工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导 基本概念

t—温度(0C)；
x , y , z—直角坐标
由傅里叶定律可知，求解导热问题的关键是获 得温度场。导热微分方程式即物体导热应遵循的一 般规律，结合具体导热问题的定解条件，就可获得 所需的物体温度场。
具体推导: 傅里叶定律
能量守衡定律
导热微分方程式
假定导热物体是各向同性的，物性参数为常数。 我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面 体来推导导热微分方程，如下图所示。
2. 说明： 导热系数表明了物质导热能力的程度。 它是物性参数 物质的种类 热力状态（温度、压力等）。
在温度t=200C时：
纯铜λ=399 w/m0C；水λ=0.599 w/m0C；干空气0C λ（固体）大--------→（液体）---------→（气体）小
隔热材料（或保温材料）----石棉、硅藻土、矿渣棉等，它 们的导热系数通常:λ < 0.2 w/m0C。
c t ( x 2t2 y 2t2 z 2t2)q'
这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。
导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。 它对导热问题具有普遍适用的意义。
Cp t ( x2t2 y2t2 z2t2)qv
最为简单的是一维温度场的稳定导热微分方程为：
稳态温度场：物体各点的温度不随时间变动； 非稳态（瞬态）温度场：物体的温度分布随时间改变。
2. 等温面(Isothermal surface)（线）：同一时刻物体中温度 相同的点连成的面（或线）。 特点：（1）同一时刻，不同等温线（或面）不可能相交； （2）传热仅发生在不同的等温线（或面）间； （3）由等温线（或面）的疏密可直观反映出不同区域 热流密度的相对大小。
在半径r处取一厚度为dr长度为l米的薄圆筒壁。则
根据傅里叶定律，边界条件r=r1,t=t1;r=r2,t=t2。
我们得:
Q F dt 2 rl dt
dr
dr
分离变量，两边积分： Q r21dr2l t2dt
r r1
t1
Qlnr2 r1
2rl(t1t2)
Q
t1 t2 ln r2 / r1
2 l
工程热力学与传热学 第二章 稳态 热传导 基本概念
两个不同的物体温度较高的物体把热量传递给与之接触 的温度较低的另一物体。
同一物体内部热量从温度较高的部分传递到温度较低的部分
本章要点： 1. 着重掌握导热的基本概念和傅里叶定律的应用 2. 着重掌握平壁、圆筒壁导热的基本计算方法
本章难点：温度场及其求解
一、平壁导热(Plane wall conduction)
（一）单层平壁(平壁的高、宽远大 于其厚度，即可视为无限大平板) 如左图所示 一无限大平板左右二 侧分别保持着温度t1和t2，假设温 度只随垂直于壁面的x轴变化，平 板的厚度为δ，导热系数为λ。 求其温度场：
应用导热微分方程和傅叶定律来进行求解
2 ）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对 流换热及辐射散热， 肋片中沿导热热流传递 的方向上热流量是不断变化的。即： Φ≠const 。 4 . 分析肋片导热解决的问题
一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的 方向是如何变化的？
二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？
1. 通过等截面直肋的导热
已知：
(1) 矩形直肋
肋片的效率（表明肋片散热量的有效程度）
为了从散热的角度评价加装肋片后换热效果，引 进肋片效率
实际散热量
f 假设整个肋表基 面温 处度 于下 肋的散热量
则有：
f
hmP0th(mH) th(mH)
hPH0
mH
另一种解法:
在上述假设条件下，把复杂的肋片导热
问题转化为一维稳态导热如图（b）所示并
将沿程散热量 视s 为负的内热源，则导热微
建立导热微分方程： 在x处导入的热量=在x+dx处导出的热量+对流散出的热量
则有： Φx=-λAc t
x
Φx+dx=-λAc (t t dx)
x x
Φc= hPdxΔt= hPdx(t-t∞)
所以： Φx=-λAc t =Φx+dx+Φc=-λAc (t t dx)+hPdxΔt
x
x x
mH mH
0 c(h m)H
s( x ) h e x e x ;c ( x ) h e x e x ;
2
2
( x ) t e e h x x e e x x
双曲正弦函数
双曲余弦函数
双曲正切函数
根据付里叶定律，热流量 Φ=-λAc( d )
则 x 0 A ( d d ) c x 0 x d d x 0 c c m ( ( h m x d xh H )) H x 0 h m 0 t P ( m h) H
（一）单层圆筒壁 已知：圆筒壁内壁温度t1和外壁温度t2； 筒壁的内半径r1和外半径r2； 壁材的导热系数值λ； 求其温度场。 由前面所学的知识我们知道圆筒壁的 等温面都是和圆筒同轴的圆柱面，导热只 沿半径方向进行，因此在极坐标图上圆筒 壁的导热问题简化为了只是沿r轴的一维导 热问题。
用傅理叶定律求解
C1+C2 = θ0
C 1emH C 2emH 0
最后可得肋片中的温度分布为 0em1 x ee 22 m m e H H m x 0cc m h((m h xH )H )
令
x
=
H,得肋片顶端温度
H
0
ch(mH)
即：
e e m (H x)
m (H x)
c[h m (Hx)]
e e 0
dQ y
dQ z+dz
dQ’ dQ x
dQ y+dy
设该微元体均质，各
向同性，则在d时间内
dQ x+dx
dQ z
X方向： dQxxtdydzd
dxQ dx x t( x t)d x dd yd z
Y方向： dQyytdxdzd
dy Q dy yt( y t)dydd xd z z方向: dQ z z t dx dy d
dz Q dz z t ( z t)d z dd xd y
X方向： dQ xdQ xdx x2zd
z方向： dQ zdQ zdz z2t2dx dy dzd
对于微元体，按照能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热 平衡关系：
3. 温度梯度(temperature gradient)：等温线面法线方向上 的温度变化率。
grad t = lim(Δt/Δn)=ə t / ə n (Δn→0)
二、 傅里叶定律 (Fourier’s Law)
1. 表述：单位时间内传递的热量与温度梯度及垂直于热流方 向的截面积成正比。 Q = - λF grad t 对单位面积： q = - λgrad t 式中:Q—热量 w;λ—导热系数 w/m0C;grad t—温度梯度0C/m
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第二节 导热问题的数学描述
一、导热微分方程式
根据能量守恒定律和傅里叶定律，可以推导出导热微分方程， 下面是一般三维问题瞬态温度场在直角坐标系中的控制方程：
Cp t ( x2t2 y2t2 z2t2)qv
式中：ρ—密度(kg/m3)；τ —时间(s)；Cp—比热容(J/kg .0C)；
qv —内热源强度(J/m3s )； λ—导热系数(w/m0C)；
可类比：
q t1 t2 R
导热热阻
R
(I VV1V2) RR
热流密度 q 温差 t1 t2
q t1 t2 R
（二）多层平壁： 如左图所示三层平壁，各层厚度分别为 δ1δ2δ3 ，导热系数为λ1λ2λ3，两侧 壁面的温度为t1和t4,求其温度场。
求解步骤：
（1）画出串联热阻图
（2）分别写出每段的傅里叶定律
q
t1 1
t2
1
q
t2 2
t3
2
返回
q
t3 3
t4
3
（3）求解
1 q 2 q 3 q ( t1 t2 ) ( t2 t3 ) ( t3 t4 )
1
2
3
所以最终得：
q11t12t4233
t R热
同理对n层平壁有：
q
t1 tn1
n
Ri
i1
t1 tn1
n i
i1 i
二 圆筒壁的导热 (Hollow cylindrical conduction)
2. 说明： （1）负号“-”表示热量传递指向温度降低的方向；与温度梯 度方向相反。 （2）一但物体内部温度分布已知， 则由傅里叶定律即可求得各点的 热流量或热流密度。
三、 导热系数λ(Thermal conductivity)
1. 定义式： λ= - q / grad t 表示在单位温度梯度作用下物体内所产生的热流密度值。
由前面我们已知一维稳态导热的方程式为如下
d 2t dx 2
0
边界条件为：
x 0:t t1 x :t t2
求解步骤： （1）积分求解
dt c1 dx t c1x c2
t t2t1xt1
（2）根据傅里叶定律，得到：
c2 t1 c1 t2 t1
qddxtt2t1t1t2
分析：（和电路分析类比）
3 ）表面上的换热热阻 1/h ，远大于肋片的 导热热阻 δ/λ ，即肋片上任意截面上的温度均匀 不变；
4 ）肋片顶端视为绝热，即 dt/dx=0 ；
t0 --肋根温度，t∞ --周围流体温度，过余温度θ= t-t∞ λ--材料导热 系数，h--表面传热系数,Ac--肋片横截面积,P--肋片截面周长。
本章主要内容： 第一节 导热基本定律---傅里叶定律
第二节 导热问题的数学描述 第三节 典型一维导热问题的分析解 第四节 通过肋片的导热
第一节 导热基本定律---傅里叶定律
一、 导热基本概念
1. 温度场(temperature field) ：某一时刻（或瞬间）物体中 各点温度的分布的总称。t = ƒ ( x, y, z, ζ)
导人微元体的总热流量十微元体内热源的生成热 ＝导出微元体的总热流量十微元体热力学能(即内能)的增量 (a)
微元式体热(a力)中学其能他的两增项量的＝表达d式U 为c t dx dy dzd
微元体内热源的生成热＝ d'Q q'dx dy dzd
d d U x d Q x d Q d x y d Q y d Q d y z d Q z d Q d z '
分方程式简化为
d2 t dx2
0
s hPtt
Acdx
Ac
导热微分方程：
d2t dx2
hP(t
Ac
t)0
引入过余温度 t。令t
m hP const
Ac
则有：
d2
dx2
m2
混合边界条件：
x0时，＝0＝t0 t xH时，ddx 0
方程的通解为： c 1 em xc2e mx
应用边界条件可得：
c 10em e H m e m HH c 20eme H m e H mH
同样类比：
R
ln r2
2
/ r1 l
t Q
R
那么，同理对n层圆筒壁有：
Q
t1 tn 1 n ln ri 1 / ri
i 1 2 i l
（二）多层圆筒壁的导热
q1211lnd d1 2
t1t4
212 lnd d2 3213 lnd d3 4
第四节 通过肋片的导热
一 、基本概念 1 . 肋片：指依附于基础表面上的扩展表面 2 . 常见肋片的结构：针肋 直肋 环肋 大套 片 3 . 肋片导热的作用及特点 1 ）作用：增大对流换热面积及辐射散热 面 , 以强化换热
d 2t
dx
2
0
x 0 :
t t1
x : t t 2
二、三类边界条件 热传导方程有三类边界条件： 第一类：给出边界上的温度t； 第二类：给出热流密度q； 第三类：给定流体介质的温度t和换热系数α。
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平底水壶烧水 （观察底部）
冰箱（观察外壳壁面）
第三节 典型一维稳态导热问题的分析解
(2) 肋 根 温 度 为 t0 ， 且t0 > t
(3) 肋片与环境的表
面传热系数为 h. (4) ，h和Ac均保持
不变
(5) 求：
温度场 t 和热流量
分析： 假设 1 ）肋片在垂直于纸面方向 ( 即深度方向 ) 很长，不考虑温度沿该方向的变化，因此取单位长 度分析；
2 ）材料导热系数 λ 及表面传热系数 h 均为 常数，沿肋高方向肋片横截面积 Ac 不变；
整理得：
d2t dx2
hP(t t)
Ac
而 θ= t-t∞
d 2t dx2
hP Ac
所以 dθ=dt
因为 hP 是个常量 所以令 m hP
Ac
Ac
则 d 2 m2
dx2
为二阶一次微分方程，解得特征根 r1=m,r2=-m
所以通解为： C1emxC2emx要求定解即求C1,C2
根据边界条件 x=0 时,θ=θ0 x=H,ddx 0 （顶端绝热）代入上式中