同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程

定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面的实例：
一、曲面方程的概念
曲面方程的定义：
以下给出几例常见的曲面.
解
根据题意有
所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为
解
根据题意有
所求方程为
根据题意有
解
化简得所求方程
例4 方程 的图形是怎的？
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
上题双曲线
绕 y 轴旋转一周
a
x
y
o
z
上题双曲线
绕 y 轴旋转一周
旋转锥面
两条相交直线
绕 x 轴一周
x
y
o
两条相交直线
绕 x 轴一周
x
y
o
z
旋转锥面
x
y
o
z
.
两条相交直线
绕 x 轴一周
得旋转锥面
.
旋转锥面
y
o
z
旋转抛物面
抛物线
绕 z 轴一周
y
o
x
z
抛物线
z
x
y
o
抛物柱面
(不含z)
柱面举例
抛物柱面
平面
实 例
椭圆柱面 // 轴
双曲柱面 // 轴
抛物柱面 // 轴
曲面方程的概念
旋转曲面的概念及求法.
柱面的概念(母线、准线).
四、小结
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？
练 习 题
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
根据题意有
解
图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论旋转曲面）
（讨论柱面、二次曲面）
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
旋转抛物面
绕 z 轴一周
y
.
o
x
z
生活中见过这个曲面吗？
h.
旋转抛物面
抛物线
得旋转抛物面
绕 z 轴一周
卫星接收装置
例
.
解
圆锥面方程
播放
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
播放
曲线 C
C
y
z
o
绕z 轴
旋转曲面的方程
曲线 C
x
C
y
z
o
绕 z 轴
旋转曲面的方程
曲线 C
旋转一周得旋转曲面 S
C
S
M
N
z
P
y
z
o
绕 z轴
f (y1, z1)=0
M(x,y,z)
旋转曲面的方程
x
S
将 代入
得方程
x
0
y
例：双叶旋转双曲面 hyperboloid of revolution of two sheet s
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
练习题答案
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
x
z
y
0
母线
准线
(不含z)
M
(x,y,z)
N
(x, y, 0)
S
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
点N满足方程，故点M满足方程
一般柱面 F(x,y)=0
F(x,y)=0
从柱面方程看柱面的特征：
（其他类推）
a
b
z
x
y
o
椭圆柱面
(不含z)
z
x
y = 0
y
o
双曲柱面
(不含y)
绕 x 轴旋转一周
x
0
z
y
绕 x 轴旋转一周
例双叶旋转双曲面 hyperboloid of revolution Of two sheets
x
0
z
y
.
绕 x 轴旋转一周
a
x
y
o
例. 单叶旋转双曲面 hyperboloid of revolution of one sheet