立方根、n次方根、实数运算、分数指数幂

立方根
概念：
1、如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根,用"3a 〞表示,3a 读作"三次根号a 〞,其中的a 叫做被开方数,"3〞叫做根指数.
2、求一个数a 的立方根的运算叫做立开方.
注意：正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数,零的立方等于零,所以正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,零的立方根是零.
任意一个实数都有立方根,而且只有一个立方根.
例：1、求下列各数的立方根
（1）28- 〔2〕0.064〔3〕174
27
- 〔4〕216 2、求出下列各式的值
<1> <3> 3、若33731++x x 和互为相反数,求x 的值.
练习：错误!错误!错误!
n 次方根
概念:
1、如果一个数的n 次方〔n 是大于1的整数〕等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时,这个数为奇数方根；当n 为偶数时,这个数为a 的偶数方根.
2、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方,a 叫做被开放数,n 叫做根指数.
3、实数a 的奇数方根有且只有一个,用"n a 〞表示.其中被开方数a 是任意一个实数,根指数n 是大于1的奇数.正数a 的偶数方根有两个,它们互为相反数,正n 次方跟用"n a 〞表示,负n 次方用"—n a 〞表示.其中被开方数a >0,根指数n 是正偶数〔当n =2时,在±n a 中省
略n 〕.负数的偶数方根不存在.零的n 次方根等于零,表示为00=n ."n a 〞读做"n 次根号a 〞. 例1：664
1=()886-= 例2：当意义取何值时，下列各式有
x 用数轴上的点表示实数
1、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,而且这样的点是唯一的,它是这个实数在数轴上所有对应的点.反过来,数轴上的每一个点也都是可以用唯一的一个实数来表示.〔即数轴上点和实数是一一对应的.〕
2、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.实数a 的绝对值记作a .绝对值相等,符号相反的两个数叫做互为相反数.零的相反数是零.非零实数a 的相反数是 a -.
3、负数小于零；零小于正数.两个负数,绝对值大的数较小.从数轴上看,右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.
例：
1、数轴上原点左边的点表示数,原点右边的点表示数,点表示0.
2、比5小的正整数有；比—5大的负整数有.
3、—π的相反数是；的相反数是0;若2x >
,则2____x -=.
4、用">〞、"<〞填空： 〔1〕65-与； 〔2〕65与；〔3〕65--与； 〔4〕
10-与π； 5、如图,已知数轴上的四点A 、B 、C 、D 所对应的实数依次是2、32
-、2
12、5-,O 为原点,求〔1〕线段OA 、OB 、OC 、OD 的长度.〔2〕求线段BC 的长度.
B
A C D O
拓展：已知数轴上的四点A 、B 、C 、D 所对应的实数依次是2、24
3-、22、2-,求线段AB 、BC 、CD 、AC 的长度. 实数的运算
运算方法：设a >0,b >0,可知ab b a b a =•=•222)()()(.
根据平方根的意义,得00(≥≥=••=b a ab b a b a ab ，或.〕 同理)0,0(>≥==b a b a b
a b a b a 或. 近似数
1、近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似数程度的要求,叫做精确度.
2、保留几个有效数字,从左边第一个不是零的数字起,往右到末位数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字.
例1 判断下列各数,哪些是准确数,哪些是近似数：
<1>初一<2>班有43名学生,数学期末考试的平均成绩是82.5分；
<2>某歌星在体育馆举办音乐会,大约有一万二千人参加；
<3>通过计算,直径为10cm 的圆的周长是31.4cm ；
<4>检查一双没洗过的手,发现带有各种细菌80000万个；
<5>1999年我国国民经济增长7.8％．
例2 下列由四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？
<1>38200 <2>0.040 <3>20.05000 <4>4×104
例3 下列由四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位？各有几个有效数字？
<1>70万 <2>9.03万 <3>1.8亿 <4>6.40×10
5
例4 用四舍五入法,按括号里的要求对下列各数取近似值．
<1>1.5982<精确到0.01> <2>0.03049<保留两个有效数字>
<3>3.3074<精确到个位> <4>81.661<保留三个有效数字>
例5 用四舍五入法,按括号里的要求对下列各数取近似值,并说出它的精确度<或有效数字>．
<1>26074<精确到千位>
<2>7049<保留2个有效数字>
<3>26074000000<精确到亿位> <4>704.9<保留3个有效数字>
例6 指出下列各问题中的准确数和近似数,以与近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？
<1>某厂1998年的产值约为1500万元,约是1978年的12倍；
<2>某校初一<2>班有学生52人,平均身高约为1.57米,平均体重约为50.5千克；
<3>我国人口约12亿人；
<4>一次数学测验,初一<1>班平均分约为88.6分,初一<2>班约为89.0分．
练习：
1.若x 2=4,则x 3=______．2．_____,的立方根是_____．
3_____,绝对值是______．4．比较大小：－7______－．
5那么x=_____,y=_____．
6．若a,小数部分是b,则a －b=______．
7．实数a,b,c 在数轴上的对应点如图所示,化简a+│a+b││b －c│=____．
8. 已知3y =,则x y =____
9. 若 2163610x -= 则x=____10. 若 38(3)27x --= 则x=____
三、计算题
11.计算：27124148÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+＝_________．
12.=．
13.
14.计算化简)1
0112-⎛⎫- ⎪⎝⎭
15.计算
16.计算：101(1)52-⎛⎫π-+-+- ⎪⎝⎭
17.计算：11 分数指数幂
1.正数的正分数指数幂的意义
n m n m
a a = <a ＞0,m ,n ∈N *
,且n ＞1> 要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外,我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2.规定： <1>n m
n m
a a 1
=- <a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1>；
<2>0的正分数指数幂等于0；
<3>0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时,整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质:
说明：若a ＞0,P 是一个无理数,则p
a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用. 例题：求值：43
32
132)8116(,)41(,100,8--- 例：.)();3()6)(2(8
83416561312121
32n m b a b a b a -÷-化简。