2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：1.2.2充要条件

§1.2 充分条件与必要条件
第二课时 充要条件
填一填
1.充要条件的定义．一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q .此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．
概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．
2．判断p 是q 的什么条件，结果只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．
(一)从逻辑关系上看，
(1)若p ⇒q ，但q ⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若p ⇒q ，但q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (3)若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；
(4)若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
(二)从集合的观点看，设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q } (1)若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若B A ，则p 是q 的必要不充分条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；
(4)若A ⊆B ，且B ⊆A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
判一判
1.“b ＝0”是“二次函数)
解析：当b ＝0时，f (x )＝ax 2＋c 是偶函数；当二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数时，对称轴x ＝－
b
2a
＝0，得b ＝0.故是充要条件．
2．“x ＞0，y ＞0”是“xy ＞0”的充要条件．(×)
解析：x ＞0，y ＞0⇒xy ＞0，但由xy ＞0得x 、y 同正或者同负，即xy ＞0⇒x ＞0，y ＞0，所以前者是后者的充分不必要条件．故错误．
3．“a ＞b ”是“q ：a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．(√) 解析：由不等式的加法法则知正确． 4.⎩⎪⎨⎪⎧ x 1>3，x 2>3是⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2>6，x 1x 2>9的必要不充分条件．(×) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 1>3，x 2>3及不等式的性质，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2>6，x 1x 2>9成立．但由⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2>6，x 1x 2>9⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1>3，
x 2
>3.如x 1＝1，x 2＝10满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2>6，x 1x 2>9，但不满足⎩⎪⎨⎪⎧
x 1>3，
x 2>3，
故应为充分不必要条件．故错误．
5．已知直线a ，b ，平面α，β，且a ⊥α，b ⊂β，则“a ⊥b ”是“α∥β”的充分不必要条件．(×)
解析：a ⊥α，若α∥β，则 a ⊥β.又b ⊂β，所以a ⊥b 成立．而a ⊥b ，显然不能推出α∥β，所以“a ⊥b ”是“α∥β”的必要不充分条件．故错误．
6．“a ＝3”是“直线ax ＋3y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分而不必要条件．(×) 解析：若a ＝3，则ax ＋3y ＝0即为x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，反之若ax ＋3y ＝0与x ＋y ＝1平行，则－a
3
＝－1，a ＝3，所以“a ＝3”是“直线ax ＋3y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件，故错误．
7．“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件．(√)
解析：∵y ＝2x 在R 上是增函数，∴a >b ⇔2a >2b .
8．“a ＝b ”是“lg a ＝lg b ”的充分不必要条件．(×)
解析：当a ＝b ≤0时，lg a ，lg b 无意义，∴a ＝b lg a ＝lg b ，故错误.
想一想
1.符号“⇔提示：“⇔”表示“等价”．如“A 与B 等价”指的是“如果A ，那么B ”，同时有“如果B ，那么A ”，或者说“从A 推出B ”，同时可“从B 推出A ”．
2．p 的充要条件是q 与p 是q 的充要条件一样么？
提示：从充要性来说一样，但“p 的充要条件是q ”的充分性是q ⇒p ，而“p 是q 的充要条件”的充分性是p ⇒q .
3．充分条件、必要条件的判断方法有哪些？
提示：(1)定义法：由充分条件、必要条件的概念进行判断，即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假，亦同命题真假的判定方法．
(2)等价转化法：利用p ⇒q 与綈q ⇒綈p ，q ⇒p 与綈p ⇒綈q ，p ⇔q 与綈q ⇔綈p 的等价关系．
(3)集合法：即判断满足条件的对象构成的集合与满足结论的对象构成的集合之间的关系．当所要研究的p ，q 含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系，利用Venn 图或数轴解题．
(4)特殊值法：对于选择题，可以取特殊值来验证充分性或必要性不成立，但这种方法不适用于证明题．
思考感悟：
练一练
1．{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n ＋1＋a 2n <0”的( ) A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：a 2n －1＋a 2n <0⇔a 1(q 2n －2＋q 2n －1)<0⇔q 2(n －
1)(q ＋1)<0⇔q ∈(－∞，－1)，故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.
答案：C
2．“lg x >lg y ”是“10x >10y >1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：lg x >lg y ⇒x >y >0⇒10x >10y >1，充分性成立；10x >10y >1⇒x >y >0⇒lg x >lg y ，必要性成立，则“lg x >lg y ”是“10x >10y >1”的充要条件．故选C.
答案：C
3．四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是________． (1)a >b ＋1 (2)a >b －1 (3)a 2>b 2 (4)a 3>b 3
解析：(1)a >b ＋1能够推出a >b ，a >b 不能推出a >b ＋1，是； (2)a >b －1不能够推出a >b ，不是； (3)a 2>b 2不能够推出a >b ，不是；
(4)a 3>b 3能够推出a >b ，a >b 也能推出a 3>b 3，不是． 答案：(1)
4．下列三个结论中，正确的是________(写出所有正确结论的序号)． ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；
②“⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0Δ＝
b 2
－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．
解析：知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误．故填①②. 答案：①②
知识点一 充要条件的判断
1.已知集合A ＝
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ，所以a ＝3⇒A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆B ⇒ a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．
答案：A
2．“cos α＝－32”是“α＝2k π＋5π
6
，k ∈Z ”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当α＝2k π＋5π6，k ∈Z 时，cos α＝－32；反过来，若cos α＝－32，则α＝2k π＋5π
6
或α＝2k π
＋7π6，k ∈Z .所以“cos α＝－32”是“α＝2k π＋5π
6，k ∈Z ”的必要不充分条件． 答案：A
3．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
解析：由题可知，若a 1<a 2<a 3，即⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1<a 1q ，a 1q <a 1
q 2，当a 1>0时，解得q >1，此时数列{a n }是递增数列，当a 1<0时，解得0<q <1，此时数列{a n }是递增数列；反之，若数列{a n }是递增数列，则a 1<a 2<a 3成立，所以“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充要条件．
答案：C
知识点二 充要条件的探求与证明
4.“a ＝－1A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由两直线平行，可得⎩
⎪⎨⎪⎧
a (a －2)＝3×1，
a ×1≠3×1，解得a ＝－1；当a ＝－1时，两直线的方程分别为x
－3y －3＝0和x －3y ＋1＝0，可知两直线平行．故“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0与直线x ＋(a －2)y
＋1＝0平行”的充要条件．
答案：C
5．函数f (x )＝(a ＋1)tan 2x ＋3sin x ＋a 2－3a －4为奇函数的充要条件是( ) A ．a ＝4 B ．a ＝－1
C ．a ＝4或a ＝－1
D ．a ∈R
解析：函数f (x )的定义域为A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ≠π2＋k π，k ∈Z ，该定义域关于原点对称． ∵f (x )为奇函数且0∈A ，
∴f (0)＝0，即a 2－3a －4＝0， ∴a ＝4或a ＝－1，
当a ＝－1时，易证f (x )＝3sin x (x ∈A )是奇函数； 当a ＝4时，f (x )＝5tan 2x ＋3sin x (x ∈A )，
这时f ⎝⎛⎭⎫－π4＝5－322，f ⎝⎛⎭⎫π4＝5＋322， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π4≠f ⎝⎛⎭⎫π4，f ⎝⎛⎭⎫－π4≠－f ⎝⎛⎭
⎫π4. ∴f (x )＝5tan 2x ＋3sin x (x ∈A )既不是奇函数也不是偶函数，不合题意， ∴a ＝4舍去．故选B. 答案：B
6．“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是________．
解析：函数y ＝x 2－2x －a 没有零点⇔Δ＝(－2)2－4×1×(－a )<0⇔a <－1. 答案：a <－1
7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
12<2x <8，B ＝{x |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．
解析：易知集合A ＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A 是B 的真子集，∴m ＋1>3，∴m >2.
答案：(2，＋∞)
8．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1
y
的充要条件是xy >0.
证明：(1)必要性：由1x <1
y
，
得1x －1
y <0，即y －x xy
<0， 又由x >y ，得y －x <0，所以xy >0.
(2)充分性：由xy >0，及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1
y
.
综上所述，1x <1
y
的充要条件是xy >0.
基础达标
一、选择题
1. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：“若p 则q ”真而逆命题假，即p ⇒q ，q ⇒p ，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A. 答案：A
2．设x ∈R ，则x >2的一个必要不充分条件是( ) A ．x >1 B ．x <1 C ．x >3 D ．x <3
解析：由x >2可推出选项，而由选项推不出x >2.故选A. 答案：A 3．如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：∵D ⇒C ⇔B ⇒A ，但A ⇒D ，∴Α是D 的必要不充分条件．故选A. 答案：A
4．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( ) A ．充分条件但非必要条件 B ．必要条件但非充分条件 C ．充分必要条件
D ．非充分条件，也非必要条件
解析：由已知M ∩P ＝{x |2<x <3}，所以x ∈M ∩P ⇒x ∈M 或x ∈P ，反之不成立，故选B. 答案：B
5．不等式2x 2－5x －3<0的一个必要不充分条件是( )
A ．－12<x <3
B ．－1
2
<x <0
C ．－3<x <1
2
D ．－1<x <6
解析：2x 2－5x －3＜0的充要条件为－1
2
＜x ＜3
对于A ，是2x 2－5x －3＜0的充要条件；
对于B ，是2x 2－5x －3＜0的充分不必要条件；
对于C ，是2x 2－5x －3＜0的既不充分也不必要条件； 对于D ，是2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件． 故选D. 答案：D
6. 设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别
为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1
c 2
”是“M ＝N ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：通过特例说明．例如a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2分别为1，－2，－3，－1,2,3满足a 1a 2＝b 1b 2＝c 1
c 2
，但
是M ≠N ，当a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2，分别为1，－1,1,1,1,1时M ＝N ＝R 但是a 1a 2＝b 1b 2＝c 1
c 2
不成立．故选
D.
答案：D 7．已知条件M ：“△ABC ∽△A ′B ′C ′”；条件N ：“AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′”，则M 是N 的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：两三角形对应边分别平行，这两个三角形相似，但两个三角形相似，对应边不一定平行，故
选B.
答案：B 二、填空题
8．“x ≥0”是“x 2≤x ”的________条件．
解析：因为x 2≤x 即0≤x ≤1，所以x ≥0⇒0≤x ≤1，但0≤x ≤1⇒x ≥0，所以“x ≥0”是“x 2≤x ”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
9．设A ，B 是非空集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的________条件．
解析：因为A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ⇒A ＝B ，反之，A ＝B ⇒A ∩B ＝A ，故“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
10．“x ∈A ∩B ”是“x ∈A ”的________条件；“x ∈A ∪B ”是“x ∈B ”的________条件 答案：充分不必要 必要不充分
11．“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________条件．
解析：因为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，所以Δ＝b 2－4ac ≥0，ac <0不一定成立；但ac <0时，Δ＝b 2－4ac ≥0一定成立，所以“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
12．已知a ，b ∈R ，则“ab ＝0”是“a 2＋b 2＝0”的________条件． 解析：当a ＝1，b ＝0时，ab ＝0，此时a 2＋b 2≠0，可知充分性不成立；
当a 2＋b 2＝0时，由a 2≥0，b 2≥0可知a ＝b ＝0，则ab ＝0，可知必要性成立； 则“ab ＝0”是“a 2＋b 2＝0”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 三、解答题
13．已知ab ≠0，求证：“a ＋b ＝1”的充要条件是“a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0”． 解析：先证必要性：∵a ＋b ＝1，b ＝1－a .
∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0，∴必要性成立．
再证充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， 即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.
又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，从而a 2－ab ＋b 2≠0， ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.∴充分性成立． 故原命题成立．
14．求方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件．
解析：方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
1a <0
4－4a ≥0或⎩
⎨⎧
1
a >0－2a
<04－4a ≥0，解得
a ≤1.
能力提升
15.关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝ 解析：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， 所以a ＋b ＋c ＝0，
即关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0，证明如下： ①充分性：
因为a ＋b ＋c ＝0，
所以a ×12＋b ×1＋c ＝0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
②必要性：
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以a×12＋b×1＋c＝0，
所以a＋b＋c＝0.
16．已知a，b，c是△ABC的三条边，证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
解析：(1)充分性(a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc⇒△ABC为等边三角形)：
∵a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，
∴2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，
∴(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，
∴a＝b，a＝c，b＝c，∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
(2)必要性(△ABC为等边三角形⇒a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)：
∵a＝b＝c，∴a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，
∴a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
综上，所证结论成立．。