statespacemodel状态空间模型
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22 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
状态变量的个数为n，即系统的 最大线性无关组。 状态变量的个数等于系统的阶数，即系统 最大线 性无关组 的个数，是一个固定值。
状态空间描述是通过描述系统内部结构（状态） 来描述系统的，是系统的一种完全描述。
State-space description The internal description
a11 a21 A a m1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x b2 2 ，x ，b x b amn n m
Ax b
12 现代控制理论基础讲义 龚道雄
则
一、状态空间模型
质量—弹簧—阻尼模型
13
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
质量—弹簧—阻尼模型 ０
０
14
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
小车-倒立摆
1 x2 x 2 { 1m 2l 2 g}x3 { 1 ( I ml 2 )}u x 3 x4 x 4 { 1 ( M m)mgl}x3 { 1ml}u x
状态 空间
目录
一、状态空间模型 二、微分方程描述与状态空间模型 三、传递函数模型与状态空间模型 四、方框图组合与状态空间模型 五、状态空间模型的标准型
一、状态空间模型
有关状态、状态空间及状态空间表达式等线 性系统的基本概念是现代控制理论中状态空 间分析的基础。 状态空间分析又是研究最优控制、滤波问题 和系统辨识的基础。 因此，本章内容为现代控制理论的基础知识。
摆的状态： ,
10 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
11
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
回顾：线性方程组的矩阵表示： a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 ， am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
15 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
小车-倒立摆
1 x2 x 2 { 1m 2l 2 g}x3 { 1 ( I ml 2 )}u x 3 x4 x 4 { 1 ( M m)mgl}x3 { 1ml}u x
x1 y x3
Ax Bu x y Cx Du
31
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
状态空间法把输入输出间的信息传递分为两段来描 述。 第一段是输入引起系统内部状态的变化，第二段是 系统内部状态变化引起系统输出的变化。前者由状 态方程描述，后者用输出方程描述。由于这种方法 可以描述系统内部，所以称之为全面描述。 传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不 能反映内部状态的变化，故称之为外部描述或者端 口描述。 状态方程描述了系统状态的运动：输入状态 输出是状态的线性组合：状态输出
1 x2 x
引入新的变量
x1 x x2 x x3 x4 小车状态：y, y
2 { 1m 2l 2 g}x3 { 1 ( I ml 2 )}u x 3 x4 x 4 { 1 ( M m)mgl}x3 { 1ml}u x
向量表示
0 0 x 0 0 1 y 0
1 0 0 0 0 0
0 0 { 1 ( I ml 2 )} { 1m2l 2 g} 0 x u 0 1 0 1 1 { ( M m)mgl} 0 { ml} 0 0 x 1 0 0
2 2 U L ( s ) L C2 s U ( s ) ( R C s 1)( LC s R C s 1) R C s 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 U ( s ) R L C s L 1 2 U 2 ( s ) ( R1C1s 1)( LC2 s R2C2 s 1) R1C2 s
其中，i2 (t ) C1 i3 (t ) C2 duC1 (t ) dt duC2 (t ) dt ， di3 (t ) dt
17
R1 i1 i2 C1
i3 C2 u2 R2 L + uL _
+ u1 _
， uL (t ) L
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
消去中间变量i1 (t )，i2 (t )，i3 (t )，得 :
一、状态空间模型
关于状态变量的选择：
在物理系统中，一般选择系统中储能元件上与储 能有关的参量，如电感中的电流、电容上的电压、 电荷或电流、弹性元件的位移、速度、加速度等 作为状态变量。因此，在物理系统中，状态变量 的个数等于系统中独立储能元件的个数。 有时出于数学上的需要，也可以用一些物理量的 线性组合作为状态变量。对于诸如社会经济系统、 生态环境系统等，状态变量有时不一定具有明确 的物理意义。
23
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
状态变量的选择不是唯一的，但必须是能完全描述 系统特征的一组最少变量，且变量间相互独立；
24
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
基本概念
state-space
x2
x1
图：2 维状态空间及状态轨迹
x1
25
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
理解控制系统的状态空间表示法的概念，对系统的完 全描述。
状态 状态空间 状态空间模型 线性系统 时不变系统——线性时不变系统状态空间模型 建立状态空间模型(例子)
掌握系统数学模型之间的转换，即状态空间表达式与 微分方程、传递函数、方块图之间的相互转换。◙ 了解这些不同模型之间的关系。
19
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
基本概念
state
算命，诊断，预言
小车状态：x, x 摆的状态： ,
20
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
基本概念
倒立摆小车系统状态向量： x x xx
21 现代控制理论基础讲义 龚道雄
2 现代控制理论基础讲义 龚道雄
本章要点
熟悉系统的状态空间和状态变量图示法； 状态空间模型的标准型
对角标准型 约当标准型 模态标准型
传递函数矩阵
定义 状态空间模型和方框图转化为传递函数矩阵
3
现代控制理论基础讲义 龚道雄
线性时不变系统的几种描述方式
传递 函数 微分 方程
脉冲 响应
26 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
D x
u B
重点：
x
+ +
∫
A
C
+
+ y
定常线性系统！
Ax Bu x y Cx Du
27
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
u1 um
x1 , x 2 , , x n
动力学部件
输 出 部 件
y1 yr
状态空间模型和方框图转化为传递函数矩阵一状态空间模型二微分方程描述与状态空间模型三传递函数模型与状态空间模型四方框图组合与状态空间模型五状态空间模型的标准型有关状态状态空间及状态空间表达式等线性系统的基本概念是现代控制理论中状态空间分析的基础
Chapter 2 State Space Model
本章要点
16 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
例 : 如图有源RLC电路，稳压源u1 (t )和恒流源u2 (t )为输入， 电感上的电压为输出，求系统的表达式。 解：网络有2个节点， 3个回路，可得1个节点方程，个回路方程： 2 i (t ) u (t ) i (t ) i (t ) 0 1 2 2 3 u1 (t ) R1i1 (t ) uC1 (t ) uC (t ) uC (t ) L di3 (t ) R2i3 (t ) 0 2 dt 1一、状来自空间模型 小车-倒立摆例子
V
u
H
7
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
小车-倒立摆例子
d 2x 小车的水平运动： M 2 uH dt
u
V
H
d2 摆重心的水平运动： m 2 ( x l sin ) H dt d2 摆重心的垂直运动： m 2 (l cos ) V mg dt
d 2 摆绕重心的转动： I 2 Vl sin Hl cos dt
8 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
d 2x M 2 uH dt d2 m 2 ( x l sin ) H dt d2 m 2 (l cos ) V mg dt d 2 I 2 Vl sin Hl cos dt
30
B
m n×m m r×m
C
D
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
状态空间表达式与传递函数 表示的比较
信号表示的不同
传递函数为频域信号
状态空间模型为时域信号 反映系统的信息不同 传递函数只描述输入输出信息 状态空间模型还描述系统内部 状态信息
对于n阶系统，输入量为m个，输出量为r个，则有： （1）输入变量与状态变量之间的一阶微分方程组称为 状态方程 ; （2）输出变量与状态变量、输入变量之间的代数表达 式称为输出方程 . （3）状态方程与输出方程的组合构成对系统动力学行 为的完整描述，称为系统的状态空间表达式。
Ax Bu x y Cx Du 状态空间表达式的结构图为:
x Rn
状态空间模型： 状态方程 输出方程
Ax Bu x y Cx Du
28
u Rm y Rr
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
29
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
1 n 1 r A n n×n n r×n 1 n 1 r
x 1m2l 2 g 1 ( I ml 2 )u 1 ( M m)mgl 1mlu
9 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
用一阶微分方程组表示系统模型！
x 1m2l 2 g 1 ( I ml 2 )u 1 ( M m)mgl 1mlu
假设 : 很小
u H Mx ) H m( x l 0 V mg Vl Hl I
简化
u ( M m) x ml mlx mgl ( I ml 2 )
I ml 2 ml ml M m
18
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
取状态变量为 x1 (t ) uC1 (t ), x2 (t ) uC1 (t ), x3 (t ) i3 (t ), 则 1 1 0 1 RC C1 1 1 x x1 (t ) R1C1 1 (t ) 1 2 (t ) 0 0 x2 (t ) 0 x C2 x ( t ) x ( t ) 0 3 3 R2 1 1 L L L x1 (t ) y (t ) Lx 3 (t ) 1 1 R2 x2 (t ) x3 (t ) 1 C1 u1 (t ) 0 u ( t ) 0 2
一、状态空间模型
状态变量的个数为n，即系统的 最大线性无关组。 状态变量的个数等于系统的阶数，即系统 最大线 性无关组 的个数，是一个固定值。
状态空间描述是通过描述系统内部结构（状态） 来描述系统的，是系统的一种完全描述。
State-space description The internal description
a11 a21 A a m1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x b2 2 ，x ，b x b amn n m
Ax b
12 现代控制理论基础讲义 龚道雄
则
一、状态空间模型
质量—弹簧—阻尼模型
13
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
质量—弹簧—阻尼模型 ０
０
14
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
小车-倒立摆
1 x2 x 2 { 1m 2l 2 g}x3 { 1 ( I ml 2 )}u x 3 x4 x 4 { 1 ( M m)mgl}x3 { 1ml}u x
状态 空间
目录
一、状态空间模型 二、微分方程描述与状态空间模型 三、传递函数模型与状态空间模型 四、方框图组合与状态空间模型 五、状态空间模型的标准型
一、状态空间模型
有关状态、状态空间及状态空间表达式等线 性系统的基本概念是现代控制理论中状态空 间分析的基础。 状态空间分析又是研究最优控制、滤波问题 和系统辨识的基础。 因此，本章内容为现代控制理论的基础知识。
摆的状态： ,
10 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
11
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
回顾：线性方程组的矩阵表示： a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 ， am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
15 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
小车-倒立摆
1 x2 x 2 { 1m 2l 2 g}x3 { 1 ( I ml 2 )}u x 3 x4 x 4 { 1 ( M m)mgl}x3 { 1ml}u x
x1 y x3
Ax Bu x y Cx Du
31
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
状态空间法把输入输出间的信息传递分为两段来描 述。 第一段是输入引起系统内部状态的变化，第二段是 系统内部状态变化引起系统输出的变化。前者由状 态方程描述，后者用输出方程描述。由于这种方法 可以描述系统内部，所以称之为全面描述。 传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不 能反映内部状态的变化，故称之为外部描述或者端 口描述。 状态方程描述了系统状态的运动：输入状态 输出是状态的线性组合：状态输出
1 x2 x
引入新的变量
x1 x x2 x x3 x4 小车状态：y, y
2 { 1m 2l 2 g}x3 { 1 ( I ml 2 )}u x 3 x4 x 4 { 1 ( M m)mgl}x3 { 1ml}u x
向量表示
0 0 x 0 0 1 y 0
1 0 0 0 0 0
0 0 { 1 ( I ml 2 )} { 1m2l 2 g} 0 x u 0 1 0 1 1 { ( M m)mgl} 0 { ml} 0 0 x 1 0 0
2 2 U L ( s ) L C2 s U ( s ) ( R C s 1)( LC s R C s 1) R C s 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 U ( s ) R L C s L 1 2 U 2 ( s ) ( R1C1s 1)( LC2 s R2C2 s 1) R1C2 s
其中，i2 (t ) C1 i3 (t ) C2 duC1 (t ) dt duC2 (t ) dt ， di3 (t ) dt
17
R1 i1 i2 C1
i3 C2 u2 R2 L + uL _
+ u1 _
， uL (t ) L
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
消去中间变量i1 (t )，i2 (t )，i3 (t )，得 :
一、状态空间模型
关于状态变量的选择：
在物理系统中，一般选择系统中储能元件上与储 能有关的参量，如电感中的电流、电容上的电压、 电荷或电流、弹性元件的位移、速度、加速度等 作为状态变量。因此，在物理系统中，状态变量 的个数等于系统中独立储能元件的个数。 有时出于数学上的需要，也可以用一些物理量的 线性组合作为状态变量。对于诸如社会经济系统、 生态环境系统等，状态变量有时不一定具有明确 的物理意义。
23
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
状态变量的选择不是唯一的，但必须是能完全描述 系统特征的一组最少变量，且变量间相互独立；
24
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
基本概念
state-space
x2
x1
图：2 维状态空间及状态轨迹
x1
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现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
理解控制系统的状态空间表示法的概念，对系统的完 全描述。
状态 状态空间 状态空间模型 线性系统 时不变系统——线性时不变系统状态空间模型 建立状态空间模型(例子)
掌握系统数学模型之间的转换，即状态空间表达式与 微分方程、传递函数、方块图之间的相互转换。◙ 了解这些不同模型之间的关系。
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现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
基本概念
state
算命，诊断，预言
小车状态：x, x 摆的状态： ,
20
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
基本概念
倒立摆小车系统状态向量： x x xx
21 现代控制理论基础讲义 龚道雄
2 现代控制理论基础讲义 龚道雄
本章要点
熟悉系统的状态空间和状态变量图示法； 状态空间模型的标准型
对角标准型 约当标准型 模态标准型
传递函数矩阵
定义 状态空间模型和方框图转化为传递函数矩阵
3
现代控制理论基础讲义 龚道雄
线性时不变系统的几种描述方式
传递 函数 微分 方程
脉冲 响应
26 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
D x
u B
重点：
x
+ +
∫
A
C
+
+ y
定常线性系统！
Ax Bu x y Cx Du
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现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
u1 um
x1 , x 2 , , x n
动力学部件
输 出 部 件
y1 yr
状态空间模型和方框图转化为传递函数矩阵一状态空间模型二微分方程描述与状态空间模型三传递函数模型与状态空间模型四方框图组合与状态空间模型五状态空间模型的标准型有关状态状态空间及状态空间表达式等线性系统的基本概念是现代控制理论中状态空间分析的基础
Chapter 2 State Space Model
本章要点
16 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
例 : 如图有源RLC电路，稳压源u1 (t )和恒流源u2 (t )为输入， 电感上的电压为输出，求系统的表达式。 解：网络有2个节点， 3个回路，可得1个节点方程，个回路方程： 2 i (t ) u (t ) i (t ) i (t ) 0 1 2 2 3 u1 (t ) R1i1 (t ) uC1 (t ) uC (t ) uC (t ) L di3 (t ) R2i3 (t ) 0 2 dt 1一、状来自空间模型 小车-倒立摆例子
V
u
H
7
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
小车-倒立摆例子
d 2x 小车的水平运动： M 2 uH dt
u
V
H
d2 摆重心的水平运动： m 2 ( x l sin ) H dt d2 摆重心的垂直运动： m 2 (l cos ) V mg dt
d 2 摆绕重心的转动： I 2 Vl sin Hl cos dt
8 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
d 2x M 2 uH dt d2 m 2 ( x l sin ) H dt d2 m 2 (l cos ) V mg dt d 2 I 2 Vl sin Hl cos dt
30
B
m n×m m r×m
C
D
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
状态空间表达式与传递函数 表示的比较
信号表示的不同
传递函数为频域信号
状态空间模型为时域信号 反映系统的信息不同 传递函数只描述输入输出信息 状态空间模型还描述系统内部 状态信息
对于n阶系统，输入量为m个，输出量为r个，则有： （1）输入变量与状态变量之间的一阶微分方程组称为 状态方程 ; （2）输出变量与状态变量、输入变量之间的代数表达 式称为输出方程 . （3）状态方程与输出方程的组合构成对系统动力学行 为的完整描述，称为系统的状态空间表达式。
Ax Bu x y Cx Du 状态空间表达式的结构图为:
x Rn
状态空间模型： 状态方程 输出方程
Ax Bu x y Cx Du
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u Rm y Rr
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
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现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
1 n 1 r A n n×n n r×n 1 n 1 r
x 1m2l 2 g 1 ( I ml 2 )u 1 ( M m)mgl 1mlu
9 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
用一阶微分方程组表示系统模型！
x 1m2l 2 g 1 ( I ml 2 )u 1 ( M m)mgl 1mlu
假设 : 很小
u H Mx ) H m( x l 0 V mg Vl Hl I
简化
u ( M m) x ml mlx mgl ( I ml 2 )
I ml 2 ml ml M m
18
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
取状态变量为 x1 (t ) uC1 (t ), x2 (t ) uC1 (t ), x3 (t ) i3 (t ), 则 1 1 0 1 RC C1 1 1 x x1 (t ) R1C1 1 (t ) 1 2 (t ) 0 0 x2 (t ) 0 x C2 x ( t ) x ( t ) 0 3 3 R2 1 1 L L L x1 (t ) y (t ) Lx 3 (t ) 1 1 R2 x2 (t ) x3 (t ) 1 C1 u1 (t ) 0 u ( t ) 0 2