三阶行列式
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a3 b3 c3
表示成含有几个二阶行列式运算的式子 吗？
.
3、余子式与代数余子式
a1 b1 c1
a2 b2 c2 a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2
a3 b3 c3 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2,
a1 b2c3 b3c2 b1 a3c2 a2c3
一般地，把三阶行列式中某个元素所在 的行和列划去，将剩下的元素按原来的 位置关系组成的二阶行列式叫该元素的 余子式.
把余子式添上相应的符号（正号省略） 叫做该元素的代数余子式.
A1
b2 b3
c2 c3
B1
.
a2 a3
c2 c3
代数余子式符号的确定：
一个元素 aij 的代数余子式的符号:
由下标i+j的奇偶性决定:如果i+j为偶数, 那么代数余子式取正号;如果i+j为奇数, 那么代数余子式取负号;
1 3
3
32 1 0 2
3 2 2
1
2
1 3
.
.
3 4 1 4 1 3
例3:试将 2 5
5 22
3 22
5
2 53 1 3 4 写成三阶行列式的形式是 2 5 2 __________.来自例3.计算:a2
b2 b3
c2 c3
b2
a2 a3
c2 c3
c2
a2 a3
.
a b c 注意: 红线上三元素的
1
1
1 乘积冠以正号，蓝线上
a b c 三元素的乘积冠以负号．
2
2
2
a3 b3 c3
a1b2c3a2b3c1a3b1c2
a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
.
a1 b1 c1
a2 b2 c2 a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2
a3 b3 c3 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
.
5、三阶行列式按任意一行(或一列)展开: 该行(或该列)元素与其对应的代数余子式 的乘积之和
.
3 0 2 例2:按下列要求计算行列式 2 1 3
2 3 1
(1)按第一行展开; (2)按第一列展开.
.
3 0 2 例2:按下列要求计算行列式 2 1 3
(1)按第一行展开;
2 3 1
3 0 2 213 2 3 1
a2b3 a3b2
a2 a3
c2 c3
a2c3 a3c2
.
如果要组成一个三阶行列式,需要几个数 (式)?它们应如何排列?你能模仿二阶行列式 的定义,给出三阶行列式的定义吗?
.
1、三阶行列式
由9个数排成3行3列的方阵
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
ai ,bi ,ci i 1, 2,3 叫做行列式的元素
c1 a2b3 a3b2
a1
b2 b3
c2 c3
b1
a2 a3
c2 c.
3
c1
a2 a3
b2 b3
三阶行列式按第一行展开:
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1
c2 c3
a1
b2 b3
c2 c3
b1
a2 a3
c2 c3
c1
a2 a3
b2 b3
.
余子式与代数余子式
结论:三阶行列式的第二行元素 a2 , b2 , c2
分别与第一行的元素 a1, b1 , c1的代数余子
式的乘积之和为零.
.
11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 0 解得 x 2 或 x 3.
确定三阶行列式某一行或一列余子式与代数余子式尤其是其符号三阶行列式按任意一行或一列展开其中最关键是
.
二阶行列式 由四个数排成二行二列的方阵
主对角线
D a1 a2
b1 a1b2 a2b1
b2
副对角线
.
将下列行列式按对角线展开
b2 b3
c2 c3
b2c3 b3c2
a2 a3
b2 b3
.
小结: 三阶行列式按任意一行(或一列)展开，
其中最关键是：
确定三阶行列式某一行或一列余子式与代数 余子式，（尤其是其符号）
常用结论:
三阶行列式的第某一行(列)的元素与另一行(列) 的元素的代数余子式对应相乘,它们的乘积之和 为零.
.
巩固练习
练习9.4 (1)(2)
作业
练习册 9.4 A组1,2,3,4,5,6
b2 b3
a2 a2
a3
b2 b2 b3
c2 c2 c3
a3
b2 b2
c2 c2
b3
a2 a2
c2 c2
c3
a2 a2
b2 b2
=0
.
a2
b2 b3
c2 c3
b2
a2 a3
c2 c3
c2
a2 a3
b2 b3
a2 A1 b2 B1 c2 C1
a2 A1 b2 B1 c2 C1 =0
三阶行列式的展开式
三阶行列式的展开式包括6项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.
.
例1:用对角线法则计算行列式 3 0 2 213 2 3 1
.
1 2 -4 例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
.
4 6 32 4 8 24 14.
.
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a1b2c3 a2b3c1a3b1c2 a3 b3 c3 a3b2c1a2b1c3a1b3c2
.
2、对比、分析以上几个行列式展开式，
a1 b1 c1 你能将三阶行列式 a2 b2 c2
表示成含有几个二阶行列式运算的式子 吗？
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3、余子式与代数余子式
a1 b1 c1
a2 b2 c2 a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2
a3 b3 c3 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2,
a1 b2c3 b3c2 b1 a3c2 a2c3
一般地，把三阶行列式中某个元素所在 的行和列划去，将剩下的元素按原来的 位置关系组成的二阶行列式叫该元素的 余子式.
把余子式添上相应的符号（正号省略） 叫做该元素的代数余子式.
A1
b2 b3
c2 c3
B1
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a2 a3
c2 c3
代数余子式符号的确定：
一个元素 aij 的代数余子式的符号:
由下标i+j的奇偶性决定:如果i+j为偶数, 那么代数余子式取正号;如果i+j为奇数, 那么代数余子式取负号;
1 3
3
32 1 0 2
3 2 2
1
2
1 3
.
.
3 4 1 4 1 3
例3:试将 2 5
5 22
3 22
5
2 53 1 3 4 写成三阶行列式的形式是 2 5 2 __________.来自例3.计算:a2
b2 b3
c2 c3
b2
a2 a3
c2 c3
c2
a2 a3
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a b c 注意: 红线上三元素的
1
1
1 乘积冠以正号，蓝线上
a b c 三元素的乘积冠以负号．
2
2
2
a3 b3 c3
a1b2c3a2b3c1a3b1c2
a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
.
a1 b1 c1
a2 b2 c2 a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2
a3 b3 c3 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
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5、三阶行列式按任意一行(或一列)展开: 该行(或该列)元素与其对应的代数余子式 的乘积之和
.
3 0 2 例2:按下列要求计算行列式 2 1 3
2 3 1
(1)按第一行展开; (2)按第一列展开.
.
3 0 2 例2:按下列要求计算行列式 2 1 3
(1)按第一行展开;
2 3 1
3 0 2 213 2 3 1
a2b3 a3b2
a2 a3
c2 c3
a2c3 a3c2
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如果要组成一个三阶行列式,需要几个数 (式)?它们应如何排列?你能模仿二阶行列式 的定义,给出三阶行列式的定义吗?
.
1、三阶行列式
由9个数排成3行3列的方阵
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
ai ,bi ,ci i 1, 2,3 叫做行列式的元素
c1 a2b3 a3b2
a1
b2 b3
c2 c3
b1
a2 a3
c2 c.
3
c1
a2 a3
b2 b3
三阶行列式按第一行展开:
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1
c2 c3
a1
b2 b3
c2 c3
b1
a2 a3
c2 c3
c1
a2 a3
b2 b3
.
余子式与代数余子式
结论:三阶行列式的第二行元素 a2 , b2 , c2
分别与第一行的元素 a1, b1 , c1的代数余子
式的乘积之和为零.
.
11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 0 解得 x 2 或 x 3.
确定三阶行列式某一行或一列余子式与代数余子式尤其是其符号三阶行列式按任意一行或一列展开其中最关键是
.
二阶行列式 由四个数排成二行二列的方阵
主对角线
D a1 a2
b1 a1b2 a2b1
b2
副对角线
.
将下列行列式按对角线展开
b2 b3
c2 c3
b2c3 b3c2
a2 a3
b2 b3
.
小结: 三阶行列式按任意一行(或一列)展开，
其中最关键是：
确定三阶行列式某一行或一列余子式与代数 余子式，（尤其是其符号）
常用结论:
三阶行列式的第某一行(列)的元素与另一行(列) 的元素的代数余子式对应相乘,它们的乘积之和 为零.
.
巩固练习
练习9.4 (1)(2)
作业
练习册 9.4 A组1,2,3,4,5,6
b2 b3
a2 a2
a3
b2 b2 b3
c2 c2 c3
a3
b2 b2
c2 c2
b3
a2 a2
c2 c2
c3
a2 a2
b2 b2
=0
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a2
b2 b3
c2 c3
b2
a2 a3
c2 c3
c2
a2 a3
b2 b3
a2 A1 b2 B1 c2 C1
a2 A1 b2 B1 c2 C1 =0
三阶行列式的展开式
三阶行列式的展开式包括6项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.
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例1:用对角线法则计算行列式 3 0 2 213 2 3 1
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1 2 -4 例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
.
4 6 32 4 8 24 14.
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a1 b1 c1 a2 b2 c2 a1b2c3 a2b3c1a3b1c2 a3 b3 c3 a3b2c1a2b1c3a1b3c2
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2、对比、分析以上几个行列式展开式，
a1 b1 c1 你能将三阶行列式 a2 b2 c2