辽宁省沈阳市郊联体2021届高三上学期期中考试 数学(含答案)

毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”。在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究
如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等。如图为某工程队将 A 到 D 修建一条隧道，测量
员测得一些数据如图所示(A，B，C，D 在同一水平面内)，则 A，D 间的距离为
。
Leabharlann Baidu
四、解答题：(满分 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的 对应位置) 17.(本小题满分 10 分) △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC(acosB＋bcosA)＝c。 (1)求 C：
所以 g（x）＝
＝
＝﹣
＝ ﹣sin（2x+ ）．…………8 分
由于 x∈[0， ]，
所以
．
，
故
，…………10 分
故
．
所以函数 g（x）的值域为[﹣
．…………12 分
20．（本小题满分 12 分） 解：（1）证明：将
两边同时除以 2n+1 得，
，……3 分
即 bn+1﹣bn＝3，
又 a1＝2，故数列{bn}是以 1 为首项，3 为公差的等差数列………… 4 分
(1)设 bn＝
an 2n
，证明数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn。
21.(本小题满分 12 分)
ax2 x 1
已知函数 f(x)＝ ex
。
(1)求曲线 y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；
(2)证明：当 a≥1 时，f(x)＋e≥0。
一、选择题：
BABCD CDA
二、多项选择题：
ACD ABD BCD CD
三、填空题：
13、 2 3
100
14、
15、-0.75 16、
km
51
四、解答题：
17、（本题满分 10 分） 解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C＜π，∴sinC≠0 已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， 即 2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC 2cosCsinC=sinC
即 a≥
在（0，+∞）上恒成立，
令 g（x）＝
，则 g′（x）＝
，…………2 分
∴当 x∈（0，e2）时，g′（x）＞0，此时函数 g（x）递增， 当 x∈（e2，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数 g（x）递减， 故当 x＝e2 时，函数 g（x）有极大值，也是最大值，…………3 分 故 a≥g（e2）＝ ，
已知函数 f(x)＝sinωx，ω>0。
1
(1)f(x)的周期是 4π，求 ω，并求 f(x)＝ 的解集；
2
(2)已物 ω＝1， g(x) f 2 (x)
3f
(x)
f
(
x)
，x∈[0，
]，求
g(x)的值域。
2
4
20.(本小题满分 12 分)
己知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3·2n＋1。
得 bn＝3n﹣2，即
．…………6 分
（2）Sn＝1•2+4•22+…+（3n﹣2）•2n，① 则 2Sn＝1•22+4•23+…+（3n﹣2）•2n+1，②…………7 分
①②相减得﹣Sn＝2+3（22+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1…………8 分
＝2+3•
﹣（3n﹣2）•2n+1，…………10 分
2
A.(0， )
3
B.( ， )
32
2
C.( ， )
33
5
D.( ， )
26
4.边长为 6 的等边△ABC 中，D 是线段 BC 上的点，BD＝4，则 AB AD ＝
A.48 B.30 C.24 D.12 5.已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则 a5＋a7＋a9＝ A.21 B.42 C.63 D.84
故实数 a 的取值范围是[ ，+∞）；…………4 分
（2）证明：由（1）知，f′（x）＝x（2lnx﹣ax﹣2），
则
，故 2ln（x1x2）＝a（x1+x2）+4，
2ln ＝a（x1﹣x2），…………6 分
故 2ln（x1x2）＝
（x1+x2）+4，…………7 分
∵x1≠x2，∴令 x1＞x2， ＝t，…………8 分 则 ln（x1x2）＝ lnt+2， 令 h（t）＝ lnt+2，（t＞1）， 要证 h（t）＞4 在（1，+∞）上恒成立，
可得
＝﹣
．…………5 分
令 f′（x）＝0，可得
，
当x
时，f′（x）＜0，x
时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′
（x）＜0． ∴f（x）在（﹣
），（2，+∞）递减，在（﹣ ，2）递增，…………7 分
注意到 a≥1 时，函数 g（x）＝ax2+x﹣1 在（2，+∞）单调递增，且 g（2）＝4a+1＞0 函数 f（x）的图象如下：
＝
＝
＝650﹣62＝588．
…………12 分 19、（本题满分 12 分）
解：（1）由于 f（x）的周期是 4π，所以 ω＝
，…………1 分
所以 f（x）＝sin ．
令 sin
，故
或
，…………3 分
整理得
或
．…………4 分
故解集为{x|
或
，k∈Z}．…………5 分
（2）由于 ω＝1， 所以 f（x）＝sinx．
·b
＝
1
，则(
a
－
b
)·(2
b
－
c
)的值可能为
2
A.3－ 3
B.－2 C.0 D.－ 2
lnx ，0 x e
12.已知函数
f(x)＝
f
2e
x
，e
x
2e
，若函数
F(x)＝f(x)－ax
有
4
个零点，则
a
的可能的值为
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
e
2
3
4
第 II 卷(共 90 分)
三、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题纸上。)
(2)若 c＝
7 ，△ABC 的面积为 3
3
，求△ABC 的周长。
2
18.(本小题满分 12 分) 已知数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8。 (I)求{bn}与{an}的通项公式； (II)若{bn}中去掉{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前 20 项和。 19.(本小题满分 12 分)
解：（Ⅰ）∵
，
∴当 n≥2 且 n∈N*时 bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2n．…………2 分 又 b1＝S1＝2 也符合上式，∴bn＝2n．…………3 分
∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，
∴等比数列{an}的公比为 2，
∴
．…………6 分
（Ⅱ）∵a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，b25＝50， ∴c1+c2+…+c20＝（b1+b2+…+b25）﹣（a1+a2+…+a5）…………9 分
22.(本小题满分 12 分)
13
已知函数 f(x)＝x2lnx－ ax3－ x2。
32
(1)若函数 y＝f(x)在定义域上单调递减，求实数 a 的取值范围； (2)设函数 f(x)有两个极值点 x1，x2，求证：ln(x1x2)>4。
2020---2021 学年度上学期沈阳市郊联体期中考试题
高三数学答案
∴cosC= ，……………3 分
∵0＜c＜π
∴C= ；……………5 分
（2）因为△ABC 的面积 S＝
＝
＝，
所以 ab＝6，…………7 分 由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣3ab＝7，
所以 a+b＝5…………9 分
△ABC 的周长 a+b+c＝
．…………10 分
18、（本小题满分 12 分）
即证（t+1）lnt﹣2t+2＞0，…………9 分 令 F（t）＝（t+1）lnt﹣2t+2，则 F′（t）＝lnt+ ﹣1， 则 F″（t）＝ ﹣ ＝ ＞0，
故 F′（t）在（1，+∞）递增，…………11 分 ∴F′（t）＞F′（1）＝0，F（t）在（1，+∞）递增， 从而 F（t）＞F（1）＝0， 即原不等式成立．…………12 分
13.已知 a i 3 j ， b 2i ，其中 i ， j 是互相垂直的单位向量，则| a －2 b |＝
。
1
14.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3，S3＝6，则数列 的前 50 项的和为：
。
Sn
15.已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x＋2)＝f(x)，又当 x∈(0，1)时，f(x)＝2x－
化简得
．…………12 分
21．（本小题满分 12 分） 解：（1）
＝﹣
．
∴f′（0）＝2，即曲线 y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率 k＝2，…………2 分 ∴曲线 y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为 y﹣（﹣1）＝2x． 即 2x﹣y﹣1＝0 为所求．…………4 分 （2）证明：函数 f（x）的定义域为：R，
符合题目要求的)
1.已知集合 A＝{－2，－1，0，1，2)，B＝{x|log2x<2}，则 A∩B＝ A.{2} B.{1，2} C.{0，1，2} D.(－2，－1，0，1，2)
6 3i
2.若复数 z＝(m＋1)＋(2－m)i(m∈R)是纯虚数，则
＝
z
A. 5
B.3 C.5 D.3 5
3
3.在△ABC 中，能使 sinA> 成立的充分不必要条件是
a C.若 a，b∈(0，＋∞)，则 b a ≥2
ab
B.不等式 a＋b≥2 ab 恒成立 D.若正实数 x，y 满足 x＋2y＝1，则 2 1 ≥8
xy
10.函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则
2
A.该函数的解析式为 y＝2sin( x＋ )
1，则 f( log1 7 )的值等于
。
2
16.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗
《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了。造化钟神秀，阴阳割昏晓，荡胸生层云，决毗入归鸟。会
当凌绝顶，一览众山小。”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖
33
5
B.该函数的单调递增区间是[3kπ－ ，3kπ＋ ]，k∈z
4
4
C.该函数的对称中心为(kπ－ ，0)，k∈z
3
3
D.把函数 y＝2sin(x＋ )的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变可得到该函数图象
3
2
11.已知平面向量
a
，
b
，
c
满足|
a
|＝|
b
|＝|
c
|＝1.若
a
的取值范围是
2
A.[ ，π)
3
B.[ ， )
32
2
C.( ， ]
23
D.(0， ]
3
二、多项选择题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项
是符合题目要求的。全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分)
9.下列说法中正确的有
1
A.存在 a，使得不等式 a＋ ≤2 成立
∵a≥1，∴
，则
≥﹣e，…………11 分
∴f（x）
≥﹣e，
∴当 a≥1 时，f（x）+e≥0．…………12 分
22、（本题满分 12 分） 解：（1）由题意得 f′（x）≤0 在（0，+∞）上恒成立，
∵f′（x）＝2xlnx+x﹣ax2﹣3x＝x（2lnx﹣ax﹣2）， ∴2lnx﹣2﹣ax≤0 在（0，+∞）恒成立，…………1 分
沈阳市郊联体 2021 届高三上学期期中考试
数学
考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分
注意事项：
本试卷由第 I 卷和第 II 卷两部分组成。第 I 卷和第 II 卷选择题部分，一律用 2B 铅笔按题号依
次填涂在答题卡上；第 I 卷和第 II 卷非选择题部分，按要求答在答题卡相应位置上。
一、选择题：(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
6.函数 f(x)＝cosx·ln( 1 x2 －x)(－2≤x≤2)的图象大致为
a
1
7.己知 f(x)＝1－
是定义域为 R 的奇函数，且对任意实数 x，都有 f(x2－mx＋2)> ，则 m 的
2x 1
3
取值范围是
A.m>2 B.0<m<2 C.－4<m<4 D.－2<m<2
83 8.已知曲线 C：y＝ ex 2 ，P 为曲线 C 上任意一点，设曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角为 α，则 α