(北师大版)佛山市八年级数学上册第二单元《实数》测试(答案解析)

一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A ．1=
B 2=
C =D
2．3的值应在（ ）
A ．5和6之间
B ．6和7之间
C ．7和8之间
D ．8和9之间 3．一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（ ）倍．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 4．下列选项中，属于无理数的是（ ）
A ．π
B ．227-
C
D ．0
5． ）
A ．﹣5
B ．0
C ．3 D
6．下列计算正确的是（ ）
A +=
B =
C 4=
D 3=-
7．已知三角形的三边长a 、b 、c 满足2(a ＋|c |＝0，则三角形的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．不能确定
8．下列计算结果，正确的是（ ）
A 3
B ＋
C ．＝1
D ．2＝5
9．估计( ） A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间 D ．7和8之间
10．已知﹣1＜a ＜0的结果为（ ）
A ．2a
B ．﹣2a
C ．2a -
D ．2a
11．已知5y x =+x 分别取1，2，3，…，2021时，所对应y 值的总和是（ ）
A ．16162
B ．16164
C ．16166
D ．16168 12．下列运算正确的是（ ）
A ．（x +y ）2＝x 2+y 2
B ．（﹣12x 2）3＝﹣16
x 6
C ．215-＝125
D ＝5
二、填空题
13．两个数a 与2在数轴上对应的点之间的距离为3，已知b 2＝4，且a ＜b ，则a ﹣b 的值为_____．
14．若20212a -=，其中a ，b 均为整数，则符合题意的有序数对(),a b 的组数是______．
15．计算：23-=______ =______．
16．下列各式：===a ＞0，b≥0）；
=-，其中一定成立的是________（填序号）．
17．已知m
n 、是两个连续的整数，且m n <<，则m n +=_______________________．
18．化简题中，有四个同学的解法如下：
==
==
==
== 他们的解法，正确的是___________．(填序号)
19．在实数π，87，0中，无理数的个数是________个．
20．有意义，则实数x 的取值范围是_________． 三、解答题
21．计算：
（11
（2）
22．3(31
⎛
÷++ ⎝．
23．计算：﹣
+
1
1
3
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
．
24
2
11
1
21
1
-
====
-
-
=
2232
===
-
-
（1
；用含有n（n是正整）的等式表示上述变化规律；
（2）利用上述变化规律计算：
...
+++的值．
25．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于1
-，记作21
i=-，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a bi
+（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加､减､乘的运算与我们学过的整式加､减､乘的运算类似．
例如计算：()()()()
62362382
i i i i i
++-=++-=-．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：3i______，6i=_________；
（2）计算：2
(32)i
+；
（3）将
3
2
i
i
+
-
化为a bi
+（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．26．计算下列各题：
（1
（2）（
）（3
）
（2
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
二次根式的混合运算，加减法的基础是同类二次根式；除法运算按照法则进行，二次根式
的化简，先乘后化简即可.
【详解】
∵
=
∴选项A错误；
∵
2=
∴选项B错误；
∵
∴选项C错误；
∵
∴选项D正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式混合运算的基本法则，特别是同类二次根式是加减运算的基础是解题的关键.
2．C
解析：C
【分析】
先根据19位于两个相邻平方数16和25
【详解】
解：由于16＜19＜25，
<<，
所以45
<<，
因此738
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
3．B
解析：B
【分析】
根据正方体的体积公式解答．
【详解】
解：设原来正方体的棱长为a，则原来正方体的体积为3a，
27a，
由题意可得现在正方体的体积为3
∵3a
=，
∴现在正方体的棱长为3a，
故选：B．
【点睛】
本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及正方体的体积计算方法是解题关键．4．A
解析：A
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
解：A.π是无理数；
B.
22
7
-是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
D.0是整数，属于有理数．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为
无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
5．C
解析：C
【详解】
1.732
≈，A,B,D选项都比1.732小，只有
故选C.
6．B
解析：B
【分析】
由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A A错误；
B=，故B正确；
C==C错误；
D3
=，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
7．C
解析：C
【分析】
根据非负数的性质可知a ，b ，c 的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形．
【详解】
解：()220a c -+-=
∴ 0a =，30b -= ， 0c =
∴
a =，3
b = ，
c =又∵ 222279a c b +=+==
∴该三角形为直角三角形
故选C ．
【点睛】
本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出a ，b ，c 的值，并正确运用勾股定理的逆定理．
8．D
解析：D
【分析】
利用二次根式的性质对A 、D 进行判断；根据二次根式的加减法对B 、C 进行判断．
【详解】
解：A 、原式=3，所以A 选项错误；
B B 选项错误；
C 、原式C 选项错误；
D 、原式=5，所以D 选项正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9．C
解析：C
【分析】
原式利用二次根式乘法运算法则计算得到结果，估算即可．
【详解】
解：(2＋ ∵16＜24＜25，即4
2＜2＜52，
∴4＜＜5，
∴6＜2＋＜7，
∴(
6和7之间． 故选：C ．
【点睛】 此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
先把被开方数化为完全平方式的形式，再根据a 的取值范围去根号再合并即可．
【详解】
=
=
= ∵-1＜a ＜0， ∴2110a a a a
--=>，10a a +< ∴原式1111()2a a a a a a a a a
⎡⎤=-
--+=-++=⎢⎥⎣⎦． 故选：A ．
【点睛】 本题考查了二次根式的化简，能够熟练运用完全平方公式对被开方数进行变形，是解答此题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
根据二次根式的性质和绝对值的性质尽心化简，然后代入求值即可求出答案案．
【详解】
对于5y x =+-
当3x ≤时， 5322y x x x =++-=+，
∴当1x =时，4y =；当2x =时，6y =；当3x =时，8y =；
当3x >时，
538y x x =+-+=
∴y 值的总和为：46888=4582019=16162y =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⨯；
故选A ．
【点睛】
本题考查了二次根式，关键是熟练运用二次根式的性质，属于基础题型．
12．D
解析：D
【分析】
直接利用积的乘方运算法则以及负整数指数幂的性质和二次根式的性质、完全平方公式分别判断得出答案．
【详解】
解：A 、（x +y ）2＝x 2+2xy +y 2，故此选项错误；
B 、（﹣
12x 2）3＝﹣18x 6，故此选项错误； C 、2
15-＝25，故此选项错误；
D 5，故此选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了积的乘方、负整数指数幂、二次根式的性质、完全平方公式，解题关键是熟知这些性质，并能准确应用．
二、填空题
13．-3【分析】求出b=±2根据a ＜b 确定a 再求a ﹣b 的值【详解】解：∵b2＝4∴b=±2∵a 与2在数轴上对应的点之间的距离为3当a 在2左侧时a=-1当a 在2右侧时a=5∵a ＜b ∴a=-1b=2a ﹣b=
解析：-3．
【分析】
求出b=±2，根据a ＜b 确定a ，再求a ﹣b 的值．
【详解】
解：∵b 2＝4，
∴b=±2，
∵a 与2在数轴上对应的点之间的距离为3，
当a 在2左侧时，a=-1，
当a 在2右侧时，a=5，
∵a ＜b ，
∴a=-1，b=2，
a ﹣b=-1-2=-3
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了数轴上点的距离和平方根，解题关键是根据题意求出a 、b 的值．
14．5【分析】由绝对值和算术平方根的非负性求出ab 所有的可能值即可得到答案【详解】解：∵且均为整数又∵∴可分为以下几种情况：①解得：；②解得：或；③解得：或；∴符合题意的有序数对共由5组；故答案为：5【 解析：5
【分析】
由绝对值和算术平方根的非负性，求出a 、b 所有的可能值，即可得到答案．
【详解】
解：∵20212a -=，且a ，b 均为整数，
又∵20210a -≥0≥，
∴可分为以下几种情况：
①20210a -=2=，
解得：2021a =，2017b =-；
②20211a -=1=，
解得：2020a =或2022a =，2020b =-；
③20212a -=0=
解得：2019a =或2023a =，2021b =-；
∴符合题意的有序数对(),a b 共由5组；
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题的关键是掌握非负的性质进行解题．
15．-94【分析】分别根据乘方和开方的意义即可求解【详解】解：：-9故答案为：-9；4【点睛】本题考查了乘方和开方的意义理解乘方和开方的意义是解题关键注意在计算-32时底数为3
解析：-9 4
【分析】
分别根据乘方和开方的意义即可求解．
【详解】
解：：23-=-94=．
故答案为：-9；4．
【点睛】
本题考查了乘方和开方的意义，理解乘方和开方的意义是解题关键，注意在计算-32时，底
数为3．
16．②③④【分析】根据二次根式的性质及运算法则逐项分析即可【详解】①时原式成立否则不成立如：故不一定；②一定成立因为成立时一定满足；③当时故一定成立；④当成立时则故一定成立；故答案为：②③④【点睛】本题
解析：②③④
【分析】
根据二次根式的性质及运算法则逐项分析即可．
【详解】
①00，a b ≥>
≠，故不一定；
=00，a b ≥>；
③当00，a b >≥3
33b a a a
a ===，故一定成立； ④3a 成立时，0a ≤3a a a a a ，故一定成立； 故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查二次根式的性质以及乘除远算法则，熟练掌握基本性质计算法则是解题关键． 17．【分析】估算确定出m 与n 的值即可求出m+n 的值【详解】解：∵∴即∴m=5n=6则m+n=5+6=11故答案为：11【点睛】此题考查了估算无理数的大小弄清无理数估算的方法是解本题的关键
解析：11
【分析】
估算确定出m 与n 的值，即可求出m +n 的值．
【详解】
解：∵34<<，
∴526<+<，即56<
<，
∴m =5，n =6，
则m +n =5+6=11，
故答案为：11
【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，弄清无理数估算的方法是解本题的关键． 18．①②④【分析】对于分子分母都乘以分母的有理化因式计算约分后可判断①对于把分子化为再分解因式约分后可判断②对于当时分子分母都乘以分母的有理化因式计算约分后可判断③对于把分子化为再分解因式约分后可判断
④
解析：①②④【分析】
-，计算约分后可判断①
，对于
，把分子化为
22
-，再分解因式，约分后可判断②
，对于
≠
，计算约分后可判断③
，把分子化为
22
-，再分解因式，约分后可判断④，从而可得答案．
【详解】
(
)(
)
22
33
3
====
-
故①符合题意；
22
-
===
，
故②符合题意；
≠时，
(
)
a b
a b
-
===
-
故③不符合题意；
22
-
===
故④符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查的是分母有理化，掌握平方差公式的应用，分母有理化的方法是解题的关键．19．【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念一定要同时理解有理数的概念有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项【详解】由无理数的定义可知
解析：2
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数
是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
由无理数的定义可知，π
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
20．且【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数分式分母不为0列出不等式解不等式得到答案【详解】解：由题意得x+2≥0x≠0解得x≥-2且x≠0故答案为：x≥-2且x≠0【点睛】本题考查了二次根式有意义的
解析：2x ≥-且0x ≠
【分析】
根据二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
解：由题意得，x+2≥0，x≠0，
解得，x≥-2且x≠0，
故答案为：x≥-2且x≠0．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
三、解答题
21．（1；（2）0
【分析】
（1）直接利用立方根的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别进行化简即可； （2）直接利用二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：（1）原式＝3－21；
（20=．
【点睛】
本题考查实数的运算、二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
22．3
【分析】
先根据二次根式的乘除、立方根的定义进行计算，再根据运算法则计算即可求解．
【详解】
3(31⎛
+- ⎝
(
)(
3331⎛-÷+ ⎝⎭
()131+
12+
3
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 23．-4．
【分析】
先计算立方根及负指数幂，再根据实数运算法则计算即可得答案．
【详解】
﹣
+113-⎛⎫ ⎪⎝⎭
=-4+（-3）+3
=-4．
【点睛】
本题考查实数的运算，包括立方根､负整数指数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 24．（1
）2
2）9
【分析】
（1）按照题中给出的形式直接求解即可；
（2）结合（1）中总结出的规律，逐项化简，再求和即可．
【详解】 解：（1
2===，
=
22
-=
-
- 故答案为：2
1
-
（2
）原式1)...=++
++
1
1019
==-=
【点睛】
本题主要考查二次根式分母有理化，能够根据题目所给出的方法进行二次根式的分母有理化是解题关键．
25．（1）i -，1-；（2）512i +；（3）1i +
【分析】
（1）根据21i =-，则i 3=i 2•i ，i 4=i 2•i 2，然后计算；
（2）根据完全平方公式计算，出现i 2，化简为-1计算；
（3）分子分母同乘以(2)i +后，把分母化为不含i 的数后计算．
【详解】
解：（1）∵21i =-，∴321i i i i i =⋅=-⋅=-，6222i i i i 1(1)(1)1=⋅⋅=-⋅-⋅-=-．
故答案为：,1i --；
（2）222(32)31249124512i i i i i +=++=+-=+；
（3）223(3)(2)655512(2)(2)45
i i i i i i i i i i i ++++++====+--+-． 【点睛】
本题考查了实数的运算，以及完全平方公式的运用，能读懂题意是解此题的关键，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移；类比推理，解答问题．
26．（1）0；（2）【分析】
（1）根据平方根、立方根的意义进行计算即可；
（2）利用平方差公式和实数的计算方法进行计算即可．
【详解】
解：（1＝2+（﹣5）+3
＝0；
（2）（）（3）（2
＝32）2﹣2
＝9﹣﹣2
＝
【点睛】
本题考查了包含算术平方根、立方根、平方差公式的实数计算，熟练运用法则和公式是解决问题关键．。