小学数学解题方法解题技巧之分解质因数法

第一章小学数学解题方法解题技巧之分解质因数法
通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数,来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法;
分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用,在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用;分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法,有益于开辟解题思路,启迪创造性思维;
例1 一块正方体木块,体积是1331立方厘米;这块正方体木块的棱长是多少厘米适于六年级程度
解：把1331分解质因数：
1331=11×11×11
答：这块正方体木块的棱长是11厘米;
例2 一个数的平方等于324,求这个数;适于六年级程度
解：把324分解质因数：
324= 2×2×3×3×3×3
=2×3×3×2×3×3
=18×18
答：这个数是18;例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462,求这两个数;适于六年级程度
解：把462分解质因数：462=2×3×7×11
=3×7×2×11
=21×22
答：这两个数是21和22;
例4 ABC×D=1673,在这个乘法算式中,A、B、C、D代表不同的数字,ABC是一个三位数;求ABC代表什么数适于六年级程度
解：因为ABC×D=1673,ABC是一个三位数,所以可把1673分解质因数,然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式,这个三位数就是ABC所代表的数;
1673=239×7
答：ABC代表239;
例5 一块正方形田地,面积是2304平方米,这块田地的周长是多少米适于六年级程度
解：先把2304分解质因数,并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数,每组质因数的积就是正方形的边长;
2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3=2×2×2×2×3×2×2×2×2×3=48×48
正方形的边长是48米;这块田地的周长是：
48×4=192米
例6 有3250个桔子,平均分给一个幼儿园的小朋友,剩下10个;已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个;求这个幼儿园有多少名小朋友适于六年级程度
解：3250-10=3240个
把3240分解质因数：
3240=23×34×5
接近40的数有36、37、38、39
这些数中36=22×32,所以只有36是3240的约数;
23×34×5÷22×32=2×32×5=90答：这个幼儿园有90名小朋友;
例7 105的约数共有几个适于六年级程度
解：求一个给定的自然数的约数的个数,可先将这个数分解质因数,然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出,再求出它的个数即可;
因为,105=3×5×7,
所以,含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；
含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个；
含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个;
所以,105的约数共有4+3+1=8个;
答略;
例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组,使每组三个数的乘积都相等;这三组数分别是多少适于六年级程度
解：将这九个数分别分解质因数：
15=3×522=2×1130=2×3×535=5×739=3×13
44=2×2×1152=2×2×1377=7×1191=7×13
观察上面九个数的质因数,不难看出,九个数的质因数中共有六个2,三个3,三个5,三个7,三个11,三个13,这样每组中三个数应包括的质因数有两个2,一个3,一个5,一个7,一个11和一个13;
由以上观察分析可得这三组数分别是：15、52和77；22、30和91；35、39和44;
例9 有四个学生,他们的年龄恰好一个比一个大一岁,他们的年龄数相乘的积是5040;四个学生的年龄分别是几岁适于六年级程度
解：把5040分解质因数：
5040=2×2×2×2×3×3×5×7
由于四个学生的年龄一个比一个大1岁,所以他们的年龄数就是四个连续自然数;用八个质因数表示四个连续自然数是：
7,2×2×2,3×3,2×5
即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁;
答略;
例10 在等式35× ×81×27=7×18× ×162的两个括号中,填上适当的最小的数;适于六年级程度
解：将已知等式的两边分解质因数,得：
5×37×7× =22×36×7×
把上面的等式化简,得：
15× =4×
所以,在左边的括号内填4,在右边的括号内填15;
15×4=4×15
例11 把84名学生分成人数相等的小组每组最少2人,一共有几种分法适于六年级程度
解：把84分解质因数：
84=2×2×3×7
除了1和84外,84的约数有：
2,3,7,2×2=4,2×3=6,2×7=14,3×7=21,2×2×3=12,2×2×7=28,2×3×7=42;下面可根据不同的约数进行分组;84÷2=42组,84÷3=28组,84÷4=21组,84÷6=14
组,84÷7=12组,84÷12=7组,84÷14=6组,84÷21=4组,84÷28=3组,84÷42=2组;
因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组;一共有10种分法;
例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组,每组四个数,要使各组数中四个数的乘积相等;求这两组数;适于六年级程度
解：要使两组数的乘积相等,这两组乘积中的每个因数不必相同,但这些因数经分解质因数,它们所含有的质因数一定相同;因此,首先应把八个数分解质因数;
14=2×7 143=11×13
30=2×3×5 169=13×13
33=3×11 4445=5×7×127
75=3×5×5 4953=3×13×127
在上面的质因式中,质因数2、7、11、127各有2个,质因数3、5、13各有4个;
在把题中的八个数分为两组时,应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个,质因数3、5、13各有2个;
按这个要求每一组四个数的积应是：
2×7×11×127×3×3×5×5×13×13
因为,2×7×3×5×5×11×13×3×13×127=14×75×143×4953,根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意,因此,要求的一组数是14、75、143、4953,另一组的四个数是：30、33、169、4445;
答略;
例13 一个长方形的面积是315平方厘米,长比宽多6厘米;求这个长方形的长和宽;适于五年级程度
解：设长方形的宽为x厘米,则长为x+6厘米;根据题意列方程,得：
xx+6= 315
xx+6=3×3×5×7
=3×5×3×7
xx+6=15×21
xx+6=15×15+6
x=15
x+6=21
答：这个长方形的长是21厘米,宽是15厘米;
例14 已知三个连续自然数的积为210,求这三个自然数各是多少适于五年级程度
解：设这三个连续自然数分别是x-1,x,x+1,根据题意列方程,得：
x-1×x×x+1
=210
=21×10
=3×7×2×5
=5×6×7
比较方程两边的因数,得：x=6,x-1=5,x+1=7;
答：这三个连续自然数分别是5、6、7;
例15 将37分为甲、乙、丙三个数,使甲、乙、丙三个数的乘积为1440,并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12,求甲、乙、丙各是几适于六年级程度
解：把1440分解质因数：
1440= 12×12×10
=2×2×3×2×2×3×2×5
=2×2×2×3×3×2×2×5
=8×9×20
如果甲、乙二数分别是8、9,丙数是20,则：
8×9=72,
20×3+12=72
正符合题中条件;
答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20;
例16 一个星期天的早晨,母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间,大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”儿子们齐声回答说：“是的,我们的年龄和您年龄的乘积,等于
您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10;”从这次谈话中,你能否确定母亲在多大时,才生下第二个儿子适于六年级程度
解：由题意可知,母亲有三个儿子;母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：
33×1000+32×10=27090
把27090分解质因数：
27090=43×7×5×32×2
根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”,重新组合上面的质因式得：
43×14×9×5
这个质因式中14就是9与5之和;
所以母亲43岁,大儿子14岁,二儿子9岁,小儿子5岁;
43-9=34岁
答：母亲在34岁时生下第二个儿子;。