第3章 卫星运动基础及GPS卫星星历

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二、轨道参数
轨道参数，是在人卫轨道理 论中用来描述卫星椭圆轨道 的形状、大小及其在空间的 指向，及确定任一时刻t0卫 星在轨道上的位置的一组参 数。
通常采用的是所谓的6个开 普勒轨道参数。。
• 参数包括： – 升交点赤经Ω – 轨道倾角i – 长半径a – 偏心率e – 近地点角距ω
– 真近点角V
h2 a(1 e2 )
h A2 B2 C2
r
h的意义为其值等于卫星对
地心的向径r在单位时间内所
扫过的面积的二倍
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2、卫星运动的轨道方程
轨道平面坐标系：
• 卫星运动的轨道方程为：
其中e， 为新积分常数 θ是从x轴至卫星向径r的角度 r ( h 2 ) /(1 e cos( )) （ 3－ 10）
ae (Gm / r2 ) r (3- 2)
引力产生的加速 度
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二体运动方程
• 设 a为卫星S相对于地球质心O的加速度，则:
a=-(GMm/r2).r0
忽略卫星的质量
a (GM / r 2 ) r
(3 – 4)
取地球引力常数µ=GM=1，此时（3-4）式可写成为：
a


轨道平面
r
t0 过近地点时刻
ω近地点角距
地 心o
Y
i 轨道倾偏角心率e
升交点
Ω升交点赤经
定义：
长半径
e c a2 b2
a
a
(0 e 1)
e 轨 道偏(离)心率
远地点
e c a2 b2 (0 e 1)
a
a
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轨道参数(2)
① 长半径a ② 偏心率e • 这两个参数确定了开普勒椭圆的形状和大小。 ③ 升交点赤经Ω ④ 轨道倾角I • 这两个参数唯一地确定了卫星轨道平面与地球体之间的相 对定向。 ⑤ 近地点角距ω 表达了开普勒椭圆在轨道平面上的定向。 ⑥ 真近点角v 卫星过近地点的时刻t0 • 该参数为时间的函数，确定卫星在轨道上的瞬时位置。
Y&&

Y
r3

d 2Z dt 2
Z&& Z
r3

r X 2 Y2 Z2
S
r
（3－6）
o
y
x
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左边(3-6)方程解的一般形式为：
r g(a,e,i,,, ,t)

dr dt

g(a, e, i, , ,t)
（3－7）
给定六个轨道参数，可确定任意时刻t的 卫星位置及其运动速度
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计算卫星的位置
▪ 通过开普勒轨道6个参数可以确定出卫星在 轨道平面上的瞬间位置和速度。
▪ a、 e、、 i、 、 V
由卫星发射条 件决定，已知
为时间的函数， 需计算出
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三、二体问题的运动方程
在图3-1中所示的二体问题中，依据万有引力定律可知， 地球O与卫星S之间的引力为：
Fs (GMm/ r2 ) r Fe (GMm/ r 2 ) r
表明卫星在椭圆轨道上的运行速度是不断变化的，在近地点处 速度最大，在远地点处速度最小。
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Kepler三大定律之第三定律
卫星运行周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之比为一常量， 等于GM的倒数。
假设卫星运动的平均角速度为n，则n=2π/Ts，可得
当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平均角速度也随之 确定，且保持不变。
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四、二体问题微分方程的解
1、卫星运动的轨道平面方程
❖直接由微分方程（3-6）求积分，可得卫星运动的轨道平
面方程：
AX BY CZ 0
（3－8）
式中，X,Y,Z是卫星在地心天球坐标系中的坐标
v
A h sin sin i B h cos sin i C h cosi
R3()


sin

cos
0
0
0 1
1 0 0 R1(i) 0 cosi sin i
0 sin i cosi
coss sins 0 R(s ) sins coss 0
0
0 1
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（3）卫星在地球坐标系的位置
s cosV
s


r

sinV

s 0
s rV
s
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(2)在天球坐标系中卫星的位置
在轨道平面直角坐标系中只确定了卫星在轨道平面上的位 置，而轨道平面与地球体的相对定向尚需由轨道参数、 i和s确定。
天球坐标系（x,y,z）与轨道坐标系(s, s, s)具有相同的原 点，差别在于坐标系的定向不同，为此需将轨道坐标系 作如下旋转：
• 卫星在地球质心引力和各种摄动力影响下的轨道参数称为 瞬时轨道参数。
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1、地球引力
（1）建立一个位函数来表示地球外部空间一个质点所受的 作用力。其位函数的一般形式为：
U (r,, ) GM / r R
3-20
地球质量的分布不 均匀，且形状不规
则
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① 式中r为质点地心矢径的模，, 为质点的球面坐标。
第3章 卫星运动基础及GPS卫星星历
3.1 概述 3.2 卫星的无摄运动 3.3 卫星的受摄运动 3.4 GPS卫星星历
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§3.1 概述
一、作用在卫星上的外力
1、地球引力
G Mm
• 地球引力(1) － 地球的球形引力或称地球中心力
r2
• 地球引力(2)－ 地球的非球形引力或称地球形状摄动力
2、日、月及其它天体的引力
利用GPS定位时，应使观测卫星和观测站的位置处于统一 的坐标系统。由于瞬时地球空间直角坐标系与瞬时天 球空间直角坐标系的差别在于x轴的指向不同，若取其 间的夹角为春分点的格林尼治恒星时GAST，则在地球 坐标系中卫星的瞬时坐标（X，Y，Z）与天球坐标系 中的瞬时坐标（x，y，z）存在如下关系：
X

tan(V ) 2
1 1

e e
tan(
E 2
)
(1 e) sin E sinV
1 e cos E
（3－14）
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（2）平近点角
若卫星平均角速度为n，平近点角M：
M n(t )
观测卫星时刻ຫໍສະໝຸດ 平近点角与偏近点角关系：M E esin E
表示卫星过近地点的时刻
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3.2 卫星的无摄运动
一、开普勒三定律
Kepler三大定律之第一定律
行星绕 太阳的 轨道为 椭圆， 太阳位 于椭圆 的一个 焦点上。
卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质 心重合。此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与 地心的关系。
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Kepler三大定律之第二定律
卫星的地心向径在单位时间内所扫过的面积相等。
（卫星过近地点的时刻t0）
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轨道平面上的特殊点
近地点与远地点 升交点与降交点
通常，卫星轨道与赤道平 面有2个交点。当卫星从 赤道平面以下（南半球） 穿过赤道平面进入北半球 的交点，称为升交点。反 之，则称为降交点。
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轨道参数(1)
升交点赤经Ω轨道倾角i
定义：升交定点义与：春在升交点处
分点之间的轨地道心正夹方向（卫星

由于 V， 所以（3-10）式可以真近点角V表示：
r a (1 e2 ) /(1 e cos V ) （ 3－ 11）
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3、计算真近点角V
（1）E：偏近点角
在卫星轨道椭圆上，以椭圆中心 O’为中心以长半径a为半径作一 辅助圆，过卫星点S作OA的垂线 SR，延长RS交辅助圆与S’，则 O’S’与OA的夹角E称为偏近点角
– 人卫正常轨道的特点
• 运动轨道为一椭圆 • 可以精确地计算出椭圆大小形状及其在空间中的定向以及卫星在轨
道上的位置
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二、二体问题与卫星正常轨道
4. 人卫真实轨道
• 除了地球引力(1)外，卫星还受到地球引力(2)以及其它摄动 力的作用。卫星在所有这些力的作用下的轨道，称为人卫 真实轨道。
5. 轨道摄动
1 r2
ro
（3－5）
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二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标为（X， Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y，Z），加速 度 a ( X,Y，, 代Z)入（3-4）得二体问题的运动方程z ：
d2X dt 2 d 2Y dt 2
X&&

X
r3
r r r
(3 -1)
式中：G——万有引力常数， G=(6672±4.1)×10-14 N·m2/ kg2 ； Ｍ，m——地球和卫星的质量； r——卫星的在轨位置矢量。
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• 根据牛顿第二定律，可得卫星与地球运动方程
O和S点在某一惯性坐标系内运动方程
as

(GM
/
r2)r

d 2r dt 2
轴延长线之间的夹角
V V(t)
在椭圆轨道上运行的卫星，其 卫星向径与以焦点指向近地点 的极轴之夹角。
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4.无摄运动卫星的瞬时位置
（1）在轨道直角坐标系中卫星的位置 取直角坐标系的原点与地球质心相重合，s轴指 向近地点、s轴垂直于轨道平面向上 , s轴在轨 道平面上垂直于s轴构成右手系，则卫星在任意 时刻的坐标为:
开普勒轨道方程
E M esin E （E0——En）采用迭代方法计算
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轨道椭圆的三种近点角
中文名称 平近点角
符号 表达式
说明
M M(t) =n(t-t0)
在轨卫星从过近地点t0开始， 按平均角速度运行到t的弧。
偏近点角 真近点角
E
卫星在辅助圆的相应点和椭圆
E M esin E 轨道中心的连线与椭圆轨道极
•绕s轴顺转角度s使s轴的指向由近地点改为升交点。 •绕s轴顺转角度i，使s轴与z轴重合。 •绕s轴顺转角度，使x轴与s轴重合。
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用旋转矩阵表示如下
x
s

y

R3
()R1(i)R(s
)s

z
s
cos sin 0
角
运 正近动 方地方 向向 （点） 赤角与 经距赤 增ω道 加降 交 点
定 近方义 地向： 点）轨 与之道 升间平 交的面 点夹上 之角赤。道 面
间的夹角
长半径a 春分点
定义：轨道长轴的 一半，也称作长半 轴或半长轴
X 轨道椭圆中心
真近点角V 定义：轨道平面上 卫星与近地点之间 Z 卫星 近地点的角距
3、大气阻力
摄动力
4、太阳光压
5、其它作用力（如：地磁、地球潮汐摄动等）
2
二、二体问题与卫星正常轨道
1. 二体问题：研究二个质点在万有引力作用下的运动规律 问题
2. 摄动力：除地球引力(1)外，其它作用在卫星上的力 3. 人卫正常轨道
– 满足如下假定条件下的卫星轨道，称为人卫正常轨道
• 地球为正球 • 除地球正球引力外，卫星不受其它摄动力的作用
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3、计算真近点角V
（1）E：偏近点角 ➢从表示偏近点角E与真近点角V的关系的图3-2
OR r cosV a(cos E e) （3－13）
a(1 e2 )
r
开普勒定律
1 e cosv
r a(1 e cosE)
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另外还可导出V和E的关系：
cosV cos E e 1 e cos E
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主要摄动因素
地球形状摄动
日、月引力
大气阻力摄动 光压摄动 潮汐摄动
J2为地球引力场系数 的二阶带谐系数，
也称动力扁率。
坐标附加摄动
...
摄动的量级
设地球正球引力为1，则其它摄动的量级约为
110-5，其中以 J2 的影响最大。
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一、各种作用力的特性及影响
• 在考虑了摄动力的作用后，卫星的受摄运动的轨道参数不 再保持为常数，而是随时间变化的轨道参数。
轨道理论 人卫正常轨道（二体问题）
人卫轨道摄动理论
人卫轨道理论
5
研究卫星运动的步骤
研究卫星的无摄运动规律，描述卫星 轨道的基本特征
研究各种摄动力的影响，对卫星的无 摄轨道修正
确定卫星受摄运动轨道的瞬时特征
6
3.2 卫星的无摄运动
• 开普勒运动三大定律 • 卫星运动的轨道参数 • 二体问题运动方程
卫星的真实轨道与正常轨道之间的差异，称为轨道摄动。
人卫真实轨道 人卫正常轨道 轨道摄动
• 只考虑地心引力(1)的卫星运动叫无摄运动，考虑其它 作用力的卫星运动叫受摄运动。
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作用在卫星上的力
地球引力(1)
地球引力(2)
摄
日、月引力
动
大气阻力
力
光压
其它作用力
总和
卫星轨道 人卫正常轨道
轨道摄动
人卫真实轨道
x
Y


R3
(GAST)
y
Z
z
cosGAST sin GAST 0
R3(GAST) sin GAST cosGAST 0
0
0
1
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3.3 卫星的受摄运动
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3.3 卫星的受摄运动
研究卫星受摄运动的方法 1. 按卫星受到的各种作用力导出其数学表达式 2. 建立受摄运动的微分方程 3. 解算微分方程