matlab 最优捕鱼策略

ai = = =
∫ ∫
2 3 0 2 3 0
E i N i (t ) d t E i N i 0 e [ r + Ei ]t d t
Ei N 0 (1 e ( r + E i ) 2 / 3 ), i = 3, 4 r + Ei
从而一年内捕鱼总收获量为
W = a3M3 + a4M4
2 2 (r +E3 ) (r +E4 ) E3 E4 N30 (1 e 3 N40 (1 e 3 = 17.86 ) + 22.99 ). r + E3 r + E4
供参考的MATLAB计算程序 供参考的MATLAB计算程序 MATLAB
%最优捕鱼策略ch431 %文件名：ch431.m x=sym('x'); E3=0.42*x; d=1.22*10^11; r=0.8; q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(2/3*x)/(1-exp(-(r+2/3*x)))); N10=d*q/(d+q); N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x))); a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r); a4=x/(r+x)*(1-exp(-2/3*(r+x)))*d*q/(d+q)*exp((3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x)));
符号说明
Ni(t)—t 时刻i 龄鱼的数量 Ni0 (k) —第k 年初i 龄鱼的数量 Ni1 (k)___第k年底i 龄鱼的数量 (i=1，2，3，4) r—鱼的自然死亡率 c —4龄鱼的平均产卵量 (则c/2为3龄鱼的平均产卵量) Qk —k年度鱼产卵总量 p —鱼卵的成活率 Mi—第i 龄鱼的平均重量(i=1，2，3，4) Ei —第i 龄鱼的捕捞强度系数 ai —对i 龄鱼的年捕捞量(i=3，4） W—年总收获量，即W=M3a3+M4a4 WW — 5年的总收获量为，即 5
变形得
d N i (t ) = rN i (t ), 0 < t < 1 , i = 1, 2 dt N i (t ) = N i0 t=0
(1)
解得 从而
Ni (t ) = Ni 0e , i = 1,2.
rt
N i1 (t ) = N i 0 e , i = 1, 2.
r
对于3、4龄鱼由于捕捞在前8个月进行，因此在前8个月内，捕 捞与死亡均影响鱼的变化，因而微分方程变形为
(k ) 10 (k ) 20 (k ) 41
(k ) 11 (k ) 21 (k ) 31
= N = N + N
e e
r r r 2 E 3 r 2 E 3
.
= N
(k ) 30
e
3
+ N
(k ) 40
e
4
从而第k+1年初i 龄鱼的数量Ni0 (k+1)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0 (k) 的递 推关系为
(7)
其中约束条件第二个等号说明各组鱼群条数及产卵量均与k无关。
优化模型（7）中的约束条件与k无关，故可把k丢掉，并利用 E3=0.42E4，把目标函数和约束条件同时化简得
2 2 ( r + 0.42 E4 ) ( r + E4 ) 0.42 E4 E4 3 max W = max{17.86 ) + 22.99 )} N 30 (1 e N 40 (1 e 3 r + 0.42 E4 r + E4 2 2 r E3 r E4 3 + N 30 e 3 ) Q = c (0.5 N 30 e 1.22 × 1011 cQ N10 = 1.22 × 1011 + Q r N 20 = N10 e r N 30 = N 20 e 2 2 r 0.42 E4 r E4 3 + N 40 e 3 N 40 = N 30 e
由于每年各龄鱼的演化规律相同 ， 且捕捞模式相 同，综上可得：
第k年底i 龄鱼的数量Ni1(k)对第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k) 的 递推关系
N ik1 = N ik0 e
N
k i1
(r+
2 Ei ) 3
, i = 3, 4 .
i = 1, 2 .
(4)
(t ) = N
k i0
er ,
第k年的年度捕鱼收获量
( k ) 1 0 ( k ) 2 0 ( k ) 3 0
( k )
e e e
r r r 2 3 E r 2 3 E
.
(6)
3
+
N
( k ) 4 0
e
4
(5)式是每年捕鱼的总收获量，式 (6)刻划了鱼群各年龄组每年 的变化情况，它们一起构成了基本模型。
第二步
（1）为了实现可持续的最大捕捞（即每年开始捕捞时渔场 中各年龄组鱼群条数不变），即要求的前提下获得最高年收获 量。结合基本模型，即可得到年度产量最优模型：
各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高年收获量（捕捞总重 量）。
模型的假设
（1）假设只考虑一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不 考虑鱼的迁入与迁出. （2）假设各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然 死亡，产卵可在后四个月内任何时间发生. （3）假设3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄鱼不产 卵，但平均产卵量掩盖了这一差异. （4）假设各年龄组的鱼经过一年后，即进入高一级的年龄组， 但4龄鱼经过一年后仍视为4龄鱼. （5）假设对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式，每年的捕捞强 度系数保持不变，且捕捞只在前八个月进行.
2 dN i ( t ) = [ r + E i ] N i ( t ), 0 < t < 3 , i = 3, 4 dt N i (t ) = N i0 t0
(2)
2[ r + Ei ] 3
由(2)式解得 Ni (t ) = Ni 0e
[ r + Ei ]t
2 , 0 ≤ t < , i = 3, 4. 3
(k )
= Q
(k ) 3
+ Q
(k )
(k ) 4
= c ( 0 .5 N
(k ) 31
+ cN
(k ) 41
)
(k +1) 10 (k +1) 20 (k +1) 30 (k +1) 40
= pQ = N = N = N
1 .2 2 × 1 0 11 Q (k ) = 1 .2 2 × 1 0 11 + Q (k )
第一步（时间以年为单位，考虑一年内各龄鱼数量的演化）
已知r为自然死亡率，其定义为单位时间内死亡的鱼的数 单位时间内死亡的鱼的数 量与鱼的总量之比。由于不捕捞1、2龄鱼，所以在[t，t+Δt]内， 量与鱼的总量之比 根据死亡率的定义，
Ni (t ) Ni (t + t ) 1 dNi (t ) r = lim = , i = 1, 2. t →0 tNi (t ) Ni (t ) dt
2 2 ( r + E3 ) ( r + E4 ) E3 E4 k k ) + 22.99 ). Wk = 17.86 N 30 (1 e 3 N 40 (1 e 3 r + E3 r + E4
(5)
由各龄鱼之间的年龄增长关系,并假定产卵在年底一次完成,利用关系 式(4)得
Q N N N N
最优捕鱼策略
为保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业等资 源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前 提下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼的最优捕捞策略。假设这种鱼分4个年龄组：称一龄鱼、 二龄鱼、三龄鱼、四龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07， 11.55，17.86，22.99(克）;各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（/年）； 这种鱼季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为为1.109×105 （个），3龄鱼产卵量为这个数的一半， 2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和 孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为（1龄鱼条 数与产卵总量n之比）1.22×1011/(1.22×1011+n).渔业管理部门规定， 每年只允许在产卵孵化期的前8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕 捞能力（如鱼船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各 年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常使用 13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系 数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
(3)
解得
2 r (t 2 ) 2 3 N i (t ) = N i ( )e , < t < 1, i = 3, 4 . 3 3
从而
N i1
r (r+ 2 3 = N i ( )e = N i0e 3
2 Ei ) 3
, i = 3, 4 .
由于仅在前八个月捕捞,且仅捕捞3龄鱼和4领鱼，而且捕捞 强度系数表示的是单位时间内捕捞量与各年龄组鱼群总量成正 比的比例系数，所以对i 龄鱼的年捕捞量为
从而
2 N i ( ) = N i0e 3
, i = 3, 4.
对于3、4龄鱼由于后四个月无捕捞，只有自然死亡，所以在后 四个月其数量演化的方程为
d N i (t ) = rN i (t ), dt N (t ) 2 = N ( 2 ) i i t= 3 3 2 < t < 1 3 , i = 3, 4
2 2 ( r + E3 ) ( r + E4 ) E3 E4 (k ) (k ) 3 3 max W = max{17.86 N 30 (1 e ) + 22.99 N 40 (1 e )} r + E3 r + E4 2 2 r E3 r E4 (k ) (k ) (k ) 3 + N 40 e 3 ) Q = c (0.5 N 30 e 1.22 × 1011 Q ( k +1) ( k +1) ( N 10 = = N 10k ) 11 ( k +1) 1.22 × 10 + Q ( k +1) (k ) r (k ) N 20 = N 10 e = N 20 ( k +1) (k (k N 30 = N 20 ) e r = N 30 ) 2 2 ( k +1) r E3 r E4 (k ) (k ) (k 3 + N 40 e 3 = N 40 ) N 40 = N 30 e
(7’)
注意到四个约束条件中含五个变量,因此从约束方程组可用符号 计算软件解出Ni0(i=1，2，3，4),它们都是E4的函数,从而目标 函数就是E4 的一元函数.问题最终归结为一元函数的极值问题. 该模型也可完全通过数值迭代求解！ 即： E4从0开始，逐渐增加，逐个计算W，挑出使W最大的E4。
模型的求解
（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中
（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产 能力不能受到太大破坏。 已 知 承 包 时 各 年 龄 组 鱼 群 数 量 分 别 为 ： 122 ， 29.7 ， 10.1 ， 3.29 （×109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才 能使总收获量最高。
Q N N N N
( k )
=
c ( N = = = =
( k ) 3 0
e
r
2 3
E
3
+
N
k )
Biblioteka Baidu
( k ) 4 0
e
r
2 3
E
4
)
( k + 1 ) 1 0 ( k + 1 ) 2 0 ( k + 1 ) 3 0 ( k + 1 ) 4 0
1 .2 2 × 1 0 11 Q ( 1 .2 2 × 1 0 11 + Q N N N
WW
=
∑
k =1
Wk.
由已知条件，可得
M1 = 5.07; M2 = 11.55; M3 = 17.86; M4 = 22.99, E1 = E2 = 0; E3 = 0.42 E ; E4 = E (待求) （E为捕捞努力量）
r = 0.8; c = 1.109 × 10 5 ,
模型的建立
第一步 得出基本模型 给出第k年底i 龄鱼的数量Ni1(k)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k)之间的递推关系 给出年度捕鱼量 给出第k+1年初i 龄鱼的数量Ni0(k+1)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k+1)的递推关系 第二步 得出最终模型 根据可持续捕捞的要求, 给出约束条件及其目标函数