离散数学实验第13章 群

设〈S, *〉是一个半群, 对任意x S, 可定义：
x¹=x,
x²=x x,
x³=x x²= x² x=x x x,
……
xn=xn-1 x=x xn -¹=x x x …… x。
……
如果〈S, *〉有幺元e, 可以定义：x0=e。
2020/12/22
160-18
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
2020/12/22
160-25
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.7（续）
解 由于存在元素1∈N，使得对任意n∈N，都有： n = (n1)+1 = 1+（n1） = 1+1+1+……+1 = 1n，
特别对幺元0∈N，有0 = 10。 所以，“1”是生成元。 因此，该半群一定是循环含幺半群。
定义13.2.4 （1）在半群<S, >中，若存在一个 元素a∈S，使得对任意x∈S，都有
x = an，其中n∈Z+， 则称<S, >为循环半群，并称a为该循环半群的一 个生成元，M = {a | (a∈S)且a是S的生成元}称为 该循环半群的生成集；
2020/12/22
160-22
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
= a (x b) = (a x) b
= (x a) b = x (a b)，
即
对任意x∈S, (a b) x = x (a b)，
因此，(ab) ∈M。
2020由/12(/122)、(2)可知：<M, >是的一个子含幺半群。 160-12
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
2020/12/22
所以<AA, >是半群。
160-5
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.2
设S是一个集合，P(S)是S的幂集合，试证明代 数系统<P(S), ∪> 与<P(S), ∩>都是可交换的含 幺半群。
分析 运算“∪”和“∩”显然满足交换律，因此 只需说明<P(S), ∪> 与<P(S), ∩>是半群，并计 算它们的幺元即可。
13.1 本章学习要求
重点掌握
1
1 半群、群、子
群及性质 2 元素的周期及计 算 3 生成元与循环群 4 陪集与拉氏定理
2020/12/22
一般掌握
2 正规子群性质 与同态核
了解 3
商群及性质
160-3
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
13.2半群与含幺半群
定义13.2.1 在二元代数<S, >中，若二元运算 “”满足结合律，则称<S, >为半群； 若半群<S, >中的二元运算“”满足交换律，则 称<S, >为可交换半群。 定义13.2.2 设<S, >为半群，若S中存在关于运 算“”的幺元e，则称此半群为含幺半群（或独异 点），有时也记为<S, , e>； 若含幺半群<S, , e>中运算“”满足交换律，则 称<S, , e>为可交换含幺半群（可交换独异点）。
所以“1”是<6, +6>的生成元；
半群同态（续）
如果半群<S, >和<T, >是含幺半群，其中e，1分 别是<S, >和<T, >的幺元，而且映射f满足：
对任意 a, b∈S, f(ab) = f(a) f(b)，且 f(e) = 1。
则映射f就是含幺半群<S, , e>到<T, , 1>的同态 映射。 当f是单射、满射、双射时，相应的同态为单一同态、 满同态、同构。
元素的幂（续）
由于结合律的满足, 同样有 如下的公式：
ax ay=ax+ y
(aˣ)ʸ=aˣʸ
2020/12/22
160-19
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.6
（1）设<S, >是半群，a∈S， M = {an | n∈Z+}，
则<M, >是<S, >的子半群； （2）设<S, , e>是含幺半群，a∈S，
= a (mod 6)+6 b (mod 6) = f(a) +6 f(b)， 所以f是同态映射。
（2）根据f的定义，显然有f(0) = 0，又根据 （1），则f是含幺半群<N, +, 0>到<6, +6, 0>的 同态映射。
2020/12/22
160-16
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
（2），在（1）的基础上，还需说明f(0) = 0。
2020/12/22
160-15
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.5（续）
证明 （1）对任意 a, b∈N，有
f (a + b) = (a + b)(mod 6)
= (a (mod 6) + b (mod 6))(mod 6)
2020/12/22
160-24
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.7（续）
如在本例中，不妨假设a∈N是<N, +>的生成 元，则根据生成元的定义，对任意n∈N，存 在m∈N，使得
n = am = ma 让n = 1，有1 = ma，因此a = 1。这说明， 如果<N, +>有生成元，则生成元必须为1。 下面还需验证1是生成元。
如果<S, , e>是含幺半群，T是S的非空子集， e∈T。且运算“”对T封闭，则称<T, , e>是含 幺半群<S, , e>的子含幺半群。
2020/12/22
160-10
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.4
设<S, >是含幺半群， M = {a | a∈S，对任意x∈S 有ax = xa}， 则 <M, >是<S, >的子含幺半群。 分析 需证明两点：幺元存在，运算“” 封闭。 证明 (1) 设e是半群<S, >的幺元，则对任意 x∈S，显然有
半群同态
利用代数系统中同态与同构概念，得到半群（含幺 半群）的同态与同构。 设<S, >和<T, >是两个半群，映射f：S→T，对 任意元素a, b∈S，都有
f(ab) = f(a) f(b)， 则映射f就是半群<S, >到半群<T, >的同态映射。
2020/12/22
160-13
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
2020/12/22
160-4
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.1
设A是非空集合，AA表示所有A到A的函数集合， 运算“”表示映射的复合运算，证明<AA, >是半 群。 分析 只需证明运算“”满足封闭性和结合律。
证明 对任意f, g∈AA， 显然有fg∈AA，
故封闭性成立。
又函数复合运算“”满足结合律，
0＋nx＝x＋n0=x
故<n, ＋n>是含么半群。
2020/12/22
160-9
电子科技大学离散数学课程组—ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ国家级精品课程
子半群和子含幺半群
将子代数应用于半群，可得下面的定义：
定义13.2.3 如果<S, >是半群，T是S的非空子集， 且运算“” 对T封闭，则称<T，>是半群<S, > 的子半群；
结论
设f是二元代数<A, o >到<B, >的满同态，则根据 第12章同态的性质，容易得到如下结论：
（1）若<A, o>是半群，则<B, >也是半群；
（2）若<A, o>含幺半群，则<B, >也是含幺半群。
2020/12/22
160-17
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
13.2.2 元素的幂
e x = x e， 因此，e∈M。进而M是S的非空子集。
2020/12/22
160-11
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.4（续）
（2）对任意a, b∈M，由M的定义知，对任意x∈S， 有
a x = x a， b x = x b， 又运算“*”满足结合律，则
(a b) x = a (b x)
x = am，y = an，所以
x y = am an = am+n = an+m = an am = y x， 故运算“”是可交换的，即<S, >是可交换半群。 推论13.2.1 循环含幺半群都是可交换含幺半群。
2020/12/22
160-27
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
定义13.2.4（续）
（2）在含幺半群<S, , e>中，若存在一个 元素a∈S，使得对任意x∈S，都有
x = an，其中n∈N， 则称此循环含幺半群为循环含幺半群（或循 环独异点），并称a为该循环含幺半群的一 个生成元，M = {a | (a∈S)且a是S的生成 元}称为该循含幺半群的生成集。
2020/12/22
0≤k＜n－1, 即k∈n, 所以封闭性成立；
2020/12/22
160-8
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.3（续）
结合律：x, y, z∈n, 有
(x＋n y)＋n z＝x＋y+z (mod n)＝x＋n (y＋n z) 所以结合律成立。
么元： x∈n, 显然有
所以0是么元。
例13.2.8
判断含幺半群<6，+6>是否是循环含幺半群？若是， 请求出其所有的生成元。
分析 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}，共有6个元素， 则可以判别每一个元素是否是生成元。
解 由于6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}，0是幺元，则 0肯定不是生成元，对其他元，有：
①、1º = 0, 1¹ = 1, 1² = 2, 1³ = 3, 14 = 4, 15 = 5，
2020/12/22
160-26
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
定理13.2.1
循环半群都是可交换半群。
分析 由于循环半群中的每个元素都可以表示为生 成元的方幂形式，可以使用这种表示形式来证明。
证明 设a∈S是循环半群<S, >的生成元。则对任 意x, y∈S，存在m, n∈Z+，使得
2020/12/22
160-7
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.3
设n＝｛0, 1, 2, …, n－1｝, 定义n上的运 算＋n 如下：
x, y∈n, x＋ny＝x＋y (mod n) (即x＋y除以n的余数)。 证明<n, ＋n>是含么半群。 证明：封闭性：x, y∈n, 令k＝x＋y (mod n), 则
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
离散数学
电子科技大学 计算机科学与工程学院
示范性软件学院
2020年12月22日星期二
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
第13章 群
1 半群与含幺半群
2
群及其性质
3
特殊群
4 陪集与拉格朗日定理
5
正规子群
2020/12/22
160-2
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
160-23
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.7
判断含幺半群<N, +>是否是一个循环含幺半群？
分析 根据定义，判别含幺半群（或半群）是循环 含幺半群（循环半群）的关键是计算生成元。 如何计算生成元呢？ 首先假设生成元存在，然后根据定义得到方程，通 过解这个方程来计算生成元。
anam = an+m， n + m∈Z+， anam∈M。 故运算“” 封闭。<M, >是<S, >的子半群。
（2）幺元e = a0∈M，即幺元在M中。类似（1），
同理可证<M, >是<S, >的子含幺半群。
2020/12/22
160-21
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
13.2.3 循环半群
2020/12/22
160-14
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.5
设映射f：N→6，且对任意x∈N， f(x) = x(mod 6)，则
（1）f是半群<N, + >到<6, +6>的同态映射； （2）f是含幺半群<N, +, 0>到<6, +6, 0>的同态 映射。 分析 （1），需证明对任意 a, b∈N，有f(a + b) = f(a) +6 f(b) ；
2020/12/22
160-6
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.2（续）
证明 显然运算“∪”和“∩”均满足结合律和交 换律，因此它们是可交换的半群。
易证Φ和S分别是<P(S), ∪> 和<P(S), ∩>的幺元。 因此，<P(S), ∪> 与<P(S), ∩>是可交换的含幺 半群。
M = {an | n∈N}， 则<M, >是<S, >的子含幺半群； 分析 （1）M是非空子集，运算“” 封闭。
（2）还需说明幺元e在M中。
2020/12/22
160-20
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.6（续）
证明 （1）a = a1∈M，所以M是非空集合。 对任意n∈Z+，an∈S，因此M是S的非空子集。 对任意an，am∈M，n，m∈Z+，则