【高等代数】04-多项式环

【⾼等代数】04-多项式环
1. 多项式环
1.1 基本定义和性质
多项式是数学中的重要概念，在分析和代数中都有⼴泛的应⽤，线性变换也⾮常依赖多项式的理论。

虽然在不同场景下多项式描述的对象有较⼤差异，但它们却有着类似的代数结构，这⾥就从纯代数的⾓度讨论多项式的结构和性质。

以下我会花较多⼝⾆定义什么是多项式，这种看似“学究”的做法其实正是数学的抽象性和严密性所在。

先来看多项式的组成元素“（⼀元）项”，它具有形式ax^n，其中n是⼀个⾮负整数，它表⽰项的次数，a是某个环R或域F的元素，被称为系数，x是不定元。

要特别强调的是，这⾥并没有定义项的实际意义，不定元可能是任何满⾜条件的数学概念。

a和x^n之间也不能看成是某个具体的乘法，这⾥只是⼀个书写格式，项永远是作为⼀个整体看待的。

系数为0的项被定义为互相相等的，⽽其它项相等的充要条件是系数和次数都相等。

另外，在项之间还定义有如式（1）的加法和乘法，且乘法对加法满⾜分配率。

有了这些准备就可以定义多项式了，⼀个环R上的（⼀元）多项式是有限个⾮零项之和，它的最终形式是式（2）。

为了叙述⽅便，0次项被直接写做a_0，但不要忘了其实际意义a_0x^0。

系数⾮零的最⾼次项也称多项式的⾸项，⽽n也叫f(x)的次数，记作\deg f(x)。

由项的定义不难断定：多项式由它的系数序列(a_0,a_1,\cdots,a_n)唯⼀确定。

环R上的所有⼀元多项式集合记做R[x]，不难证明在乘法和加法的定义下，R[x]构成⼀个环（0系数的项为零元，当R有单位元时x^0也为单位元），它叫多项式环。

ax^n+bx^n=(a+b)x^n;\;\;ax^m\cdot bx^n=(ab)x^{m+n}\tag{1}
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\;\;(a_k\in R,a_n\ne 0)\tag{2}
其实在《抽象代数》中，我们已经专门讨论过多项式的性质，故对那些已经论述过的结论，这⾥就不重复证明过程了。

《⾼等代数》中的多项式是直接定义在数域上的，但其实很多结论在较弱的条件下仍然成⽴，下⾯做⼀些总结（很多结论直接来⾃抽象代数）。

⾸先不难证明：R[x]为交换环（⽆零因⼦环、整环）的充要条件是R为交换环（⽆零因⼦环、整环），特别地，域F上的多项式环F[x]是⼀个含⼳整环（有单位元、可交换、⽆零因⼦）。

另外我们知道，⼀个环可以扩充为域的充要条件是：它是⼀个含⼳整环。

故系数为含⼳整环的多项式环都能扩充为⼀个域，其中数域系数多项式的最⼩扩充域叫分式域。

分式域的每个元素有形式f(x)g^{-1}(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}，其中g(x)是⾮零多项式。

在⼀般数域下，且g^{-1}(x)都是新添加的元素，如果要想g^{-1}(x)仍然是⼀个多项式，可以添加⼀个条件：存在某个不可约多项式e(x)=0（请⾃⾏讨论）。

1.2 因式和分解
和其它环结构⼀样，对多项式的讨论也集中在其乘法分解，以下先把R[x]限定在⼀般的环上。

如果有关系式f(x)=g(x)h(x)，则称g(x)为f(x)的因式，记作g(x)|f(x)，多项式的乘法分解其实就是因式分解。

当f(x),g(x)次数相等时，且有f(x)=ag(x)，这时称它们是相伴的。

这种分解讨论起来没有多⼤意义，以后我们只讨论因式次数⽐f(x)低的分解。

如果两个多项式f(x),g(x)有共同的因式h(x)，则h(x)称为f(x),g(x)的公因式，次数最⾼的公因式则叫最⼤公因式，记作(f(x),g(x))。

后⾯要回答的问题⾃然就是：因式、分解式、（最⼤）公因式的存在性，以及分解式、最⼤公因式的唯⼀性（在相伴意义下）。

对任意多项式f(x),g(x)，如果g(x)的⾸项系数为可逆元，⽤归纳法可以证明，存在唯⼀多项式q(x),r(x)使得式（3）成⽴。

这个式⼦说明，如果f(x),g(x)有公因式h(x)，那
么h(x)也是余项r(x)的公因式，并且r(x)的次数⽐g(x)⼩。

如果在把多项式限定在域上，把g(x),r(x)换成f_1(x),g_1(x)后可以继续这个过程，直⾄g_i(x)|f_i(x)，易知这时g_i(x)就
是f(x),g(x)的最⼤公因式。

这个⽅法就是⼤家熟悉的辗转相除法，值得提醒的是，该⽅法要求每个元素都可逆（或者具体问题中g_i(x)的⾸项可逆）。

f(x)=q(x)g(x)+r(x),\: \text{deg}\,r(x)<\text{deg}\,g(x)\tag{3}
辗转相除法的过程还间接说明了，存在多项式u(x),v(x)使得式（4）成⽴，由于形式a(x)f(x)+b(x)g(x)总含有因式d(x)，故式（4）是它能得到的次数最⼤的多项式（相伴意义下也是唯⼀的）。

当d(x)=1时，说明f(x),g(x)没有次数⼤于0的因式，这时它们称为互素的，并且显然d(x)=1是它们互素的充要条件。

对于多个多项式，由于(f_1(x),..,f_n(x))=
((f_1(x),..,f_{n-1}(x)),f_n(x))，因此可以同样得到类似（4）的式⼦，以及它们互素的充要条件。

最后我想强调⼀下，虽然互素的定义可以不依赖辗转相除法，但要得到更多有⽤的性质，还是得⽤辗转相除得到的式（4），因此⼀般都假定多项式系数在域F中。

以下看似直观的结论，离开了互素的充要条件将很难证明，请⾃⾏练习。

u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))=d(x)\tag{4}
• 如果h(x)|f(x)g(x)，且(f(x),h(x))=1，则⼀定有h(x)|g(x)；
• 如果f(x)|h(x),g(x)|h(x)，且(f(x),g(x))=1，则⼀定有f(x)g(x)|h(x)；
• 如果(f(x),h(x))=1,(g(x),h(x))=1，且(f(x),g(x))=1，则⼀定有(f(x)g(x),h(x))=1。

在F(x)中，当多项式p(x)没有次数更低的因式时，它称为不可约多项式。

易知对任意f(x)，要么有p(x)|f(x)，要么有(f(x),p(x))=1。

由此还能得到结论：如果p(x)不可约
且p(x)|f(x)g(x)，则有p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。

在抽象代数中我们已经证明，含⼳整环R上的R[x]是⼀个欧式环，因此是唯⼀分解环，⽽域是⼀个特殊的含⼳整环，故F[x]⾃然也是唯⼀分解环。

所谓唯⼀分解当然是指，存在唯⼀的分解式（5）（相伴意义下，且顺序可改变），其中p_i(x)都是不可约的。

这个结论也可以在多项式上直接证明（和整数环的唯⼀分解性⼀样），但论证⽅法⽆本质差异（⽆⾮是⼀个更抽象、更通⽤）。

f(x)=p_1^{n_1}(x)p_2^{n_2}(x)\cdots p_k^{n_k}(x)\tag{5}
式（5）中如果n_i>1，则称p_i(x)是f(x)的重因式，否则称为单因式。

讨论重因式有时候是很必要的（⽐如重根、下篇的不变⼦空间），为了判定重因式，代数中引进了f(x)形式导函数（6），容易证明这个形式定义的导函数同样满⾜式（7）。

对于⼀个k重因式p_i(x)，利⽤这些式⼦不难证明f'(x)中p_i(x)的重数正好是k-1，故f(x),f'(x)有公因式p_i^{k-1} (x)，且k-1是最⾼次数。

反之如果f(x),f'(x)有公因式p_i^{k-1}(x)，也易知f(x)含有因式p_i^k(x)，利⽤这个充要条件可以判断重因式的存在性、以及求出因式和重数。

f'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_2x+a_1\tag{6}
[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x);\;\;[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\tag{7}
1.3 其它定义和性质
当确定了未知元x的集合及乘法运算时（包括⾃⾝乘法和与R中元素的乘法），就可以把具体值a带⼊多项式f(x)的任何形式（展开或因式乘积），它们的值应该都是相等的，这个值被定义为多项式在a处的值f(a)。

这⾥我们先把R假定为⼀般的含⼳环，根据式（3）可知，存在唯⼀多项式q(x),r使得式（8）左成⽴。

把a带⼊式（8）左便知r=f(a)，于是有式（8）右成⽴，它称为余数定理。

当f(a)=0时，a称为f(x)的根，根据式（8）右可知（还要求R有单位元）：a为f(x)根的充要条件是(x-a)为f(x)的因式，这便在⼀次项和根之间建⽴了联系。

f(x)=q(x)(x-a)+r;\;\;f(x)=q(x)(x-a)+f(a)\tag{8}
• 已知(x-a)|f(x^n)，求证(x^n-a^n)|f(x^n)；
• 已知f(x)|f(x^n)，尝试讨论f(x)的根。

余数定理是余式（3）的特例，它要求环有单位元，且未知元满⾜多项式的运算律（1）。

但其实如果未知元就取环R，即使R不满⾜交换律（从⽽不满⾜项的乘法）、
⽽f(a)仅定义为把a带⼊式（2），抽象代数中已经证明了：余数定理仍然成⽴。

这个更⼀般的余数定理有着更⼴泛的应⽤，⼀个典型代表就是的Hamilton-Caylay定理，你可以回到线性代数看看这个定理的证明，其实和抽象代数的证明本质是⼀样的。

本段的最后，我们来讨论⼀下多项式性质和系数环（域）的关系。

对具体的多项式f(x),g(x)，先设它们的系数都属于环R_1，则它们也属于其扩环R_2,(R_1\subset R_2)。

容易知道，在R_1[x]中成⽴的结论在R_2[x]中也⼀定成⽴，反之则不⼀定成⽴。

我们⽐较关⼼这样的问题：R_1[x]的多项式如果在R_2[x]中有某个性质，那么这个性质在R_1[x]中还会有吗？在所有的性质讨论中，式（4）和唯⼀分解定理起到了⾮常重要的作⽤，为此我们就把讨论的内容限定在域中吧（F_1\subset F_2）。

式（3）的唯⼀性就表明了它在F_1[x],F_2[x]中是⼀样的，这就是说整除性（能或不能整除）在F_1[x],F_2[x]中也是⼀致的。

继⽽由辗转相除法和式（4），两个多项式的最⼤公因式也不会随系数域⽽变化，特别地，两个多项式的互素关系也与系数域⽆关。

再看看导函数f'(x)的形式，它在不同域中系数是不变的，这样重因式也是和系数域⽆关的。

你会发现，与系数域⽆关的性质基本都是因式有关的。

2. 数域上的多项式
2.1 复系数多项式
以上讨论的是通⽤多项式的性质，它们适⽤于任何满⾜条件的多项式环。

最常见的多项式其实还是数系多项式，⽽最常见的数系从⼤到⼩依次是复数系、实数系、有理数系，下⾯就按这个顺序讨论数系多项式特有的性质。

数系多项式中，更加关注多项式的值和根，甚⾄很多因式的讨论就是通过根的⽅法来完成的。

对于复系数多项式，最重要的结论当然是代数基本定理：复系数多项式⾄少有⼀个根。

这个代数基本定理在代数中却没有初等的证明⽅法，⽐较透彻的⽅法都需要复变函数的知识，这⾥我们暂时把它当⼀个结论使⽤。

由上⾯的讨论，f(x)有复根z的等价条件是(x-z)|f(x)，依次类推f(x)有最终分解式（9）。

n次复系数多项式共有n个复数根（可以是重
根），并且由这n个复数根和⾸相系数完全确定，复系数不可约多项式只有⼀次式。

多项式最多有n个根，这⼀点说明如果两个多项式f(x),g(x)在不⽌n处相等，则它们⼀定是完全重合的，这个特点不管在证明还是数值计算上都有重要的应⽤。

展开式（9）后对⽐系数，便可以得到⼤家熟悉的韦达（Vieta）公式，这⾥就不展⽰等式内容了。

f(x)=(x-z_1)^{n_1}(x-z_2)^{n_2}\cdots (x-z_k)^{n_k},\;(\sum n_i=n)\tag{9}
复系数多项式的彻底可分解性，即使⽤在其他数域的多项式上，也会有⼀些有趣的性质。

⽐如任意数域上的f(x),p(x)\in F[x]，如果p(x)是⼀个不可约因式，从上⾯的讨论知道：p(x)没有复数重根。

另外，如果f(x)与p(x)有某个相同复根，则它们⼀定是有公因式（利⽤公式（4））。

结合这两个条件就有：如果f(x)与不可约因式p(x)有⼀个相同复根，则⼀定有p(x)|f(x)。

• 求证x^2+x+1|x^{3m+2}+x^{3n+1}+x^{3l}。

为了判断复数c是否为f(x)的k重根，利⽤之前的结论，只需证明f(c)=f'(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0且f^{n}(c)\ne 0。

为了估算复根的半径，令M=\max\{\dfrac{|a_{n-1}|}
{|a_n|},\cdots,\dfrac{|a_0|}{|a_n|}\}，这样便容易有多项式的估算式|f(z)|\geqslant|a_n|\left[|z|^n-M\dfrac{|z|^n-1}{|z|-1}\right]，显然当|z|-1>M时有|f(z)|>0，故根的半径在1+M内。

最后来看复系数多项式的两个应⽤。

对任意⽅阵A，可以记它的特征多项式|\lambda I-A|为\prod(\lambda-\lambda_i)^{n_i}。

然后对任意复数k，容易求得kA的特征多项式
为\prod(\lambda-k\lambda_i)^{n_i}。

把1的k阶单位根计作\{\omega_j\}，刚才的结论是说|\lambda I-\omega_j A|=\prod(\lambda-\omega_j\lambda_i)^{n_i}，把这k个式⼦相乘便
有|\lambda^k I-A^k|=\prod(\lambda^k-\lambda_i^k)^{n_i}，从⽽可知A^k的特征多项式是\prod(\lambda-\lambda_i^k)^{n_i}（参考第⼆篇中矩阵多项式的特征值）。

设f(x)\in C[x]，并设其有r个不同的复根且有展开式(x-\alpha_i)^{n_i}。

由于f(x)-a与f(x)互质，故f(x)-a的s个不同复根与f(x)不同，设其展开式为(x-\beta_j)^{m_j}。

考虑到两者的导数相同，则f'(x)=\prod(x-\alpha_i)^{n_i-1}\prod(x-\beta_j)^{m_j-1}h(x)。

由次数关系知n-r+n-s\leqslant n-1，从⽽r+s\geqslant n+1。

这个结论说明，任意两个不同像f(a),f(b)的原像集合f^{-1}(a),f^{-1}(b)⼤于n，结合前⾯的结论知，它们可以唯⼀确定f(x)（即在两个像上原像相同的多项式也相同）。

2.2 实系数多项式
现在来看更为常⽤的实系数多项式f(x)，可以先把它放在复数域上讨论，⽐如它⾄少有⼀个复根z，即有f(z)=0。

对这个等式两边同时取共轭，由于系数都是实数，最终得
到f(\bar{z})=0，从⽽z及其共轭\bar{z}同时为f(x)的根。

如果z不是实数，z,\bar{z}便是两个不同的根，它们对应的因式(x-z)(x-\bar{z})其实是实多项式g(x)=x^2+px+q（p^2-4q<0），且它在实数系上不可约。

归纳地讨论实系数多项式f(x)/g(x)，便可以将f(x)分解为唯⼀标准式（10），从根的⾓度也可以说：除了实根外，实系数多项式的复根都是以共轭形式成对出现的。

f(x)=\prod(x^2+p_ix+q_i)^{n_i}\cdot\prod(x-b_j)^{m_j}\tag{10}
• 求x^n\pm 1在实数域的标准分解式，并由此讨论\prod\cos\dfrac{k}{n}\pi的值。

\prod_{k=1}^n\cos\dfrac{k\pi}{2n+1}=\dfrac{1}{2^n};\;\;\prod_{k=1}^n\sin\dfrac{k\pi}{2n}=\dfrac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}\tag{11}
实根对于实系数多项式是尤为重要的，利⽤复根的估算式虽然能给出实根的粗略范围，却不能给出实根的个数以及更具体的取值范围。

有⼀种⽅法可以快速地确定多项式在任⼀区间内根的个数，从⽽可以使⽤逼近的⽅法得到⼀定精度的根。

为了说明⽅法的原理，先来观察如式（11）的⼀种辗转相除序列。

假定f_0(x),f_1(x)互质，序列将结束于⼀个⾮零的常数，从⽽在任意x_0上序列不会连续为0。

假定f_i(x_0)=0，那么f_{i-1}(x_0),f_{i+1}(x_0)⼀定⾮零且符号相反。

不难判断在x_0附近，序列\{f_{i-1}(x),f_i(x),f_{i+1}(x)\}的符号变化次数总是1。

可想⽽知，当x连续变化时，序列\{f_0(x),f_1(x),\cdots\}的符号变化次数只可能在f_0(x)的根附近增或减1。

如果序列符号的变化次数W(x)在根附近总是增（或减），那么W(a)-W(b)就等于f_0(x)区间(a,b)上根的个数。

f_i(x)=q_i(x)f_{i+1}(x)-f_{i+2}(x)\tag{11}
对于任意实系数多项式f(x)，先假设(f(x),f'(x))=1（⽆重根）且x_0是f(x)的⼀个根，容易知道f(x_0^+)的符号与f'(x_0)相同（如图）。

也就是说，当x由-\infty连续变化
到+\infty时，W(x)仅在f(x)的根前后增加1。

当f(x)有重根时，设h(x)=(f(x),f'(x))，考察g_0(x)=f(x)/h(x)和g_1(x)=f'(x)/h(x)，⾸先他们⼀定互质。

为了讨论g_0(x_0^+)与g_1(x_0)的关系，设根x_0的重数为l，并记f(x)=(x-x_0)^lp(x)。

容易证明f(x)/(x-x_0)^{l-1}在x_0^+的符号与f'(x)/(x-x_0)^{l-1}在x_0的符号相同，进⽽得到g_0(x_0^+)与g_1(x_0)的符号相同，所以以上结论对g_0(x)也成⽴。

另外显然，g_0(x),g_1(x)同时乘上h(x)变成f(x),f'(x)后，并不影响结论（W(x)在f(x)的根上可忽略）。

总结结论就是，表达式W(a)-W(b)可以表⽰f(x)在区间(a,b)上不同实根的个数（不包括重数），该定理叫做Sturm定理。

2.3 有理和整系数多项式
最后再来看有理数域多项式的分解，⾸先注意到：任何有理系数的多项式f(x)在乘上适当的整数后都可转化为整系数多项式，此时数论的基础结论就可以发挥作⽤。

与f(x)相伴的诸多整系数多项式中，所有系数的公约数为\pm 1的尤为特殊，它被称为本原多项式。

⾸先容易证明f(x)的本原多项式只有两个，且它们刚好满⾜g_1(x)=-g_2(x)。

然后就是线性代数中论证过的的重要结论（⾼斯引理）：两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式。

基于⾼斯引理，还可以轻松证明：整系数多项式在有理数域可分解的充要条件是它可以分解为两个整系数多项式，这使得对有理多项式的分解完全可以⽤整系数多项式的分解来取代。

完全判定整系数多项式的可约性⾮常困难，但我们可以根据⼀些形式特点来断定某些多项式不可约，⼀个著名的结论就是Eisenstein判别法：如果存在素数p使得p|a_i,
(0\leqslant i\leqslant n-1)，但p\nmid a_n,p^2\nmid a_0，那么f(x)不可约。

利⽤⾼斯引理可以轻松证明判别法的合理性，并能发现条件中如果a_0,a_n的⾓⾊互换结论依然成⽴。

该判别法既可直接使⽤，有时还可以对多项式作适当的偏移再判定。

⽐如分圆多项式f(x)=x^{p-1}+\cdots+x+1，由于(x-1)f(x)=x^p-1，⽤x+1取代x后可论证f(x+1)不可约，从
⽽f(x)不可约。

• 对不同素数p_1,\cdots,p_t，求证\sqrt[n]{p_1p_2\cdots p_t}是⽆理数;
• 若m>n，求证任意\sqrt[m]{p}都不是n次多项式f(x)的根。

• 判断x^p+px^r+1的可约性。

整数模p（素数）的剩余类域是最常见的有限域，⽽有限域的好处是可以只针对有限的情况进⾏讨论，这个特点可以帮助判断整系数多项式f(x)的可约性。

当f(x)可约时，对其取模p得到剩余类域上的多项式\bar{f}(x)，显然\bar{f}(x)也是可约的（反之不⼀定成⽴）。

从⽽当\bar{f}(x)不可约时，f(x)⼀定也不可约，这⾥我们便有了⼀个判断整系数多项式不可约的新⽅法。

判断可约性还可以有其它综合的⽅法，课本上举了⼏个利⽤多项式根不超过n的性质的例⼦，⽐较值得玩味，以下假设a_1,a_2,\cdots,a_n是不同的整数，请⾃⾏证明以下三个问题。

• 求证：(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)-1不可约；
• 求证：(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1在n为奇数时不可约，在n\geqslant 6且为偶数时不可约；
• 求证：(x-a_1)^2(x-a_2)^2\cdots(x-a_n)^2+1不可约。

最后来讨论⼀下整系数多项式的有理根与系数的关系，假设f(x)有根\dfrac{p}{q}，则它有⼀次因式x-\dfrac{p}{q}，从⽽有本原因式qx-p。

这说明f(x)的系数满⾜式（12），其中前两个式⼦可以初步圈定有理根的范围，然后通过后两个式⼦和其它⽅法可以分别验证是否为根，这样便能得到f(x)的所有有理根。

(qx-p)|f(x)\;\Rightarrow\;q|a_n,\;p|a_0;\;\;p+q|f(-1),\;p-q|f(1)\tag{12}
3. 结式和判别式
我们还可以对多元多项式进⾏以上类似的讨论，其中⽐较重要的就是对称多项式。

有两种基本的常见对称多项式，⼀种是多项式\prod_i(x+x_i)展开式的项x^{n-k}的系
数\sigma_k=\sum x_{i_1}\cdots x_{i_k}，它们被称为n元初等对称多项式。

关于初等对称多项式，有⼀个基本定理：任何对称多项式f(x_1,\cdots,x_n)都可以唯⼀表⽰为初等对称多项式的多项式g(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)。

还有⼀种对称多项式是幂和式s_k=\sum_i x_i^k，⽜顿公式给出了这两种对称多项式之间的关系，本段的两个结论在线性代数中都有论证。

很多情况下需要判断或给出两个多项式f(x),g(x)（式（13））有公因式（或相同的根）的条件，辗转相除法虽然能解决这个问题，但操作⽐较⿇烦。

现在从另⼀个⾓度讨论这个问题，在代数闭域中这两个问题等价于是否有相同的根，我们就在代数闭域中讨论这个问题。

设f(x),g(x)的根分别是\{y_1,\cdots,y_m\},\{z_1,\cdots,z_n\}，式（14）可以作
为f(x),g(x)是否有同根的判别式，它被称为f(x),g(x)的结式。

显然结式是关于\{y_i,z_j\}的对称多项式，由基本定理可知它能写成\{a_i,b_j\}的表达式，但直接寻找答案⽐较困难，下⾯从另⼀个等价条件出发反向推导。

f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0;\;\;g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0\tag{13}
\text{Res}(f,g)=\prod_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(y_i-z_j)=\prod_{i=1}^mg(y_i)=\prod_{j=1}^n(-1)^mf(z_j)\tag{14}
f(x),g(x)有相同根其实还等价于：存在不⾼于m-1,n-1次的多项式f_0(x),g_0(x)，使得g_0(x)f(x)=f_0(x)g(x)。

通过⽐较系数其实可以得到⼀个关于f_0(x),g_0(x)系数的⼀次⽅程
（请⾃⾏写出），⽅程的系数矩阵如式（15）（左半边有n列，右半边有m列），⽽f_0(x),g_0(x)的存在性则等价于|R|=0，下⾯就来看|R|的表达式。

由于每⼀列正好是多项式的
系数，可以对多项式做如下初等变换：分别把第k⾏的y_i^k倍加到最后⼀⾏。

不难知道最后⼀⾏的前n个元素为0，⽽后m个元素有公因式g(y_i)。

R_{m+n}=\begin{bmatrix}a_0&&&b_0&&\\a_1&\ddots&&b_1&\ddots&\\\vdots&\ddots&a_0&\vdots&\ddots&b_0\\a_m&\ddots&a_1&b_n&\ddots&b_1\\&\ddots&\vdots&&\ddots&\vdots\\&&a_m&&&b_n\end
以下先假设\{a_m,b_m\}是化1的，根据韦达定理知\{a_i,b_j\}可表⽰为\{y_i,z_j\}的多项式，⽽刚才的结论说明|R|有因式g(y_i)。

⼜因为所有\{g(y_i)\}之间⽆公因式，故|R|有因
式\prod_ig(y_i)=\text{Res}(f,g)，它的次数是mn。

另⼀⽅⾯，|R|显然是\{y_i,z_j\}的齐次多项式，下⾯来计算它的次数。

根据每⼀列次数递增的特点，考虑把每⾏的次数统⼀，为
此仅需在每列乘上合适的式⼦，具体来说是在每⼀列分别乘上任意⼀个\{n,n-1\cdots,1,m,m-1,\cdots,1\}次式。

这样从列来看次数增加了m(m+1)/2+n(n+1)/2，⽽从⾏来看总次数
是(m+n)(m+n+1)/2，相减得到|R|的次数为mn。

这个结论说明|R|与\text{Res}(f,g)只相差⼀个常数项系数，把\{y_i=0,z_j=1\}带⼊便可知|R|=a_n^n\cdot\text{Res}(f,g)，教材上其实
就是把|R|作为结式的定义的。

结式的应⽤⾃然是集中在多项式同根的问题上，有⼀些常见的问题都可以间接地转化为同根问题。

⽐如求解⼆元多项式组f(x,y)=0,g(x,y)=0时，如果两个函数都能写成关
于x（或y）的多项式，这时的结式是关于y的⽅程，就可以先解出y再求解x。

再⽐如参数⽅程x=x(t),y=y(t)，如果这两个⽅程都能写成t的多项式形式，此时的结式就是只含x,y的⽅
程，这就得到x,y的不含参⽅程。

结式也可以⽤于判断多项式是否有重根，我们知道f(x)有重根的充要条件是(f(x),f'(x))\ne 1，设f(x)的根为\{x_1,\cdots,x_n\}，此时的结式为式（16）左。

把f'(x)按[\prod(x-
x_i)]'展开成n项，然后就能得到式（16）右。

右式可以有更简单的类似式（17）左，该式也⽤于判断f(x)是否有重根，它称为f(x)的判别式，它是⼆次多项式判别式的扩展。

利⽤
⽜顿定理可知D(f)可由其系数表⽰，⽽结式便给了⼀个计算⽅法。

另外，利⽤定义还不难得到结式和判别式的关系式（18）（19）。

\text{Res}(f,\,f')=\prod_{i=1}^nf'(x_i)=\prod_{i=1}^n\prod_{j\ne i}(x_i-x_j)\tag{16}
D(f)=\prod_{i\ne j}(x_i-x_j)^2=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot\text{Res}(f,f')\tag{17}
\text{Res}(f,\,g_1g_2)=\text{Res}(f,\,g_1)\cdot\text{Res}(f,\,g_2)\tag{18}
D(fg)=D(f)D(g)\cdot\text{Res}^2(f,\,g)\tag{19}
• 求f(x)=x^n+\cdots+x+1的判别式。

Processing math: 0%。