)2 (2) 10
第二章 函数、导数及其应用
3．对数的运算法则： 如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么： (1)loga(M· N)＝ logaM＋logaN ； M (2)loga N ＝ logaM－logaN ； (3)logaMn＝ nlogaM (n∈R)； n (4)log amM ＝ mlogaM ．
1 时， 画出两个函数在0，2上的图象， 可知，
不满足条件， 当 0<a<1
1 1 f2<g2，即
2 1 2 2<loga ，则 a> ，所以 a 的取值范围为 ，1 . 2 2 2
第二章 函数、导数及其应用
1 解法二：∵0<x≤ ，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1， 2 ∴0<a<1，排除选项 C，D； 1 1 取 a＝ ，x＝ ， 2 2 1 则有 4 ＝2，log1 ＝1，显然 4x<logax 不成立，排除选项 A. 22
第二章 函数、导数及其应用
[基础自测自评] 1． (教材习题改编)设 则 A∩B 为
1 A.0，2 1 C.2，1 1 B.2，＋∞ 1x A＝{y|y＝log2x， x>1}， B＝y|y＝2 ，0<x<1，
5．(2014· 安阳月考)若 y＝(log1a)x 在 R 上为减函数，则 a 的取值范
2
围是__________． 解析 由题意知 0＜log1a＜1，
2
1 解得 ＜a＜1. 2 答案
1 ，1 2
第二章 函数、导数及其应用
[关键要点点拨]
1 ．在运用性质 logaMn ＝ nlogaM 时，要特别注意条件，在无