2018届高考数学课标版理科二轮专题复习：题型专项训练7 含解析 精品

题型专项训练7立体几何(解答题专项)

1.(2017浙江湖州高三期末)在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是正三角形,且A1A=AB,顶点A1在底面ABC上的射影是△ABC的中心.

(1)求证:AA1⊥BC;

(2)求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小.

2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,AB=BC=CD=1,DA=2,DP⊥平面ABP,O,M分别是AD,PB的中点.

(1)求证:PD∥平面OCM;

(2)若AP与平面PBD所成的角为60°,求线段PB的长.

3.在三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,AB=AD,BD⊥DC.

(1)求证:AE⊥BD;

(2)若DB=2DC=AB=2,且二面角A-BD-C为60°,求AD与平面BCD所成角的正弦值.

4.如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC是等边三角形,D是AC的中点,P A=PC,二面角P-AC-B的大小为60°.

(1)求证:平面PBD⊥平面P AC;

(2)求AB与平面P AC所成角的正弦值.

5.如图,四边形ABCD为平行四边形,AB=5,AD=4,BD=3,将△BCD沿着BD翻折到平面BC1D 处(不与平面ABCD重合),E,F分别为对边AB,C1D的中点.

(1)求证:EF⊥BD;

(2)若异面直线EF,BC1所成的角为30°,求二面角C1-AB-D的平面角的正切值.

6.(2017浙江台州实验中学模拟)如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.

(1)求证:AD⊥BM;

(2)点E是线段DB上的一动点,当二面角E-AM-D大小为时,试确定点E的位置.

参考答案

题型专项训练7立体几何(解答题专项)

1.(1)证明如图,设O为底面三角形的中心,

∵A1O⊥底面ABC,∴A1O⊥BC,

∵△ABC为正三角形,

连接AO交BC于点D,则AD⊥BC,

又AD∩A1O=O,∴BC⊥平面A1AD,

则AA1⊥BC.

(2)解取B1C1的中点D1,连接A1D1,DD1,

由(1)知,BC⊥平面ADD1A1,

∴平面ADD1A1⊥平面BB1C1C,且平面ADD1A1∩平面BB1C1C=DD1, 过点A1作A1H⊥DD1,垂足为H,连接BH,

则∠A1BH为直线A1B与平面BCC1B1所成角.

设A1A=AB=2a,可得A1O=a,

由AD·A1O=AA1·A1H,得A1H=a.

在Rt△A1HB中,sin ∠A1BH=.

∴直线A1B与平面BCC1B1所成角为45°.

2.(1)证明连接BD交OC于点N,连接MN,OB.

因为O为AD的中点,AD=2,

所以OA=OD=1=BC.

又因为AD∥BC,

所以四边形OBCD为平行四边形,

所以N为BD的中点,

因为M为PB的中点,所以MN∥PD.

又因为MN⊂平面OCM,PD⊄平面OCM,

所以PD∥平面OCM.

(2)解由四边形OBCD为平行四边形,知OB=CD=1,

所以△AOB为等边三角形,所以∠A=60°,

所以BD=,即AB2+BD2=AD2,即AB⊥BD.

因为DP⊥平面ABP,所以AB⊥PD.

又因为BD∩PD=D,所以AB⊥平面BDP,

所以∠APB为AP与平面PBD所成的角,即∠APB=60°,

所以PB=.

3.(1)证明如图,取BD的中点F,连接EF,AF,

∵E为BC的中点,F为BD的中点,∴FE∥DC.

又BD⊥DC,∴BD⊥FE.

∵AB=AD,∴BD⊥AF,

又AF∩FE=F,AF,FE⊂平面AFE,

∴BD⊥平面AFE,AE⊂平面AFE,

∴AE⊥BD.

(2)解由(1)知BD⊥AF,

∴∠AFE即为二面角A-BD-C的平面角.

∴∠AFE=60°.∵AB=AD,DB=AB=2,

∴△ABD为等腰直角三角形,故AF=BD=1,

又FE=DC=,

∴AE2=AF2+FE2-2AF·FE·cos ∠AFE=1+-2×1××cos 60°=,

即AE=,∴AE2+FE2=1=AF2,∴AE⊥FE,

又由(1)知BD⊥AE,且BD∩FE=F,

BD⊂平面BDC,FE⊂平面BDC,

∴AE⊥平面BDC,

∴∠ADE就是AD与平面BCD所成角.

在Rt△AED中,AE=,AD=,

∴AD与平面BCD所成角的正弦值sin∠ADE=.

4.(1)证明由⇒AC⊥平面PBD,

又AC⊂平面P AC,所以平面P AC⊥平面PBD,

即平面PBD⊥平面P AC.

(2)解∠PDB就是P-AC-B的平面角,得∠PDB=60°.

作BO⊥PD于点O,连接AO,则AC⊥BO,又AC∩PD=D,∴BO⊥平面P AC,∴∠BAO 就是直线AB与平面P AC所成的角.

令AB=2a,则BD=a,BO=BD=a,

∴sin∠BAO=.

5.(1)证明连接CC1,并取CC1的中点M,连接FM,BM.

因为F为C1D的中点,所以FM∥DC且FM=DC.

因为四边形ABCD为平行四边形,所以DC AB.

又E为AB的中点,所以FM EB,即四边形FMBE为平行四边形.

所以EF∥MB.

因为AB=5,AD=4,BD=3,即AD2+BD2=AB2,