有限测度空间(Ω,F,μ)上测度的性质
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设Ａ ＝ ｎ Ｂ ， Ｖ ≥１ ， Ｂ Ｅ 令
ｎ ＝２
则得证 Ｉ ｉ Ｉ Ｉ Ｉ 目 ；
．
ｎ
＝ｌ
则 有Ｖ ｓ ＞ ｏ ＇ ｊ Ⅳ ∈ Ｎ ’ 当 凡 ＞ Ⅳ 时 ＇ ‘ 一
（ ）≤ 导 ２
’
（ ２ ）由于 Ｆ ｔ 【 ， 】 ｕ【 （ ， Ｆ 一 ） 】 ， 则 由
一
而 ∈ 则 ］曰 ｎ∈ ， Ｂ ｎ∈ ， 则
可 加 性．
∞
（ ） ≤ｐ （ Ｂ ） ＋ 詈 ．
一
（ Ｆ ）＝ （ Ｆ ） ＋
（ Ｆ ＼ ， ＋ １ ）
由此 可 知 ：
① 收稿 日期 ： ２ ０ １ ３—１ ２—１ ０
作者简介 ． 牵畚 毳ｆ １ ９ ８ １— １ ． 奇． 甘 肃 兰州 人 ． 兰州职、 桔 术 学 院 教 师 ． 硕十 ．
）
（ ＼ ｎ 一 ）
设 ∈
Ｔ
＝ｌ ｉ ａ ｒ （ ） ．
其中， ＝ ， 于是 ， 由 一可加性 ， 可知：
因为 为测度 ， 所 以： （
（ 已 ） ： 主 （ ＼ 一 ） ： 妻 （ ） 一 （ 一 ） ］
ｎ＝ １ 一
， 卜 ∞
定理 ２ ： 设 为可测 空 间 （ ， 上 的测 度 ，
ｎ ≠ｍ （ ∑Ａ ） ＝
（ Ａ ）
则 从 下 连续且 从上 连续 （ 从 而在 咖处也连 续 ） ， 此
则 称 为 力 上 的（ 或（ ， ｓ ｔ ）上 的测度 ） ． 定义 ３ ： 设 为 可测 空 间（ ， 上 的测 度 ， 称 三元组 （ ， ）为测度 空 间． 若 （ 力） ＜ ∞ ， 则 称 为有限 测度 ， 并称（ ， ）为有 限测度 空 间． 定理 １ ： 设 为 可测 空 间 （ ， 上 的测 度 ，
摘 要： 主要介绍 了有限测度 空间（ ， 。 ） 的定义， 以及 定义于其上的一些测度的性质， 并利
用测度 论 的方法推 导 了一 些性质．
关键词 ： 测度 ， 有限测度空间， 从上连续， 从下连续
中图分 类号 ： ０ ２ １ １ ． ６
定义 １ ： 设
文献 标识 码 ： Ａ
∞，
生 成 的 一个 代数 ， 则 ＶＡ ∈ 我们有 ：
（ Ａ）＝ ｓ ｕ ｐ ｛ （ Ｂ ）Ｉ Ｂ∈ ， Ｂ ｃ Ａ｝
＝
ｉ ｎ ｆ ｛ （ ） Ｂ∈ ， Ｂ Ａ ｝
证明 ： （ １ ） 若 ｊⅣ≥ １ ， 使 （ ）＝∞． 则显
然பைடு நூலகம்：
∑Ａ ∈ ， 可知： Ｖ ＞ ０ ， ３ Ｂ∈ Ｂ ｎ ＝
ｎ＝ Ｉ
∞ ∞
设 Ｅ
，
Ｊ ， ｇ － ＝ｎ 』 ， Ｖ ＞０ ， ｎ ≥１ ， Ｖ Ｂ ∈
ｃ ， 使得 ：
Ａ ， ｓ ． ｔ ． （ ） ≤ （ ∑Ａ ） ＋ 占
主要介绍了有限测度空间f的定义以及定义于其上的一些测度的性质并利用测度论的方法推导了一些性质
第３ ２卷 第 ２期
２ ０ １ ４ 年 Ｏ ３月
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｍ ｕ ｓ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
则 （ １ ） 从下连 续 ； （ ２ ） 从上连 续．
外， 有单 调性 及 如下可 减性 ：
Ａ， Ｂ∈ Ａ ｃ Ｂ， 且
（ ） ＜ ｏ 。 ＝ （ ＼ Ａ） ＝ （ ）一 （ ）
定理 ３ ： 设（ ， ） 为一 测度 空 间 ， （ 力）＜
＝
证明： 令
｛ Ａ∈Ｆ Ｉ （ Ａ ）＝ｓ ｕ ｐ ｛ （ Ｂ ） Ｉ Ｂ∈ ， Ｂ ｃ Ａ ｝ ｝
则 ｃ ｃ ＝ （
ｌ ｉ ｍ ／ ￣ （ Ｆ ）＝ （ｕ Ｆ ） 下设 （ Ｆ ）＜∞， ／ １ ， ≥１ ， 则有
２ １ （ ＼
一 集类． 如果 它 对可 列 交及
取 余 集运算 封 闭 ， 且有 １ ＂ ２ Ｅ
Ｅ 则 称
一
＝ （ ， ） ＋∑ ［ （ ） 一 （ Ｆ ＋ ） ］
： （ｎ Ｆ ） ＋ （ Ｆ １ ）一ｌ ｉ Ｉ Ｉ （ Ｆ ） 其 中， （ Ｆ １ ）＜ ∞ ， ＿ Ｎ ． １ ｉ ｍ ￣（ Ｆ ）也有 限 ， 则
Ｖｏ １ ． ３ ２ Ｎｏ ． ２ Ｍａ ｒ ． ２ ０１ ４
文章编 号： １ ０ ０ ８—１ ４ ０ ２ （ ２ ０ １ ４） ０ ２—０ ３ ０ ８— ０ ２
有 限测 度 空 间 （ ，
）上 测 度 的 性 质 ①
李金 秀
【 兰州职业技术学院 ． 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ３ ０）
…
代数 定义 ２ ： 设（ 力， ）为一 可 测空 间 ， 为 定义 于 取值于 ＋ ＝［ ０ ， ∞］的函数． 如果 （ ０ ）＝０ 且 有可数可加性或 一可加性 ， 即
Ａ ∈ ｎ ≥ １， Ａ ｆ ＇ ｌ Ａ ＝ ，
∞ ∞
ｌ ｉ ｍ ￣（ Ｆ ）＝ （ｎ ）
第 ２期
李金秀： 有 限测度空间（ ， ） 上测度的性质
３ ０ ９
（ 功 ≤ （ ）＋ ， Ｂ ∈ ， Ｂ ｃ ｃ 故有 ：
（ ∑Ａ ） ＝ｉ ｎ ｆ ｛ ￣ （ Ｇ ） ｌ Ｇ∈ Ｇ ｎ ＝∑Ａ ）
ｎ Ｊ ｎ＝ｌ
（ ＝ｓ ｕ ｐ ｛ ／ ｚ （ Ｂ ）Ｉ Ｂ∈ ， Ｂ ｃ 即 ∈
ｎ ＝２
则得证 Ｉ ｉ Ｉ Ｉ Ｉ 目 ；
．
ｎ
＝ｌ
则 有Ｖ ｓ ＞ ｏ ＇ ｊ Ⅳ ∈ Ｎ ’ 当 凡 ＞ Ⅳ 时 ＇ ‘ 一
（ ）≤ 导 ２
’
（ ２ ）由于 Ｆ ｔ 【 ， 】 ｕ【 （ ， Ｆ 一 ） 】 ， 则 由
一
而 ∈ 则 ］曰 ｎ∈ ， Ｂ ｎ∈ ， 则
可 加 性．
∞
（ ） ≤ｐ （ Ｂ ） ＋ 詈 ．
一
（ Ｆ ）＝ （ Ｆ ） ＋
（ Ｆ ＼ ， ＋ １ ）
由此 可 知 ：
① 收稿 日期 ： ２ ０ １ ３—１ ２—１ ０
作者简介 ． 牵畚 毳ｆ １ ９ ８ １— １ ． 奇． 甘 肃 兰州 人 ． 兰州职、 桔 术 学 院 教 师 ． 硕十 ．
）
（ ＼ ｎ 一 ）
设 ∈
Ｔ
＝ｌ ｉ ａ ｒ （ ） ．
其中， ＝ ， 于是 ， 由 一可加性 ， 可知：
因为 为测度 ， 所 以： （
（ 已 ） ： 主 （ ＼ 一 ） ： 妻 （ ） 一 （ 一 ） ］
ｎ＝ １ 一
， 卜 ∞
定理 ２ ： 设 为可测 空 间 （ ， 上 的测 度 ，
ｎ ≠ｍ （ ∑Ａ ） ＝
（ Ａ ）
则 从 下 连续且 从上 连续 （ 从 而在 咖处也连 续 ） ， 此
则 称 为 力 上 的（ 或（ ， ｓ ｔ ）上 的测度 ） ． 定义 ３ ： 设 为 可测 空 间（ ， 上 的测 度 ， 称 三元组 （ ， ）为测度 空 间． 若 （ 力） ＜ ∞ ， 则 称 为有限 测度 ， 并称（ ， ）为有 限测度 空 间． 定理 １ ： 设 为 可测 空 间 （ ， 上 的测 度 ，
摘 要： 主要介绍 了有限测度 空间（ ， 。 ） 的定义， 以及 定义于其上的一些测度的性质， 并利
用测度 论 的方法推 导 了一 些性质．
关键词 ： 测度 ， 有限测度空间， 从上连续， 从下连续
中图分 类号 ： ０ ２ １ １ ． ６
定义 １ ： 设
文献 标识 码 ： Ａ
∞，
生 成 的 一个 代数 ， 则 ＶＡ ∈ 我们有 ：
（ Ａ）＝ ｓ ｕ ｐ ｛ （ Ｂ ）Ｉ Ｂ∈ ， Ｂ ｃ Ａ｝
＝
ｉ ｎ ｆ ｛ （ ） Ｂ∈ ， Ｂ Ａ ｝
证明 ： （ １ ） 若 ｊⅣ≥ １ ， 使 （ ）＝∞． 则显
然பைடு நூலகம்：
∑Ａ ∈ ， 可知： Ｖ ＞ ０ ， ３ Ｂ∈ Ｂ ｎ ＝
ｎ＝ Ｉ
∞ ∞
设 Ｅ
，
Ｊ ， ｇ － ＝ｎ 』 ， Ｖ ＞０ ， ｎ ≥１ ， Ｖ Ｂ ∈
ｃ ， 使得 ：
Ａ ， ｓ ． ｔ ． （ ） ≤ （ ∑Ａ ） ＋ 占
主要介绍了有限测度空间f的定义以及定义于其上的一些测度的性质并利用测度论的方法推导了一些性质
第３ ２卷 第 ２期
２ ０ １ ４ 年 Ｏ ３月
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｍ ｕ ｓ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
则 （ １ ） 从下连 续 ； （ ２ ） 从上连 续．
外， 有单 调性 及 如下可 减性 ：
Ａ， Ｂ∈ Ａ ｃ Ｂ， 且
（ ） ＜ ｏ 。 ＝ （ ＼ Ａ） ＝ （ ）一 （ ）
定理 ３ ： 设（ ， ） 为一 测度 空 间 ， （ 力）＜
＝
证明： 令
｛ Ａ∈Ｆ Ｉ （ Ａ ）＝ｓ ｕ ｐ ｛ （ Ｂ ） Ｉ Ｂ∈ ， Ｂ ｃ Ａ ｝ ｝
则 ｃ ｃ ＝ （
ｌ ｉ ｍ ／ ￣ （ Ｆ ）＝ （ｕ Ｆ ） 下设 （ Ｆ ）＜∞， ／ １ ， ≥１ ， 则有
２ １ （ ＼
一 集类． 如果 它 对可 列 交及
取 余 集运算 封 闭 ， 且有 １ ＂ ２ Ｅ
Ｅ 则 称
一
＝ （ ， ） ＋∑ ［ （ ） 一 （ Ｆ ＋ ） ］
： （ｎ Ｆ ） ＋ （ Ｆ １ ）一ｌ ｉ Ｉ Ｉ （ Ｆ ） 其 中， （ Ｆ １ ）＜ ∞ ， ＿ Ｎ ． １ ｉ ｍ ￣（ Ｆ ）也有 限 ， 则
Ｖｏ １ ． ３ ２ Ｎｏ ． ２ Ｍａ ｒ ． ２ ０１ ４
文章编 号： １ ０ ０ ８—１ ４ ０ ２ （ ２ ０ １ ４） ０ ２—０ ３ ０ ８— ０ ２
有 限测 度 空 间 （ ，
）上 测 度 的 性 质 ①
李金 秀
【 兰州职业技术学院 ． 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ３ ０）
…
代数 定义 ２ ： 设（ 力， ）为一 可 测空 间 ， 为 定义 于 取值于 ＋ ＝［ ０ ， ∞］的函数． 如果 （ ０ ）＝０ 且 有可数可加性或 一可加性 ， 即
Ａ ∈ ｎ ≥ １， Ａ ｆ ＇ ｌ Ａ ＝ ，
∞ ∞
ｌ ｉ ｍ ￣（ Ｆ ）＝ （ｎ ）
第 ２期
李金秀： 有 限测度空间（ ， ） 上测度的性质
３ ０ ９
（ 功 ≤ （ ）＋ ， Ｂ ∈ ， Ｂ ｃ ｃ 故有 ：
（ ∑Ａ ） ＝ｉ ｎ ｆ ｛ ￣ （ Ｇ ） ｌ Ｇ∈ Ｇ ｎ ＝∑Ａ ）
ｎ Ｊ ｎ＝ｌ
（ ＝ｓ ｕ ｐ ｛ ／ ｚ （ Ｂ ）Ｉ Ｂ∈ ， Ｂ ｃ 即 ∈