三都水族自治县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

三都水族自治县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2
的内切圆圆心的横坐标为（）
A．a B．b C．c D．a+b﹣c
2．函数y=2sin2x+sin2x的最小正周期（）
A．B．C．πD．2π
3．若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）
A．[0，+∞）B．[0，3]C．（﹣3，0]D．（﹣3，+∞）
4．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（
）
A．1B．C．D．
5．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于
（）
A．B．C．24D．48
4
意在考查学生空间想象能力和计算能
7． 已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
8． 已知函数f （x ）=Asin （ωx ﹣）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2 的等边三角
形，为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象（
）
A ．向左平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C ．向左平移个长度单位
D ．向右平移个长度单位
9． 已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是（ ）2
()45f x x x =-+[]0,m m A ．
B ．
C ．
D ．[2,)+∞[]2,4(,2]-∞[]
0,211．在下列区间中，函数f （x ）=（）x ﹣x 的零点所在的区间为（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，3 ）
D ．（3，4）
12．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（
）
A.x
y e -=
B.3
y x =
C.ln y x =
D.y x
=二、填空题
13．如图所示是y=f （x ）的导函数的图象，有下列四个命题：①f （x ）在（﹣3，1）上是增函数；②x=﹣1是f （x ）的极小值点；
③f （x ）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x=2是f （x ）的极小值点．
其中真命题为 （填写所有真命题的序号）．
14．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．
15．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数，
若曲线()()ln R x f x x a a x
=+-∈122e e 1x x y +=+（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为__________.
e ()00,x y ()()00
f f y y =a 16．若执行如图3所示的框图，输入
，则输出的数等于17．椭圆
的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 ．
18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则{a n }的通项公式a n = ．　
三、解答题
19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，
过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．
20．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=，M为BC的中点．（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求点D到平面AMP的距离．
21．（本小题满分12分）在中，内角的对边为，已知
ABC ∆C B A ,,c b a ,,.1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A
（I ）求角的值；C
（II ）若，且的面积取值范围为，求的取值范围．2b =ABC ∆c 【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．
22．（本题满分13分）已知函数.x x ax x f ln 22
1)(2
-+=（1）当时，求的极值；
0=a )(x f （2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围.
)(x f ]2,3
1
[a 【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.
23．在平面直角坐标系xOy 中，经过点且斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点P
和Q ．
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量与共线？
如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
24．在中已知，，试判断的形状.
ABC ∆2a b c =+2
sin sin sin A B C =ABC ∆
三都水族自治县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q，
则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．
由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a．
由圆的切线性质PF1﹣PF2=F I M﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，
∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，
∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a．
故选A．
【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．
2．【答案】C
【解析】解：函数y=2sin2x+sin2x=2×+sin2x=sin（2x﹣）+1，
则函数的最小正周期为=π，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．
3．【答案】D
【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，
易知当x=0时上式不成立；
故a==2x﹣，
令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x﹣的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，
故选：D．
4．【答案】C
【解析】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．
因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．
因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．
故选C．
【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．
5．【答案】C
【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
6．【答案】D
【解析】
7．【答案】C
【解析】解：∵﹣2＜0
∴f（﹣2）=0
∴f（f（﹣2））=f（0）
∵0=0
∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2
∵2＞0
∴f（2）=22=4
即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4
故选C．
8．【答案】A
【解析】解：∵△EFG是边长为2的正三角形，
∴三角形的高为，即A=，
函数的周期T=2FG=4，即T==4，
解得ω==，
即f（x）=Asinωx=sin（x﹣），g（x）=sin x，
由于f（x）=sin（x﹣）=sin[（x﹣）]，
故为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象向左平移个长度单位．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
9．【答案】A
【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A ．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．　
10．【答案】B 【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知需从开始，要取得最大值为，由图可知m m 的右端点为，故的取值范围是.
m []2,4
考点：二次函数图象与性质．11．【答案】A
【解析】解：函数f （x ）=（）x ﹣x ，
可得f （0）=1＞0，f （1）=﹣＜0．f （2）=﹣＜0，函数的零点在（0，1）．故选：A ．　
12．【答案】B 【解析】
试题分析：对于A ，为增函数，为减函数，故为减函数，对于B ，，故x
y e =y x =-x
y e -=2
'30y x =>3
y x =为增函数，对于C ，函数定义域为，不为，对于D ，函数为偶函数，在上单调递减，
0x >R y x =(),0-∞在上单调递增，故选B.
()0,∞
考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.
二、填空题
13．【答案】　①　
【解析】解：由图象得：f （x ）在（1，3）上递减，在（﹣3，1），（3，+∞）递增，∴①f （x ）在（﹣3，1）上是增函数，正确，x=3是f （x ）的极小值点，②④不正确；
③f （x ）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数，不正确，故答案为：①．　
14．【答案】
【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝k 1＋2k 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（k 1＋k 2·2n ）－（k 1＋k 2·2n －1）＝k 2·2n －1，∴k 1＋2k 2＝k 2·20，即k 1＋k 2＝0，①又a 2，a 3，a 4－2成等差数列．∴2a 3＝a 2＋a 4－2，即8k 2＝2k 2＋8k 2－2.②由①②联立得k 1＝－1，k 2＝1，∴a n ＝2n －1.答案：2n －1
15．【答案】1,e
⎛⎤-∞ ⎥
⎝
⎦
【解析】结合函数的解析式：可得：，1
22e e 1x x y +=+()()
122
221'1x x x e e y e +-=+令y ′=0，解得：x =0，
当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，
则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减，则当x =0时，取最大值，最大值为e ，∴y 0的取值范围（0，e ]，
结合函数的解析式：可得：，()()R lnx
f x x a a x
=+-∈()22
ln 1'x x f x x -+=x ∈（0，e ），，
()'0f x >则f （x ）在（0，e ）单调递增，下面证明f （y 0）=y 0．
假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0．同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0．综上可得：f （y 0）=y 0．
令函数．()ln x
f x x a x x =
+-=设，求导，()ln x g x x =()2
1ln 'x
g x x
-=当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0，g （x ）在（0，e ）单调递增，当x =e 时取最大值，最大值为，()1g e e
=当x →0时，a →-∞，∴a 的取值范围.
1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．16．【答案】
【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则。

17．【答案】　20　．
【解析】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF 2的周长=4a ．∴△PQF 2的周长=20．，故答案为20．
【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．　
18．【答案】 ．
【解析】解：∵数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，∴S n =3n ．故a 1=s 1=3，n ≥2时，a n =S n ﹣s n ﹣1=3n ﹣3n ﹣1=2•3n ﹣1，
故a n=．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，数列的前n项的和Sn与第n项an的关系，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，
∴，解得a2=4，b2=3，
∴椭圆C的方程为=1．
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣），
代入椭圆，化简，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，
∴，，
设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），
则直线F1M：，令x=4，得P（4，），同理，Q（4，），
∴=||=15×||=180×||，
令μ=∈[1，），则=180×，
∵y==在[1，）上是增函数，
∴当μ=1时，即t=0时，（）min=．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ∵△PCD 为正三角形
∴PE ⊥CD ，PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=∵平面PCD ⊥平面ABCD ∴PE ⊥平面ABCD ∵四边形ABCD 是矩形
∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形由勾股定理得EM=
，AM=
，AE=3
∴EM 2+AM 2=AE 2，∴∠AME=90°∴AM ⊥PM
（Ⅱ）解：设D 点到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则V P ﹣ADM =V D ﹣PAM ∴而
在Rt △PEM 中，由勾股定理得PM=∴∴∴
，即点D 到平面PAM 的距离为
21．【答案】
【解析】（I ）∵，1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A
∴，
0cos sin 3cos cos cos =-+C B C B A ∴，
0cos sin 3cos cos )cos(=-++-C B C B C B ∴，
0cos sin 3cos cos sin sin cos cos =-++-C B C B C B C B
∴，因为，所以0cos sin 3sin sin =-C B C B sin 0B >3tan =C 又∵是三角形的内角，∴.
C 3
π
=
C
22．【答案】
【解析】（1）函数的定义域为，因为，当时，，则),0(+∞x x ax x f ln 22
1)(2
-+=
0=a x x x f ln 2)(-=.令，得.…………2分x x f 12)('-
=012)('=-=x x f 2
1
=x 所以的变化情况如下表：
)(),(',x f x f x x )21,0(2
1)
,21
(+∞)('x f －0＋)
(x f ↘极小值↗
所以当时，的极小值为，函数无极大值.………………5分
2
1=
x )(x f 2ln 1)21
(+=f
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=，解得或．即k的取值范围为．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
由方程①，．②
又．③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知
或
，
故没有符合题意的常数k ．
【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．24．【答案】为等边三角形．ABC ∆【解析】
试题分析：由，根据正弦定理得出，在结合，可推理得到，2
sin sin sin A B C =2
a bc =2a
b
c =+a b c ==即可可判定三角形的形状．
考点：正弦定理；三角形形状的判定．。