苏科版2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题(附答案)

2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（共24分）
1．在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（）
A．无数个B．3个C．2个D．1个
2．抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（）
A．（9，3）B．（9，﹣3）C．（﹣9，3）D．（﹣9，﹣3）3．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，则BC：AC：AB的值为（）A．B．C．D．
4．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径画圆，与AB所在直线相切的是（）
A．r＝2B．r＝2.4C．r＝2.5D．r＝3
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝40°，过点B作BD∥AC，交⊙O 于点D，连接CD，则∠DCB的大小为（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
6．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（）
A．4米B．10米C．4米D．12米
7．如图，△ABC和△DBC中，点D在△ABC内，AB＝AC＝BC＝2，DB＝DC，且∠D＝90°，则△ABC的内心和△DBC的外心之间的距离为（）
A．B．1C．D．
8．如图，点A，C，N的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（）
A．B．3C．D．
二、填空题（共24分）
9．某人沿着坡度的山坡走了150米，则他离地面的高度上升了米．10．一个圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为150度，母线长为12cm，则圆锥的高为cm．
11．二次函数y＝x2﹣2x+2的图象经过A（﹣2，y1）、B（3，y2）、C（0，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是．（用“＜”连接）
12．如图，是一个模具的截面图，中间凹槽部分是一段圆弧，已知凹槽部分的宽AB＝16cm，凹槽部分最深处CQ＝4cm，则凹槽所在圆的半径为cm．
13．学校航模组设计的火箭升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足函数表达式h＝﹣t2+26t+1，则点火后最多能达到米．
14．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），D为第一象限内⊙O上的一点，若∠OCD＝75°，则AD＝．
15．如图，等边△ABC内接于⊙O，D为边AB的中点，F为上一动点，连接DF交AC 于点E，则的最大值为．
16．关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：
①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；
②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；
③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或a≥1．
其中正确的结论是：．
三、解答题（本题满分72分）
17．计算：．
18．用直尺和圆规作圆的直径AB（保留作图痕迹，不写作法）．
19．已知抛物线经过点（0，﹣2），（3，0），（﹣1，0），求抛物线的解析式．
20．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝2，求AB的长．
21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所对的圆心角的度数．
22．二次函数的解析式为y＝﹣x2+（m﹣1）x+m．
（1）求证：无论m取何值，抛物线总与x轴有交点；
（2）当m＝3时，
①求抛物线与x轴的两个交点的坐标；
②当函数值大于0时，请直接写出x的取值范围．
23．太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图
①是太阳能电板的实物图，其截面示意图如图②，AB为太阳能电板，其一端A固定在水
平面上且夹角∠DAB＝22°，另一端B与支撑钢架BC相连，钢架底座CD和水平面垂直，且∠BCD＝135°．若AD＝3m，CD＝0.5m，求AB的长．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，结果精确到0.01m．）
24．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．
（1）BC长为米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
（2）若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；
（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？
25．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF＝4，BF＝2，求AG的长．
26．问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，若CD平分∠ACB交AB 于点D，那么点D到AC的距离为．
问题探究：
（2）如图②，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，点B是半圆AC的三等分点（＜），连接BD．若BD平分∠ABC，且BD＝8，求AB的长．
问题解决：
（3）为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会，很多公园都在进行花卉装扮．如图
③所示是其中的一块圆形场地⊙O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉
图案设计，其余部分方便游客参观．按照设计要求：四边形ABCD满足∠ABC＝60°，AB＝AD，且AD+DC＝8（其中2≤DC＜4），为让游客有更好的观赏体验，四边形ABCD 花卉的区域面积越大越好．那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．
27．如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．
参考答案
一、选择题（共24分）
1．解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合，
故选：A．
2．解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：D．
3．解：∵∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝45°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴AC＝BC，
∴AB＝＝AC，
∴BC：AC：AB＝AC：AC：AC＝1：1：，
故选：C．
4．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AB＝，
∴点C到AB的距离为，
∴以点C为圆心，r为半径画圆，与AB所在直线相切的是r＝2.4，
故选：B．
5．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∠BDC＝∠BAC＝40°，
∵BD∥AC，
∴ACD＝∠BDC＝40°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝70°﹣40°＝30°，
故选：B．
6．解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐
标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故选：B．
7．解：连接AD并延长交BC于点P，设△ABC的内心为O，连接OB，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AP是BC的垂直平分线，
∵AB＝AC＝BC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BP＝BC＝2，AP是∠BAC的角平分线，
∴△ABC的内心O在AP上，
∴BO平分∠ABC，
∴∠OBC＝∠ABC＝30°，
∵DB＝DC，∠BDC＝90°，
∴△DBC的外心是BC的中点点P，
在Rt△BOP中，BP＝BC＝1，
∴OP＝BP•tan30°＝1×＝，
∴△ABC的内心和△DBC的外心之间的距离为：，故选：C．
8．解：如图1，连接CM，OM，
∵A（﹣2，0），C（2，0），
∴AC＝4，O是AC的中点，
∵M是QP的中点，
∴CM⊥QP，
∴∠AMC＝90°，
∴OM＝AC＝2，
∴点M在以O为圆心，以2为半径的⊙O上，
如图2，当O、M、N三点共线时，MN有最小值，
∵N（4，3），
∴ON＝＝5，
∵OM＝2，
∴MN＝ON﹣OM＝5﹣2＝3，
∴线段MN的最小值为3，
故选：B．
二、填空题（共24分）
9．解：设山坡的坡角为α，
∵山坡的坡度为1：，
∴tanα＝＝，
则α＝30°，
∴他离地面的高度为：×150＝75（米），
故答案为：75．
10．解：设圆锥的底面半径为rcm，
则2πr＝，
解得：r＝5，
∴圆锥的高为＝cm，
故答案为：．
11．解：∵y＝x2﹣2x+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵二次函数y＝x2﹣2x+2的图象经过A（﹣2，y1）、B（3，y2）、C（0，y3）三点，∴B（3，y2）关于对称轴的对称点为（﹣1，y2），
∵﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为：y2＜y3＜y1．
12．解：如图，圆心O在直线CD上，连接OA，
∵OD⊥AB，AB＝16cm，
∴AC＝BC＝AB＝8cm，
设凹槽所在圆的半径为rcm，
则OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（r﹣4）2+82，
解得：r＝10，
∴凹槽所在圆的半径为10cm．
故答案为：10．
13．解：∵h＝﹣t2+26t+1＝﹣（t﹣13）2+170，∴当t＝13时，h取得最大值170，
即点火后最多能达到170米，
故答案为：170．
14．解：连接OD，BD．
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝75°
∴∠DOC＝90°﹣150°＝30°，
∴∠DOB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAB＝∠DOB＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝4，
∴AD＝AB•cos30°＝2，
故答案为：2．
15．解：设AB＝4m，作DJ⊥AC于点J，FI⊥AC于点I，则FI∥DJ，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝m，
∴△FEI∽△DEJ，
∴＝，
∵D为边AB的中点，
∴AD＝AB＝2m，
∵∠AJD＝90°，∠DAJ＝60°，
∴∠ADJ＝30°，
∴AJ＝AD＝m，
∴DJ＝＝m，
∴当FI的值最大时，的值最大，则的值最大，
作⊙O的半径OH⊥AC于点G，连接OA、OC、HC，则∠CGH＝90°，OA＝OC＝OH，∴∠AOC＝×360°＝120°，AG＝CG＝×4m＝2m，
∴∠COH＝∠AOH＝∠AOC＝60°，
∴△OCH是等边三角形，
∴OG＝HG，∠OCH＝60°，
∴∠GCH＝30°，
∴HC＝OH＝2HG，
∵HG2+CG2＝HC2，
∴HG2+（2m）2＝（2HG）2，
∴HG＝m，
当点F与点H重合时，FI的值最大，此时FI＝HG＝m，∴＝＝＝，
∴的最大值为，
故答案为：．
16．解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝2，
∵＝＝2．
∴2+m与2﹣m关于对称轴对称．
∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等．∴①正确．
当a＞0时，若3≤x≤4，则y随x的增大而增大，
当x＝3时，y＝9a﹣12a﹣5＝﹣3a﹣5，
当x＝4时，y＝16a﹣16a﹣5＝﹣5．
∴﹣3a﹣5≤y≤﹣5．
∵y的整数值有4个，
∴﹣9＜﹣3a﹣5≤﹣8．
∴1≤a＜．
当a＜0时，若3≤x≤4，则y随x的增大而减少．
∴﹣5≤y≤﹣3a﹣5．
∵y的整数值只有4个，
∴﹣2≤﹣3a﹣5＜﹣1．
∴﹣＜a≤﹣1．
综上：﹣＜a≤﹣1或1≤a＜．
∴②正确．
设A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2．
x1，x2是方程数ax2﹣4ax﹣5＝0的根．
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣．
∴AB＝x2﹣x1＝＝．
∵AB≤6．
∴16+≤36．
∴a≥1或a＜0．
又∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝16a2+20a＞0．
∴a＞0或a＜﹣．
综上：a≥1或a＜﹣．
∴③正确．
故答案为：①②③．
三、解答题（本题满分72分）
17．解：
＝（）2﹣|﹣2×|+3×
＝﹣|﹣|+3
＝﹣0+3
＝+3．
18．解：根据“垂径定理”的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧可知：
先作圆的一条弦CD，再作这条弦的垂直平分线分别与圆相交于点A、B，如图：
所以AB就是圆的直径．
19．解：∵抛物线经过点（3，0），（﹣1，0），故可设该抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）（x+1），∵该抛物线又经过点（0，﹣2），
∴﹣2＝a（0﹣3）（0+1）
解得：
∴该抛物线的解析式为：，
整理，得：．
20．解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3，
在Rt△BCD中，tan B＝，
∴，
∴BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5．
21．（1）证明：连接AD，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OD，OE，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°，
∴所对的圆心角的度数为40°．
22．（1）证明：令y＝0，得到﹣x2+（m﹣1）x+m＝0，∵a＝﹣1，b＝m﹣1，c＝m，
∴b2﹣4ac＝（m﹣1）2+4m＝（m+1）2，
又（m+1）2≥0，即b2﹣4ac≥0，
∴方程y＝﹣x2+（m﹣1）x+m有实数根，
则该函数图象与x轴总有公共点；
（2）解：①∵m＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4）．
列表如下：
x﹣2﹣101234
y﹣503430﹣5描点；
画图如下：
．
由函数图象知，抛物线与x轴的两个交点的坐标为：（﹣1，0），（3，0）；
②由图象可得：当y＞0时，x的取值范围为﹣1＜x＜3．
23．解：∵∠BCD＝135°，∠FCD＝90°，
∴∠BCF＝45°，
∵∠BFC＝90°，
∴∠FBC＝∠FCB＝45°，
∴FB＝FC，
设FB＝FC＝xm，则DE＝xm，
∵AD＝3m，CD＝0.5m，
∴AE＝（3﹣x）m，BE＝（x+0.5）m，
∵tan∠BAE＝，∠BAE＝22°，tan22°＝0.40，
∴0.40＝，
解得x＝0.5，
∴BE＝1m，
∵sin∠BAE＝，
∴sin22°＝，
解得AB≈2.70m，
即AB的长约为2.70m．
24．解：（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，∴BC长为32﹣3x+4＝36﹣3x，
故答案为：（36﹣3x）；
（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，
解得x＝4或x＝8，
∵x＝4时，36﹣3x＝24＞14，
∴x＝4舍去，
∴x的值为8；
（3）设苗圃ABCD的面积为w，
则w＝x•（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∵﹣3＜0，
∴当x＞6时，w随x的增大而减小，
∵36﹣3x≤14，得x≥，
∴x＝时，w最大为，
答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．
25．（1）证明：如图，连接OC，OD.
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵FC＝FE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠OED＝∠FEC，
∴∠OED＝∠FCE，
∵AB是直径，D是的中点，
∴∠DOE＝90°，
∴∠OED+∠ODC＝90°，
∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，
∵OC是半径，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：过点G作GH⊥AB于点H．
设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，
在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，
∴r＝3，
∵GH⊥AB，
∴∠GHB＝90°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠GHB＝∠DOE，
∴GH∥DO，
∴＝，
∵G为BD的中点，
∴BG＝BD，
∴BH＝BO＝，GH＝OD＝，
∴AH＝AB﹣BH＝6﹣＝，
∴AG＝＝＝．
26．解：（1）如图，设点D到AC、BC的距离分别是DF、DE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF＝DE，
∴S△ABC＝S△ADC+S△BDC＝AC•DF+BC•DE＝AC•BC＝×4×3＝6，∴（3+4）•DF＝6，
∴DF＝，
故答案为：；
（2）连接OB，作AE⊥BD，
∵点B是半圆AC的三等分点（＜），
∴ADB＝30°，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝45，
设BE＝AE＝x，DE＝＝x，
∵BD＝8，
∴x+x＝8，
解得：x＝4﹣4，
∴AB＝＝4﹣4；
（3）连接AC，过点A作AN⊥BC于N，AM⊥DC，交CD延长线于M，
∵AB＝AD，
∴＝，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴AN＝AM，
.Rt△ABN≌Rt△ADM（HL），
∴四边形ABCD的面积等于四边形ANCM面积，
∵AN＝AM，AC＝AC，
∴Rt△ACN≌Rt△ACM（HL），
∴四边形ANCM面积＝2S△AMC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADM＝60°，∠MAD＝30°，
设DM为x，则AD＝2x，AM＝DM•tan60°＝x，CD＝8﹣2x，CM＝8﹣x，∴四边形ANCM面积＝2S△AMC＝2××x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+16，∵2≤DC＜4，
∴2≤8﹣2x＜4，
解得：2＜x≤3，
∵﹣＜0，抛物线对称轴为直线x＝4，
∴在对称轴左侧，函数值随x增大而增大，
故当x＝3时，函数有最大值，最大值为﹣×（3﹣4）2+16＝15．
答：存在，四边形ABCD的最大面积为15．
27．（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x；
（2）①证明：如图1，
由翻折得：∠OAC＝∠A'，
由对称得：OC＝AC，
∴∠AOC＝∠OAC，
∴∠COA＝∠A'，
∵∠A'DB＝∠ODC，
∴△OCD∽△A′BD；
②解：∵△OCD∽△A′BD，
∴＝，
∵AB＝A'B，
∴＝，
∴的最小值就是的最小值，
y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，
∴C（2，﹣2），
∴OC＝2，
∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，
当CD＝2时，的最小值为＝；
（3）解法一：∵S△OCD＝8S△A'BD，
∴S△OCD：S△A'BD＝8，
∵△OCD∽△A′BD，
∴＝（）2＝8，
∴＝2，
∵OC＝2，
∴A'B＝AB＝1，
∴BF＝2﹣1＝1，
如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，
由翻折得：AA'⊥CH，
∵∠AHB＝∠BFC＝90°，∠ABH＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠BAH，
tan∠BCF＝tan∠GAA'，
∴＝＝，
设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，
在Rt△A'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，∴a2+（2a﹣1）2＝12，
∴a1＝0（舍），a2＝，
∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝，
∵A'G∥OQ，
∴△A'GB∽△QOB，
∴＝，即＝，
∴OQ＝4，
∴Q（0，4），
设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝x2﹣2x，
3x2﹣4x﹣24＝0，
解得：x＝，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．（3）解法二：如图3，过点M作MH⊥OA于H，
∵△OCD∽△A′BD，
∴＝＝＝2，
∵OC＝2，
∴A'B＝AB＝1，
设BD＝t，则CD＝2t，
∴A'D＝2﹣2t，OD＝2A'D＝8﹣8t，
∵OB＝OD+BD＝4﹣1＝3，
∴8﹣8t+t＝3，
∴t＝，
∴A'D＝2﹣＝，
∵A'B＝AB，∠A'＝∠OAC，∠A'BD＝∠ABN，
∴△A'BD≌△ABM（ASA），
∴AM＝A'D＝，
∵△AHM是等腰直角三角形，
∴AH＝MH＝，
∴M（，﹣），
易得BM的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝x2﹣2x，
解得：3x2﹣4x﹣24＝0，
解得：x＝，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．。