初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)

初中数学几何模型大全+经典题型(含答案) 初中数学几何模型大全及经典题型（含答案）
全等变换
平移：平行线段平移形成平行四边形。

对称：以角平分线、垂线或半角作轴进行对称，形成对称
全等。

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转形成旋转全等。

对称半角模型
通过翻折将直角三角形对称成正方形、等腰直角三角形或
等边三角形。

旋转全等模型
半角：相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。

自旋转：通过旋转构造相邻等线段的旋转全等。

共旋转：通过寻找两对相邻等线段构造旋转全等。

中点旋转：将倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。

模型变形
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

几何最值模型
对称最值：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。

剪拼模型
通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状，例如将三角形剪拼成四边形或将矩形剪拼成正方形。

正方形的边长可以通过射影定理来求解。

假设正方形的边长为x，那么正方形的对角线长为x√2.将正方形分成两个等腰
直角三角形，可以得到等腰直角三角形的斜边长为x√2/2.因此，根据射影定理，可以得到等腰直角三角形的高为x/2，进而得
到正方形的边长为x=x√2/2.
通过平移和旋转，可以将一个正方形变成另一个正方形。

这可以通过旋转相似模型来实现。

例如，两个等腰直角三角形可以通过旋转全等来实现形状的改变，而两个有一个角为300
度的直角三角形可以通过旋转相似来实现形状的改变。

更一般地，两个任意相似的三角形可以通过旋转成一定角度来实现旋转相似，其中第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。

在相似证明中，需要注意边和角的对应关系。

相等的线段或比值在证明相似时可以通过等量代换来构造相似三角形。

另外，从三垂线到射影定理的演变，再到内外角平分线定理，需要注意它们之间的相同和不同之处。

相似、射影定理和相交弦定理（可以推广到圆幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值和等乘积进行代换，可以得到需要的结论。

在相似证明中，最常用的辅助线是平行线。

根据题目的条件或结论的比值来做相应的平行线，以构造相似三角形。

以下是几个经典几何题：
1.已知半圆O的圆心，圆上的点C、E，CD垂直于AB，EF垂直于AB，EG垂直于CO。

证明CD=GF。

2.已知正方形ABCD内一点P，∠PAD=∠PDA=15度。

证明△PBC是正三角形。

3.已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。

证明四边形
A2B2C2D2是正方形。

4.在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD
的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。

证明∠DEN=∠F。

5.在△ABC中，H为垂心，O为外心，OM垂直于BC于M。

证明：（1）AH=2OM；（2）若∠BAC=60度，则
AH=AO。

6.在圆O外一直线MN上，过O作OA垂直于MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD 分别交MN于P、Q。

证明AP=AQ。

3、如果将圆O外的直线MN平移到圆内，可以得到以下
命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A作两条弦BC和DE，CD和EB分别交MN于P和Q。

证明AP= AQ。

（初二）
4、如图所示，以△ABC的AC和BC为一边，在△XXX
的外侧分别作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点。

证
明点P到边AB的距离等于AB的一半。

（初二）
1、如图所示，四边形ABCD为正方形，DE平行于AC，AE=AC，AE与CD相交于F。

证明CE=CF。

（初二）
2、如图所示，四边形ABCD为正方形，DE平行于AC，CE=CA，直线EC交DA延长线于F。

证明AE=AF。

（初二）
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任意一点，PF垂直
于AP，CF平分∠DCE。

证明PA=PF。

（初二）
4、如图所示，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为
圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D。

证明AB=DC，BC=AD。

（初三）
1、已知△ABC是正三角形，P是三角形内的一点，PA=3，PB=4，PC=5.求∠APB的度数。

（初二）
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且
∠PBA=∠PDA。

证明∠PAB=∠PCB。

（初二）
3、设ABCD为圆内接凸四边形。

证明
AB·CD+AD·BC=AC·BD。

（初三）
4、在平行四边形ABCD中，设E和F分别是BC和AB
上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF。

证明
∠DPA=∠DPC。

（初二）
1、设P是边长为1的正△ABC内任意一点，XXX，证明：1≤L<2.
2、已知P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求
PA+PB+PC的最小值。

3、P为正方形ABCD内的一点，且PA=a，PB=2a，
PC=3a。

求正方形的边长。

4、如图所示，△ABC中，∠ABC=∠ACB=80，D和E分别是AB和AC上的点，且∠DCA=30，∠XXX。

求∠XXX的度数。

1.如图所示，连接EO并使GH垂直于AB。

由于GOFE
四点共圆，因此∠XXX∠OEG，即可得到△GHF∽△OGE，
进而推出CD=GF，证毕。

2.如图所示，连接△DGC并使其与△ADP全等，从而得
到△PDG为等边三角形。

进一步推导可得
△DGC≌△APD≌△CGP，从而得出PC=AD=DC，且
∠DCG=∠PCG＝15，因此∠DCP=30，从而得出△PBC是正三角形。

3.如图所示，连接BC和AB并分别找到其中点F和E。

连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q 于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点。

由
A2E=1/2EB2=1/2AB=1/2BC=FC1，GFQ+∠Q=90和
∠GEB2+∠Q=90，可得∠GEB2=∠GFQ。

又
∠B2FC2=∠A2EB2，因此可得△B2FC2≌△A2EB2，从而得出A2B2=B2C2.又∠GFQ+∠HB2F=90和∠XXX∠EB2A2，从而可得∠A2B2C2=90，同理可得其他边垂直且相等，因此得出四边形A2B2C2D2是正方形。

4.如图所示，连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠XXX和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

经典难题（二）
1.(1)如图所示，延长AD到F并连接BF，做OG垂直于AF。

由于∠F=∠ACB=∠BHD，因此可得BH=BF，从而得到HD=DF。

又因为
AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM，因此可得
AH=2OM。

2.如图所示，连接OB和OC，可得∠BOC=120，进而得
到∠BOM=60.因此可得OB=2OM=AH=AO，证毕。

3.如图所示，作OF垂直于CD，OG垂直于BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

由于
AD/AB=AC/AE=CD/BE=2FD/2BG=FD/BG，可得
△ADF≌△ABG，从而得到∠AFC=∠AGE。

又因为XXX与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，进
而得到∠AOP=∠AOQ，因此可得AP=AQ。

4.如图所示，过E、C、F点分别作AB所在直线的高EG、CI、FH。

可得PQ=EG^2/FH。

2）连接PA，可得∠PAB=60，从而得出∠PAC=30，又
∠PCA=60，所以∠ACP=90-30=60，从而得出△APC为等边
三角形。

所以PA=PC=PB，得证。

2.连接BC，可得△ABC为等腰三角形，所以
∠BAC=∠BCA，又∠BPC=120，所以∠APC=60，从而得出
∠ACP=∠APC=30，所以∠ABC=∠ACB=75，又∠BCD=75，
所以∠XXX∠DBC=15，从而得出∠BDC=150，所以
∠BDA=∠BDC+∠CDA=150+75=225，所以∠BDE=45，又
∠CDE=75，所以∠EDC=60，从而得出∠EDB=75，所以
∠BED=60，所以△BED为等边三角形，得证。

3.连接AD，可得∠BAD=∠BCD，又∠CBD=75，所以
∠BAD=75，从而得出∠BDC=75，所以∠BAC=∠BCA=75，
又∠BPC=120，所以∠APC=60，从而得出∠ACP=∠APC=30，所以△APC为等边三角形，所以PA=PC=PB，得证。

4.连接AC，可得∠BAC=∠BCA，又∠BPC=120，所以
∠APC=60，从而得出∠ACP=∠APC=30，所以
∠ABC=∠ACB=75，又∠BCD=75，所以∠XXX∠DBC=15，
从而得出∠BDC=150，所以
∠BDA=∠BDC+∠CDA=150+75=225，所以∠BDE=45，又∠CDE=75，所以∠EDC=60，从而得出∠EDB=75，所以
∠BED=60，所以△BED为等边三角形，得证。

要使PA+PB+PC最小，需要使AP、PE、EF在一条直线上。

根据图示可得最小L=2.另外，过P点作BC的平行线交AB、AC于点D、F。

由于∠APD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP。

又因为BP+DP>BP，PF+FC>PC，且DF=AF，因此最大L<2.综上可得：1≤L<2.
顺时针旋转△BPC60度可得△PBE为等边三角形。

要使PA+PB+PC最小，需要使AP、PE、EF在一条直线上。

根据图示可得最小PA+PB+PC=AF。

由此可得AF=2/3，即
AF=4/(3√3)。

顺时针旋转△ABP90度可得正方形边长L=5√2a。

在AB 上找一点F，使∠BCF=60度，连接EF、DG，可得△BGC为等边三角形，推出∠DCF=10度，∠FCE=20度，从而得到△ABE≌△ACF，进而得到BE=CF，XXX。

推出△FGE为等边三角形，可得∠AFE=80度。

同时，因为BD=BC=BG，所
以∠BGD=80度，从而得到∠DGF=40度。

由DF=DG，又可得到△DFE≌△DGE。