2023年浙江省温州市永嘉县、苍南县、瓯海区中考数学一模试卷及答案解析

2023年浙江省温州永嘉县、苍南县、瓯海区中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算﹣5+2的结果等于（）
A．3B．﹣3C．﹣7D．7
2．（4分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（）
A．B．C．D．
3．（4分）2022年温州市居民人均可支配收入约为63000元，其中数据63000用科学记数法表示为（）
A．63×103B．0.63×105C．6.3×105D．6.3×104 4．（4分）某校调查学生最喜爱的运动项目的统计图如图所示．若最喜欢足球的扇形统计图有60人，则最喜欢篮球的有（）
A．20人B．40人C．50人D．60人
5．（4分）化简（﹣2a）•（a2b）的结果是（）
A．﹣2a2b B．2a2b C．﹣2a3b D．2a3b
6．（4分）将方程去分母，结果正确的是（）
A．3（x+3）+6＝2（x﹣2）B．3（x+3）+1＝2（x﹣2）
C．3x+3+1＝2x﹣2D．3x+3+6＝2x﹣2
7．（4分）若点（0，a），（﹣1，b），（4，c）均在抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3上，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
8．（4分）一组同学一起去种树，如果每人种4棵，还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，则缺少5棵树苗．设这组同学有x人，根据题意可列方程为（）
A．4x+3＝5x﹣5B．4x+3＝5x+5C．D．
9．（4分）如图，点A，B在x轴的正半轴上，以AB为边向上作矩形ABCD，过点D的反比例函数的图象经过BC的中点E．若△CDE的面积为1，则k的值为（）
A．1B．2C．3D．4
10．（4分）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形ABCD，记△AED的面积为S1，四边形EFCG的面积为S2．若EG∥CF，EG＝3，，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：m2﹣6m+9＝．
12．（5分）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚，朝上一面的点数为偶数的概率是．13．（5分）不等式3x+2≥5x﹣8的解为．
14．（5分）若扇形的圆心角为100°，半径为6，则它的弧长为．
15．（5分）如图，以菱形ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径画弧，交对角线AC于点E．若AE＝2CE，，则菱形ABCD的周长为．
16．（5分）如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆EF与地面BD垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为6mm，整个地漏的高度EG＝75mm（G为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为mm；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点M'恰好落在BG中点，若点M'到E'F'的距离为36mm，则密封盖下沉的最大距离为mm．
三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：
（2）化简：．
；
18．如图，在6×4的方格纸中，已知线段AB（A，B均在格点上），请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个以AB为边的四边形ABCD，使其为轴对称图形．
（2）在图2中画一个以AB为对角线的四边形AEBF，使其为中心对称图形．
19．某校为迎接校庆活动，组织了九年级各班的合唱比赛，其中两个班的各项得分如表：
服装得体（分）音准节奏（分）形式创新（分）九（1）班907885
九（2）班759284（1）如果将服装得体、音准节奏、形式创新三项得分按5：3：2的比例确定各班的最终成绩，通过计算比较哪个班成绩更好？
（2）请你判断按（1）中分配比例是否合理．若合理，请说明理由；若不合理，请给出一个你认为合理的比例．
20．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AF＝CE．
（2）若DF＝2，，∠DAE＝30°，求AC的长．
21．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣2的图象经过点（3，2）．
（1）求该函数的表达式，并在图中画出该函数的大致图象．
（2）P是该函数图象上一点，在对称轴右侧，过点P作PD⊥x轴于点D．当PD≤1时，求点P横坐标的取值范围．
22．如图，在△ABC中，D是BC上一点，BD＝AD，以AD为直径的⊙O经过点C，交AB 于点E，过点E作⊙O的切线交BD于点F．
（1）求证：EF⊥BC．
（2）若CD＝5，，求DF的长．
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，
两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3
学校花费400元后，文具店赠送m 张（1＜m ＜10）兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与
钢笔数量相同．
问题解决
任务1探求商品单价请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2探究购买方案探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3
确定兑换方式
运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
24．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，∠ACB ＝30°．P ，Q 分别是AC ，CD 上的动点，且满足
，E 是射线AD 上一点，AP ＝EP ，设DQ ＝x ，AP ＝y ．
（1）求y 关于x 的函数表达式．
（2）当△PQE 中有一条边与AC 垂直时，求DQ 的长．
（3）如图2，当点Q 运动到点C 时，点P 运动到点F ．连结FQ ，以FQ ，PQ 为边作平行四边形PQFG ．
①当GF 所在直线经过点D 时，求平行四边形PQFG 的面积；②当点G 在△ABC 的内部（不含边界）时，直接写出x 的取值范围．
2023年浙江温州市永嘉县、苍南县、瓯海区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．【分析】根据有理数的加法计算即可．
【解答】解：﹣5+2＝﹣（5﹣2）＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是关键．
2．【分析】根据组合体的主视图的形状进行判断．
【解答】解：主视图底层有两个小正方形，第二层有一个小正方形，且这个小正方形在左边，所以符合题意的是选项D．
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是明确主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：63000＝6.3×104．
故选：D．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
4．【分析】通过扇形统计图，根据最喜欢足球和所占百分比求出总人数，再利用结合最喜欢篮球所占比例进而得出答案．
【解答】解：调查学生总人数为：60÷30%＝200（人）
则最喜欢篮球的有：200×20%＝40（人）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了扇形统计图，掌握总体和部分之间的关系是解题关键．5．【分析】根据单项式乘以单项式法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣2a1+2b＝﹣2a3b．
故选：C．
【点评】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握运算法则是解题的关键．即单项式乘以单项式，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中存在的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
6．【分析】根据等式的性质两边都乘以6即可去掉分母．
【解答】解：，
去分母，得3（x+3）+6＝2（x﹣2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．7．【分析】分别把点（0，a），（﹣1，b），（4，c）代入抛物线解析式进行求解，然后问题可求解．
【解答】解：把（0，a）代入抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3得：a＝1；
把（﹣1，b）代入抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3得：b＝﹣5；
把（4，c）代入抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3得：c＝﹣15；
∴c＜b＜a；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8．【分析】根据前后种植的总棵数是相等的，即可列出相应的方程．
【解答】解：由题意得，4x+3＝5x﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9．【分析】根据题意设点E坐标为，则，根据△CDE的面积为1，得到，解得k＝4．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，E为BC的中点，
∴AD＝BC，∠C＝90°，
设，
则，，
∴，
则，
∴，
∵△CDE的面积为1，
即：，
∴k＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据题意设点E 坐标为，然后表示其他点坐标及线段长度是解题的关键．
10．【分析】连接GF、HF，HE，可证四边形EGFH是菱形，可知C，F，H在同一直线上，再证四边形EGFH是正方形，可知D，G，F在同一直线上，A，E，G在同一直线上，B，H，E在同一直线上，设DG＝CF＝BH＝AE＝x，则，，由，
＝4S1即可求得结果．
求得，再结合S
阴
【解答】解：连接GF、HF，HE，
由题意可知：DE＝CG＝BF＝AH，DG＝CF＝BH＝AE，∠ADE＝∠DCG＝∠CBF＝∠BAH，∠DAE＝∠CDG＝∠BCF＝∠ABH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠DCB＝∠CBA＝∠BAD＝90°，
∴∠EDG＝∠GCF，
∴△EDG≌△GCF（SAS），
∴EG＝GF，
同理可证：△EDG≌△GCF≌△FBH≌△HAE，
则：EG＝GF＝FH＝HE，
∴四边形EGFH是菱形，
∴EG∥HF，
又∵EG∥CF，
∴C，F，H在同一直线上，
又∵∠CBA＝∠ABH+∠FBH+∠CBF＝∠BCF+∠FBH+∠CBF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵△EDG≌△GCF≌△FBH≌△HAE，
∴∠BHC＝∠CFG＝∠DGE＝∠AEH＝90°，则∠GFH＝90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴D，G，F在同一直线上；A，E，G在同一直线上；B，H，E在同一直线上；
设DG＝CF＝BH＝AE＝x，
则S1＝，s2＝＝，
∵，即：，
∴（负值已舍去），
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定及性质，解决本题的关键是得到C，F，H在同一直线上．
二、填空题（本题有6题，每小题5分，共30分）
11．【分析】本题的多项式有三项，符合完全平方公式，可运用完全平方公式因式分解．【解答】解：m2﹣6m+9＝（m﹣3）2，
故答案为：（m﹣3）2．
【点评】本题考查了运用公式法因式分解．关键是根据多项式的特点，合理地选择乘法公式．
12．【分析】根据概率公式知，6个数中有3个偶数，故掷一次骰子，向上一面的点数为偶数的概率是．
【解答】解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数为偶数，
故其概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率的求法的运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中．13．【分析】根据不等式的性质先移项，再合并同类项，x的系数化为1即可．【解答】解：3x+2≥5x﹣8，
3x﹣5x≥﹣8﹣2，
﹣2x≥﹣10，
x≤5．
故答案为：x≤5．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练运用不等式的性质运算是解题的关键．14．【分析】根据弧长的计算公式直接计算即可．
【解答】解：扇形的弧长为：，
故答案为：．
【点评】此题考查了弧长的计算公式，n°是圆心角度数，R是扇形的半径，熟记公式是解题的关键．
15．【分析】连BD交AC于点O，根据菱形的性质可得，∠BOC＝90°，设CE＝x，则AE＝AB＝2CE＝2x，，最后在Rt△BOE中利用勾股定理列方程即可．【解答】解：连BD交AC于点O，
∵菱形ABCD，
∴，∠BOC＝90°，
设CE＝x，则AE＝2CE＝2x，
∴AC＝3x，
∴，，
∵以A为圆心，AB长为半径画弧，交对角线AC于点E，
∴AB＝AE＝2x，
∵，
∴在Rt△BOE中，，
∵在Rt△BOA中，，
∴，
解得：x＝±1，
∵x＞0，
∴x＝1，
∴AB＝2x＝2，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分是解题的关键．16．【分析】①根据已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理得到OH的长度，进而得到半径；
②利用三角形中位线的性质得到M'Z，再利用勾股定理及矩形的性质得到密封盖下沉的
最大距离．
【解答】解：①设作圆心O，连接CD交CE于点H，
设OH＝xmm，
∵最高点E到地面的距离为6mm，
∴OE＝（6+x）mm，
∵，
∴，
∴在Rt△OHD中，，
∵OE＝OD，
∴，
∴x＝33，
∴OE＝39mm，
故答案为：39．
②作M'P'⊥E'G，延长GE'，交AB于点Q'，作M'Z⊥AB交AB于点Z，
∵M'P'⊥E'G，
∴M′Z∥E′G，
∴点Z是BQ'的中点，
∵M'为BG的中点，
∴M'Z为△GQ'B的中位线，
∴，
∵EG＝75mm，EQ'＝6mm，
∴GQ'＝69mm，
∴，
∵点M'到E'F'的距离为36mm，
∴MJ＝M'P'＝36mm，
∵OM＝OE＝39mm，
回到图1，作MJ⊥EG，
由勾股定理得：（mm），
∴移动前M到地面的距离为：JH＝39﹣15﹣6＝18（mm），
∵M移动的距离为密盖下沉的距离，
∴MM'＝M'Z﹣JH＝34.5﹣18＝16.5（mm），
∴密封盖下沉的最大距离为16.5mm．
故答案为：16.5．
【点评】本题考查了平行线分线段性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质，矩形的性质等相关知识点，掌握垂径定理是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．【分析】（1）首先计算乘方，化简二次根式，计算负整指数幂，然后进行加减运算即可求解；
（2）首先把分式的分子、分母分解因式，约分后进行加减运算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝1．
（2）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，理解相关运算的法则是解题关键．18．【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图，四边形即为所求作：
；
（2）如图，四边形即为所求作：
．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．【分析】（1）根据“服装得体、音准节奏、形式创新三项得分按5：3：2的比例确定各班的最终成绩”，计算出两个班的成绩，再进行比较即可；
（2）根据题意进行分析，合唱比赛应该更加注重音准节奏和形式创新，服装得体占比应减小，言之有理即可．
【解答】解：（1）（分）；
（分）；
∵，
∴九（1）班成绩更好；
（2）不合理，合唱比赛应该更加注重音准节奏和形式创新，服装得体占比应减小．你认为合理的比例为：2：5：3．
【点评】本题主要考查了计算加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法．20．【分析】（1）根据AAS证明△ADF≌△CBE即可；
（2）利用三角函数求出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠BCE，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠CEB＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AF＝CE；
（2）在Rt△ADF中，
∵∠DAF＝30°，DF＝2，
∴．
在Rt△DFC中，
∵，DF＝2，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
21．【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数表达式，画出函数图象即可；
（2）由（1）得，对称轴为直线x＝1由P是该函数图象一点，且在对称轴右侧，可知x P ＞1，求出临界情况，PD＝1，即当y＝1时，当y＝﹣1时，求出x的值，再结合图象即可求得点P横坐标的取值范围，
【解答】解：（1）把（3，2）代入y＝a（x﹣1）2﹣2，得2＝a（3﹣1）2﹣2，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣2，
（2）由（1）得，对称轴为直线x＝1
∵P是该函数图象一点，且在对称轴右侧，
∴x P＞1，
当y＝1时，（x﹣1）2﹣2＝1，解得，
∴，
当y＝﹣1时，（x﹣1）2﹣2＝﹣1，解得x1＝0，x1＝2，
∴x＝2，
∴．
【点评】本题考查的是待定系数法求解函数解析式，能根据题意画出函数图象，利用数
形结合求解是解答此题的关键．
22．【分析】（1）连接OE，先根据圆的切线的性质可得OE⊥EF，再根据等腰三角形的性质可得∠OEA＝∠OAE，∠B＝∠OAE，从而可得∠B＝∠OEA，然后根据平行线的判定与性质即可得证；
（2）连接OE，先证出AE＝BE，BF＝CF，再根据三角形中位线定理可得AC＝2EF，然
后根据正切的定义设EF＝2x，则CF＝BF＝3x，AC＝4x，AD＝6x﹣5，最后在Rt△ACD
中，利用勾股定理求出x的值，由此即可得．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵EF是⊙O切线，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∵BD＝AD，
∴∠B＝∠OAE，
∴∠B＝∠OEA，
∴OE∥BC，
∴EF⊥BC．
（2）解：如图，连接OE，
∵OE∥BC，
∴，即AE＝BE，
∵AD是⊙O直径，
∴AC⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴EF∥AC，
∴，即BF＝CF，
∴AC＝2EF（三角形的中位线定理），
∵CD＝5，，
∴设EF＝2x，则CF＝BF＝3x，AC＝4x，∴AD＝BD＝BF+CF﹣CD＝6x﹣5，
在Rt△ACD中，AC2+CD2＝AD2，即（4x）2+52＝（6x﹣5）2，
解得x＝3或x＝0（不符合题意，舍去），
则DF＝CF﹣CD＝3x﹣5＝3×3﹣5＝4．
【点评】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、正切、勾股定理、三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
23．【分析】任务1：设笔记本的单价为x元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可；
任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据总的花费为400元，列出方程，根据a ≥20，b≥20，且b是10的倍数，求出a、b的值即可；
任务3：可以就钢笔和笔记本数量的一种情况进行解答，答案合理即可．
【解答】解：任务1：设笔记本的单价为x元，根据题意，得，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的根，
这时2x＝10．
∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据题意，得10a+5b＝400，化简得，由题意，a≥20，b≥20，且b是10的倍数，
∴或或，
∴可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，
笔记本40本．
任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，根据题意，得30+10y＝20+20（m﹣y），整理得，
∵1＜m＜10，且m，y均为正整数，
∴经尝试检验得，
∴文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程．
24．【分析】（1）利用∠ACB＝30°，AB＝4得到AC＝2AB＝8，求出CP＝8﹣y，代入比例即可得到函数解析式；
（2）分情况：（ⅰ）当PQ⊥AC时，（ⅱ）当QE⊥AC时，（ⅲ）由∠AEP＝∠CAD＝30°，得PE不可能垂直于AC，依次分析求解；
（3）①由DG∥PQ，得到，得CQ＝4﹣2＝2，PF＝FC﹣CP＝．过点Q作
QH⊥PC，则．利用S平行四边形PQFG＝2S△FQP求出答案；②当点G落在AB边上时，证明△AFG≌△CQP，得AF＝CP，即，求得．当点G落在BC 边上时，作QN∥AD交AC于点N，作NM⊥AD于点M，得△QNF≌△GCP，即，求得，即可得到x的取值范围．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝4．
∵∠ACB＝30°，AB＝4，
∴AC＝2AB＝8．
∵AP＝y，
∴CP＝8﹣y．
∵，
∴．
∴．
（2）（ⅰ）当PQ⊥AC时，
∵DQ＝x，AP＝y，
∴CQ＝4﹣x，CP＝8﹣Y．
∵，
∴，
解得，即．
（ⅱ）当QE⊥AC时，
延长EQ交AC于点H．
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠ACD＝80°．
∵AP＝PE，
∴∠EPA＝2∠EAC＝60°，
∴△KPC是等边三角形．
∴，
∴．
在Rt△DEK中，，
在Rt△DEQ中，，
∴，即，
解得x＝2，即DQ＝2．
（ⅲ）∵∠AEP＝∠CAD＝30°，
∴∠APE＝120°，
综上，DQ的值为或2；
∴PE不可能垂直于AC．
（3）当x＝4时，，即，∴．
①在平行四边形PQFG中，DG∥PQ，
∴，即＝，
解得x＝2，
∴CQ＝4﹣2＝2，PF＝FC﹣CP＝．
过点Q作QH⊥PC，则．
＝2S△FQP＝PF•QH＝．
∴S
平行四边形PQFG
②．
提示：当点G落在AB边上时，
∵FG∥QP，
∴∠GFP＝∠QPF，
∴∠AFG＝∠QPC．
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA．
∵FG＝PQ，
∴△AFG≌△CQP（AAS）．
∴AF＝CP，即，
解得．
当点G落在BC边上时，
作QN∥AD交AC于点N，作NM⊥AD于点M，则MN＝DQ＝x，QN∥BC，
∴AN＝2x，NF＝．∠QNF＝∠BCP，
∵四边形PQFG是平行四边形，
∴QF＝PG，∠QFP＝∠GPF，
∴∠QFN＝∠GPC，
∴△QNF≌△GCP（AAS），
∴NF＝CP，即，
解得，
∴．
【点评】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，求函数解析式，综合掌握各知识点是解题的关键。