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《二次函数的图像与性质》（第一课时）说课稿
说课教师：准格尔旗第五中学张志伟
一、教材的地位与作用
《二次函数的图像与性质》是在学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）的图像与性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，是对前面所学一次函数、图像与性质的一次升华，又是今后学习《二次函数的应用》、《二次函数与一元二次方程的联系》的预备知识，又是学生高中阶段数学学习的基础知识。

它在教材中起着非常重要的作用。

另外，本节课，最大特点，是结合图形来研究二次函数的性质，这充分体现了一个很重要的数学思想——数形结合数学思想。

因此，这一节课，无论是在知识上，还是对学生动手能力培养上都有着十分重要的作用。

二、教学重点与难点
通过分析，我们知道，《二次函数的图像与性质》在整个教材体系中，起着承上启下的作用，有着广泛的应用。

我认为这节课的重点是根据特殊二次函数图象，观察、分析、归纳出二次函数的性质。

在作二次函数y=ax2 (a≠0)的图像时，要注意，选取适当的点，选适当数目的点；在动手作图的时候，要根据少量的点连出光滑的抛物线，作图不容易很理想，这是一个难点。

教学目标设计
知识目标
掌握二次函数y=ax2(a≠0)的图像的作法及其性质，会根据图像用数学语言表达图像的性质。

特别是能分清，当a>0，a<0时，图像之间有什么共同点与不同点。

理解二次函数和抛物线的有关概念。

能力目标
本节课，过程是由抽象到直观，再由直观到抽象（既二次函数y=ax2(a≠0)的关系式——作出图像——说出二次函数y=ax2（a≠0)的图像的性质），培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生观察、探讨、分析、分类讨论的能力。

情感目标
引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性。

教学结构设计
建立以“实施主体性教学，培养学生自学能力”为主的课堂教学结构模式——学教结合式
让学生先自学，然后由老师来教，这样容易激发学生的求知欲望，调动学生学习的兴趣。

以“学教结合”为模式的课堂结构设计为“三个阶段”：
①准备阶段。

提前将导学案发下去自学。

②议论阶段。

让学生自我表现，相互质疑，相互交流，启发理解。

③点拨阶段。

在学生自学基础上，教师加以点拨，让学生心领神会，豁然贯通。

教学媒体设计
充分利用多媒体教学，将powerpoint、《几何画板》两种软件结合起来制作上课课件。

利用作二次函数图像的动画性，更加形象的反映出作图的过程，增加数学的美感，激发学生作图的兴趣。

教学过程设计
复习回顾
新课探究
课堂练习
思考总结
作业布置
教学评价设计
本节课，我合理、充分利用了多媒体教学的手段，利用powerpoint，《几何画板》这两种软件制作了课件，特别是《几何画板》软件的应用，画出了标准、动画形式的二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结合图形，分析说出二次函数y=ax2(a≠0)的有关性质，充分体现了“数形结合”的数学思想。

为了突出重点，攻破难点，我要求学生“先观察后思考”、“先做后说”、“先讨论后总结”，“师生共做”充分体现了教学过程中以学生为主体，老师起主导作用的教学原则。

本节课，让学生有观察，有思考，有讨论，有练习。

缺点,对学生不熟悉,没有充分调动学生积极发言,课堂不活跃,应该多用激励性语言,鼓励学生举手发言.
赠送以下资料
《二次函数的应用》中考题集锦
10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．
（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；
（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．
答案：解：（1）证法1：
2
2229224m y x mx m x m ⎛
⎫=+-=+- ⎪⎝
⎭，
当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2
904
m -
<， ∴顶点总在x 轴的下方．
而该抛物线的开口向上，
∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．
（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2
(02)m -，
在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）
证法2 ：
22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，
当0m ≠时，2
90m >，
∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．
（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．
设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，
①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，
且2t t -，是关于x
的方程2
2
2x mx m n +-=的两个实数根．
2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即29
4
n m >-．
且(2)t t m +-=-（I ），2
(2)t t m n -
=--（II ）
由（I ）得，t m =，即0m >．
将t m =代入（II ）得，0n =．
∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．
②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，
且2t t ，
是关于x 的方程22
2x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 29
4
n m >-．
且2t t m +=-（I ），2
22t t m n =--（II ）
由（I ）得，3
m
t =-
，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足29
4
n m >-．
x
∴当0m >且2
209
n m =-
时，有2AP PB =
第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间
t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）
Ａ．24米 Ｂ．12米
Ｃ．米 Ｄ．6米
答案：Ｂ
第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可
以近似地用如图（2）的抛物线表示．
（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）
答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：
2
160(0120)380(120150)2
20(150180)5
t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪
=<⎨⎪⎪+⎩，，
． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2
(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3
，，
2851
(60110)203300
a a ∴
=-+∴=
．． )
图(1)
图(2)
天)
21
(110)20300
z t ∴=
-+ (0)
t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故2222
1160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002
120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪
⎪
=---<⎨⎪
⎪+---⎪⎩
，，
． ≤ ≤≤ 化简得
222
1(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩
，，． ≤ ≤≤
①当21
(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2
593；
③当21
(170)56(150180)300
W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．
综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．
第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员
乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C
距守门员多少米？（取7=）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D
，他应再向前跑多少米？（取5=）
答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2
(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1
136412
a a =+∴=-
，． ∴表达式为21
(6)412y x =--+．
（或2
1112
y x x =-++）
（2）（3分）令21
0(6)4012
y x =--+=，．
212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）
． ∴足球第一次落地距守门员约13米．
（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD
根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）
21
2(6)412
x ∴=-
-+
解得1266x x =-=+
1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）
． 解法二：令2
1(6)4012
x --+=．
解得16x =-
，2613x =+．
∴点C 坐标为（13，0）．
设抛物线CND 为2
1()212y x k =--+．
将C 点坐标代入得：2
1(13)2012
k --+=．
解得：11313k =-（舍去），
2667518k =+++=．
21
(18)212
y x =-
-+ 令2
10(18)212y x ==--+，0．
118x =-
，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）
． 解法三：由解法二知，18k =，
所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．
第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x
的函数关系式．
（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）
（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．
答案：（1）()
227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当2
0.9 4.55x x -+=时，即2
945500x x -+=，15
3
x =，2103x =
从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建5
3
公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）
()()2
227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）
不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．
建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．
③当2
0.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说
其中一条即可）
第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．
（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；
（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．
答案：略．
第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？
（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，
设抛物线的方程为2
y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为2
1224
y x x =-++ （2）令4y =，则有2
12244
x x -
++=
解得1244x x =+=-
212x x -=>
∴货车可以通过．
（3）由（2
）可知211
22x x -=>
∴货车可以通过．
第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一
边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令
MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？
B A D M
F
答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，
MN MF
AD AB
∴
=
． 2AB AD MN x ==，，
2MF x ∴=．
102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-
2210x x =-+ 2
525222x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝⎭．
∴当52x =
时，S 有最大值为252
．
第18题某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．
信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：
2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？
答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．
2.442
3.2164a b
a b =+⎧∴⎨
=+⎩
解得0.2
1.6
a b =-⎧⎨
=⎩
∴20.2 1.6B y x x =-+．
（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得
220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++
20.2(3) 5.8W x ∴=--+
当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．
第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱
3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图
（2）所示的直角坐标系中．
（1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．
答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，
，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，
把3(030)B ，
代入得(030)(030)30y a =-+=． 1
30
a =-
∴． ∵所求抛物线的表达式为：1
(30)(30)30
y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145
(1530)(1530)302
y =-
-+=
． 3350A B =∵，拱高为30，
∴立柱444585
20(m)22
A B =+
=． 由对称性知：224485
(m)2
A B A B ==。

第20题某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元．销售量相应减少10个．
（1）假设销售单价提高x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是________元；这种篮球每月的销售量是
B 图(1)
图(2)
l
_________个．（用含x 的代数式表示）（4分）
（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分）
答案：（1）10x +，50010x -； （2）设月销售利润为y 元，
由题意()()1050010y x x =+-， 整理，得()2
10209000y x =--+． 当20x =时，y 的最大值为9000，
205070+=．
答：8000元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的售价为70元．。