2相交线与平行线

H G F
E D
C B A A E
D C B
E D C B
A 否逆逆互否一、 相交线与平行线
一、知识梳理
1.相交线
（1）同位角、内错角和同旁内角：两天直线被第三条直线所截，构成的8个角中，分别在两天直线的同一侧，并且都在第三条直线的同
旁，这样的两个角叫________；在两条直线之间，分别在第三条直线的两旁，这样的两个角叫________；在两条直线之间，并且都在第三条直
线的同旁，这样的两个角叫________； （2）对顶角：①定义：两条直线相交所得到的四个角中，没有公
共边的两个角叫做对顶角；②性质：对顶角________；
（3）垂线：①定义：AB 与CD 交于点E ，∠AEC=90°⇔AB ⊥CD ；②性质：（ⅰ）经过一
点_________一条直线与已知直线垂直；（ⅱ）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，
________最短(简说成：________最短)；
◆ 点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间的线段长度
叫做点到这条直线的距离
2.平行线
(1) 平行线的定义：在同一平面内，_________的两条直线，叫平行线；
（2）平行公理：经过__________一点，有且________直线与已知直线平行；
（3）平行线的判定： ①（三线八角法）_________相等⇒两直线平
行；_________相等⇒两直线平行；同旁内角 _____⇒两直线平行； ②（比例线段法）△ABC 中，AD ：AB=AE ：
AC(或其它等价形式) ⇒DE ∥BC ③（中间量法）a ⊥b ，b ⊥c ⇒a ∥c ；a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ；
（4）平行线的性质：
①（平行线与角）两直线平行⇒_______相等；或________相等；或_______互补；
②（平行线与比例线段）1l ∥2l ∥3l ⇒AB ：BC=DE ：
ED （或其它等价形式）；△ABC 中，DE ∥BC ⇒AD ：AB=AE ：AC(或
其它等价形式)
③（平行线与相似）△ABC 中，DE ∥BC ⇒△ADE ∽△ABC ； ◆ 转化的数学思想：角−−−→←−−−互化平行线−−−→←−−−互化线段； 3. 命题、定理、证明
（1）命题：判断一件事情的句子，叫命题；_________命题叫真命题，________命题叫
假命题；命题由______和______两部分组成，______是已知事项，_______是由已知事项推
出的事项；
◆ 两命题间的关系有：原命题、逆命题、否命题、逆否命题；
◆ 两个互为_________关系的命题是等价命题
（即两命题的本质相同，二者同真或同假）； （2）定理：经过推理证实为真命题的命题叫定理； （3）证明：从命题的题设出发，推导出命题的结
论的过程叫证明；
①证明的步骤：（ⅰ）审题，分清题设和结论；（ⅱ）译题，画出图形，标上字母，
并根据题设写出已知，根据结论写出求证；（ⅲ）想题，经过分析，找出由已知推出求证的
F
E D C B
A
H G F
E D C B A
D C
B O A D E F
C B A 途径；（ⅳ）证明，把找出的由已知推出求证的途径写出来；
②证明的方法：直接证明--------（ⅰ）综合法，由因导果；（ⅱ）分析法，执果索因；
（ⅲ）分析综合法（两头凑法），从问题的两头向中间靠拢；间接证明--------反证法（在初
中数学中是常见不常用的一种方法，包括_____,______,和得出结论三步）；
二、思路方法规律
1.平行线的应用
①平行线法是证明角相等的基本方法之一，在解决与角有 关的问题时，必须重视与平行线相截的线，因为它是平行线
的性质得以顺利应用的基础，如果没有，要注意构造添加；如图.
②平行线法还是证明三角形相似和比例线段的基本方法；
◆ 与比例线段有关的重要结论：如图，已知直线L 分别
与△ABC 的三边交于D 、E 、F ，则有..AD BF CE BD CF AE
=_________； 2.有角平分线或中点时，常用到的辅助线 （1）有角平分线时，常考虑：①在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；②
过角平分线上一点向角的两边作垂线；③角平分线与垂线、平行线的组合，则构造等腰三角
形；
（2）有中点（或中线）时，常考虑：①倍长中线，构造全等三角形；②构造三角形
（或梯形）中位线；
◆ 与角平分线有关的基本图形：
图①中BI 平分∠ABC ，CI 平分∠ACB ⇒____________；图②中BF 平分∠CBD ,CF
平分∠BCE ⇒____________；
图③中BE 平分∠ABC ,CE 平分∠
ACD ⇒___________； 图④中CE 平分∠ACD, BE 平分∠
ABD ⇒______________； 3.平行线、垂线、角平分线、线段中点的组合
平行线、垂线、角平分线、线段中点两两组合常常产生等腰三角形，进而可以用等
腰三角形的特性解题；如图.
三、典例考题分析
例题1.(1)(2010·台州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，点P 是边BC 上的动
点，则AP 的长不可能．．．
是( )A ．2.5 B ．3 C ．4 D ．5 例1(1)题例1(2)题
(2)(2010·德州)如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70°，∠C ＝40°，则∠E 等于( )
D C B O
A I C
B A F E
D C B A
E
D
C B A
E D C B A
A ．30°
B ．40°
C ．60°
D ．70°
例题2.(1)(2009·烟台)如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A ＝37°，求∠D 的度数．
(2)(2009·荆州)如图所示，当∠BED 与∠B 、∠D 满足________时，可以判定AB ∥CD. ①在横线上填上一个条件；②试说明你所填条件的理由．
例2(1)题例2(2)题
例题3.（2010·武汉）已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点，连接AC,BD 交于点P.
（1）如图（1），当OA=OB,且D 为OA 中点时，求
AP PC 的值； （2）如图（2），当OA=OB,且14
AD AO 时，求tan ∠BPC 的值； （3）如图（3），当AD ：AO ：OB=1：n
：tan ∠BPC 的值；
图（1)P D
C
O B A 图（2）P O D
C B A
图（3）C B A
四、考点训练
1．(2010·福州)下面四个图形中，能判断∠1>∠2的是(
)
2．(2010·宁波)《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科
学方法的学科，它奠定了现代数学的基础，它是下列哪位数学家的著作( )
A ．欧几里得
B ．杨辉
C ．费马
D ．刘徽
3．(2010·重庆)如图，点B 是△ADC 的边AD 的延长线上一点，DE ∥AC ，若∠C ＝50°，
∠BDE ＝60°，则∠CDB 的度数等于( )
A ．70°
B ．100°
C ．110°
D ．120°
4．(2010·益阳)如图，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA ＝PB.下列确定P 点的方法正确的是( )
A ．P 为∠A 、∠
B 两角平分线的交点
B ．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点
C ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点
D ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点
5．(2010·安徽)如图，直线l 1∥l 2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为
( )A ．50° B ．55° C ．60° D ．65°
6．(2010·嘉兴)如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交
AC 于点E.如果AE EC ＝23，那么AB AC
＝______.( ) A.13 B.23 C.25 D.35
9．(2011中考预测题)一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )
A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
11．(2009中考变式题)如图，直线a ∥b ，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3
的度数是( ) A ．75° B ．65° C ．55° D ．50°
12．(2010·广东)如图，已知∠1＝70°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数
为( )
A ．70°
B ．100°
C ．110°
D ．120°
14．(2010·江西)一大门的栏杆如图所示，BA 垂直于地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，则∠ABC ＋∠BCD ＝________度．
15．(2010·宁德)如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝35°，那么∠2＝________.。