初升高自招之一元整式方程,分式方程,无理方程与不定方程

1、一元整式方程
2、分式方程
3、无理方程 不定方程
一、一元整式方程的解法 1、基本公式
（1）关于x 的一次方程()00ax b a +=≠的解为b x a
=-
（2）关于x 的二次方程()2
00ax bx c a ++=≠
的解为x =
（3）()()()()1122n n f x a x b a x b a x b =++⋅⋅⋅+，则方程()0f x =的解为1
11
b x a =-
，…，n
n n
b x a =-
（4）韦达定理：已知()2
00ax bx c a ++=≠，则12b x x a +=-，12c x x a
⋅=
二、在解高次方程，分式和无理方程时，常常会用到换元法
三、不定方程
形如4x y +=，3x y z ++=，
11
1x y
+=的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程，这些方程的解释不确定的，通常研究：
（1）不定方程是否有解？
（2）不定方程有多少个解？
（3）求不定方程的整数解或正整数解
对于二元一次不定方程问题，有以下两个定理：
对于高次不定方程，求出其通解然后再讨论有时是不现实的，因为我们甚至还没有找到判别一个高次不定方程是否有解的统一方法，当然要求出通解就更难了．或许正是因为没有统一的方法来处理高次不定方程，对具体的问题往往有许多方法来处理，并且每一种方法都表现出一定的创造性，所以，高次不定方程的问题频繁在数学竞赛中出现．当然，结合整除与同余的一些理论，求解高次不定方程也有一些常见的处理思路和解决办法．
一、因式分解法
将方程的一边变为常数，而含字母的一边可以进行因式分解，这样对常数进行素因数分解后，对比方程两边，考察各因式的每种取值情况就可将不定方程变为若干个方程组去求解．这就是因式分解法处理不定方程的基本思路．
例1、求方程()101xy x y －＋＝的整数解．
二、配方法
配方是代数变形中的常见方法，在处理不定方程的问题时还可综合利用完全平方数的特性，因此配方法在求解不定方程时大有用武之地． 例2、求不定方程2
2
34335x xy y －＋＝的全部整数解．
三、不等式估计
利用不等式的知识，先确定不定方程中的某个字母的范围，然后逐个枚举得到所有解，这个方法称为不等式估计，它也是我们处理不定方程的常见方法．当然，如果能够恰当地利用字母的对称性等，那么作不等式估计时会简洁很多． 例3、求不定方程3
361x y xy －＝＋的正整数解．
四、同余方法
若不定方程()120n F x x x ，，…，＝有整数解，则对任意的*
m N ∈，其整数解（1x ，
2x ，…，n x ）均满足
()()120mod n F x x x m ≡，，…，． 运用这一条件，同余可以作为不定方程是否有整数解的一块试金石． 例4、证明：不定方程2
2
3
86x y z ＋－＝没有整数解．
五、构造法
有些不定方程的问题只需证明该方程有解或有无穷多个解，这时经常采用构造法来处理．
例5、证明：方程253
x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．
变式练习：
1. 解下列方程
（1）()()()()234544x x x x ++--=
（2）()2
44626x x +-=
三、一元高次方程
例1、解方程：3
2
2480x x x --+=
例2、解方程()()()2
673416x x x +++=
例3、()()44
3182x x +++=
例4、解方程组：
222
444020560x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩
变式练习： 2.解下列高次方程
()()
44
132720x x +++-= 43223320x x x x +-++=
四、分式方程
例1、解方程
2
2
47272
180 14
x x x
x x x
+-
+-= -+
例2、
4578
5689 x x x x
x x x x
----
-=-
----
例3、
22
22
12
12 x x x x
x x x x
++-+
=
--+-
五、无理方程
=-
例13
变式练习：
1. 解下列方程
（1）21830x x ++=（2）
0=
六、不定方程
例2、求方程63823x y +=-的整数解.
2、多元一次不定方程（组）的整数解
多元一次不定方程的整数解问题可转化为二院一次不定方程来求解 例3、求方程12836100x y z ++=的所有整数解
变式练习：
3、—个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21,则小明摸出的球中红球个数最多为几个？
1、【2011年华二】已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22
12
4x x +=，则实数a =
2、【2011年华二】关于x 、y
的方程组1
x y x y
x y
-+⎧=⎪⎨=⎪⎩有 组解
3、【2012年华二】方程22222x y z w u +++=共有 组整数解
4、【2013年复附】已知22
1766
xy x y x y xy ++=⎧⎨+=⎩，求432234
x x y x y xy y ++++的值；
5、【2013年上中】13. 解方程组2222221()2()3()
x y z y z x z x y ⎧=+-⎪
=+-⎨⎪=+-⎩
6、【2014年复附】方程2354235
x x x x +=----的根为 ．
7、【2014年华二】解关于x 的方程1
|2|32
x a --=.
8、【2016年交附】解方程：22321x x -+=.
9、若实数x ，y ，z ，满足14x y +=，11y z +=，17
3
z x +=，求xyz 的值．
10、已知2a ≥x =的所有实根之和．
11、解方程()()()()214719x x x x -+++=
11、求方程2
4
3
2
x x y y y y =＋＋＋＋的整数解． 答案：
求方程2
4
3
2
x x y y y y ＋＝＋＋＋的整数解．
解：同上例，对方程两边同乘以4，并对左边进行配方，得
()()
24322141x y y y y ＋＝＋＋＋＋． ① 下面对①式右端进行估计．由于
()43241y y y y ＋＋＋＋
()222212y y y y ＝＋＋－＋
()2222341y y y y ＝＋＋＋＋，
从而，当y ＞2或y ＜－1时，有
()()()22
22222121y y x y y ＋＜＋＜＋＋． 由于22y y ＋与22y y ＋＋1是两个连续的整数，它们的平方之间不会含有完全平方数，故上式不成立．
因此只需考虑当－1≤y ≤2时方程的解，这是平凡的，容易得到原方程的全部整数解是
（x ，y ）＝（0，－1），（－1，－1），（0，0）（－1，0），（－6，2），（5，
2）．
例5 解方程
(x －2)(x ＋1)(x ＋4)(x ＋7)＝19．
基本思路 利用对等性，配对相乘(x －2)(x ＋7)，(x ＋1)(x ＋4)，整体代换y ＝x 2＋5x
－5，转化为y 2＝100．
解 两两相乘，考虑整体代换．
[(x －2)(x ＋7)][(x ＋1)(x ＋4)]＝19，
(x 2＋5x －14)(x 2＋5x ＋4)＝19．
令222(514)(54)552
x x x x y x x +-++==+-，则有 (y －9)(y ＋9)＝19，
即 y 2－81＝19，
解得 y 1,2＝±10．
当y ＝10时，x 2＋5x －5＝10，解得1,2x =
；
当y＝10时，x2＋5x－5＝－10
，解得
3,4
x=；
若实数x，y，z满足x＋1
y
＝4，y＋
1
z
＝1，z＋
1
x
＝
7
3
，求xyz的值．
基本思路题中有三个元x，y，z，可先化为关于一个元如x的关系式，进而转化为x 的一元二次方程．
解因为4＝x＋1
y
＝x＋
1
1
1
z
-
＝x＋
1
z
z-
．
＝x＋
71
3
71
1
3
x
x
-
--
＝x＋
73
43
x
x
-
-
，
则有 4(4x－3)＝x(4x－3)＋7x－3，即 (2x－3)2＝0，
得x＝3
2
．
所以z＝71
3x
-＝
5
3
，y＝
1
1
z
-＝
2
5
．
于是xyz＝1．
思考如果x＋1
y
＝y＋
1
z
＝z＋
1
x
，x，y，z是实数，问xyz的值是多少？
1、已知a≥2
x的所有实根之和．
基本思路引入另一个元y
，以x，y形式构成等式y2－x－y＝x2，简化为x
＋y＝0或x－y＝－1．然后，求解方程x＋1
．
解由题得x≥0，又a≥2，则a＋x＞0，a
，且a
＝x2．
y，则a≥y＞0，且a－y＝x2．
又y2＝a＋x，于是
y2－x－y＝x2，
得－(x＋y)＝(x－y)(x＋y)．
而x ＋y ＞0，所以x －y ＝－1，即x ＝－1，整理得
x ＋1，
两边平方得 x 2＋x ＋1－a ＝0．
解得 x 1，2．
又x ≥0，所以满足要求的实数根为x
故原方程的实根之和为x
例13 证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．
证明 取15102k x ＋＝，642k y ＋＝，1072k z ＋＝，k 为非负整数，则这样的x 、y 、z 满足 253x y z ＋＝，所以方程有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．
另证 先求方程的一组特解，易知x ＝10，y ＝3，z ＝7 是方程253
x y z ＋＝的一组解．因而1510k x a ＝，63k y a ＝，107k z a ＝（a ，k 为非负整数）是方程的解．
例10 证明：不定方程
223
86x y z ＋－＝ ① 没有整数解．
证明 若（x ，y ，z ）是方程①的整数解，对①的两边模2，可知x 、y 同奇偶；再对①两边模4可知x 、y 都为奇数，于是()221mod8x y ≡≡，这要求 6()223
82mod8x y z ≡＝＋－， 矛盾．故方程①没有整数解．
说明 利用同余方法解不定方程问题时，选择恰当的数作为模是十分重要的，它不仅涉及问题解决的繁简程度，重要的是能否卡住字母的范围或导出矛盾．
例7 求不定方程33
61x y xy －＝＋的正整数解．
解：设（x ，y ）为方程的正整数解，则x ＞y ．设x ＝y ＋d ，则d 为正整数，且 ()()3
361y d y y d y ＋＋＝＋－
223
33dy yd d ＝＋＋，
即有 ()()23313161d y d d y d －＋－＋＝．
故 361d ＜，
于是 3d ≤．
分别令1d ＝、2、3代入，得 2
22161y y ＋＋
＝， 2510861y y ＋
＋＝， 28242761y y ＋＋＝．
只有第一个方程有整数解，并由y 为正整数知y ＝5，进而x ＝6．
所以，原方程只有一组正整数解（x ，y ）＝（6，5）．
例4 求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解．
解：对方程两边都乘以3，配方后即得
()22325105x y y －＋＝． ① 由①式得 2
5105y ≤，
所以 4y ≤． 当4y ＝时，325x y －＝，此时原方程的解为
（x ，y ）＝（1，4），（―1，―4）． 当1y ＝时，3210x y －＝，此时原方程的解为
（x ，y ）＝（4，1），（―4，―1）． 当023y ＝，，时，()232x y －分别为105，85，60 ．此时，所得的方程组显然无整数解．
上面的讨论表明，原方程有4组解：
（x ，y ）＝（4，1），（1，4），（―4，―1），（―1，―4）． 例1 求方程
()101xy x y －＋＝ ①
的整数解．
解：利用十字相乘，可将①变形为
()()1010101x y －－＝
而101为素数，故
()1010x y －，－＝（1，101），（101，1），（－1，－101），（－101，－1）．
分别求解，得方程的整数解为
()x y ，＝（11，111），（
111，11），（9，－91），（－91，9）．。