2020中考数学几何压轴题汇编：三角形与平行四边形(含答案)

2020中考数学几何压轴题汇编：三角形与平行四边形(含答案)
1.如图，设E、F分别为正方形ABCD边BC、CD上的点，且/
EAF= 45° ,过E、F分别作AC的垂线，垂足分别为P、Q.
(1)试找出图中相似三角形(至少3对，全等除外)；
(2)求证：AB2 = APAQ；
(3)设正方形的边长为4,当P、Q重合时，求BE的长.
第1题图
(1)解：图中相似三角形有：△ABC S£QF,在PC"ZADC,笈PE s/CQF, 8QFsADC, 3BE SZ AQF, z2APE^ZADF 等(写出任意3 对，即可得分).
(2)证明：・. /BAE+ /EAP= /EAP+ /QAF = 45 ,
・•.zBAE= /QAF.
在小BE与9QF中，
/BAE= /QAF
/B=/AQF = 90 ,
••Z ABE S/AQF,
AB AE . AQ —AF'
同理，在^AEP与办FD中，
ZEAP= ZFAD
ZEPA=ZD = 90 '
.•.去EPs 也FD.
AP AE , AD-AF?
AB AP
A Q—AD'
•AB = AD,
.AB2 = AP AQ.
(3)解：如解图，当P、Q重合时,
,.zEPC=ZFQC=90 ,
：E、P、F在同一直线上.
••Z ECP=ZFCQ=45,
「.EP= FQ,
在小EP和*FP中，
AP = AQ
小PE=/AQF,
EP= FQ
. • AEP^AFP(SAS),
1 /.Z EAP=-X45 =22.5 ,
•.Z BAE=45 -£AP=22.5 ,
•••Z AEBSEP(AAS),.EB= EP, AB = AP=4, 丁四边形ABCD为正方形，•.Z ACB=45 ,AC = 4 也X.Ep= PC,
.BE= PC= AC-AP=4A/2-4.
--------- 同
w
B E C第1题解图
2.已知：在^ABC中，/ABC=/ACB= a,点D是AB边上任意一点，将射
线DC绕点D逆时针旋转a与过点A且平行于BC 边的直线交于点
E.
(1)如图①，当尸60。

时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系；
(2)如图②，当「45。

时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；
⑶如图③，当a为任意锐角时，依题意补全图形，判断线段BD 与AE之间的数量关系，并进行证明.（用含a的式子表示，其中00 <
90 )
第2题图
解：(1)BD = AE;
【解法提示】如解图①，连接EC,当片600时，ABC、^DCE 均为等边三角形，
・•.EC= DC, AC=BC, /ACB=/DCE=60 ,
*CB— /ACD= /DCE— /ACD,
即/BCD=/ACE,
在^BCD和小ACE中，
CD = EC
ZBCD = ZACE, BC= AC
「•2BCD 二公CE(SAS)
•BD = AE;
出、7匕第2题解图①
(2)BD = 3AE;
证明：如解图②，过点D作DF//AC,交BC于点F.
3 卞―I.第2题解图②
.DF//AC,
• .zACB=/DFB,
•.*BC=/ACB= a, a= 45
*BC= /ACB= /DFB= 45
・•.RFB是等腰直角三角形，
・•.BD=DF=小BF. 2
.AE//BC,
：*BC+/BAE=180
.・zDFB+/DFC=180
••zBAE=/DFC,
・ •."BC+/BCD=/ADC, /CDE+/ADE = /ADC, /ABC=/ CDE= a,
・ .zADE = /BCD,
・ .Z ADE S /FCD,
AE AD
= . DF CF
・DF//AC, BD AD BF - CF'
・ BD=DF= 2AE;
(3)补全图形如解图③，BD = 2cos a AE . 第2题解图③
证明：连接EC,设AC 与DE 交于点O,
・ AE//BC, /EAC= /ACB= a,
XvzEDC= a, •.zEAC=/EDC= a,
AE BD
DF - BF -
2 '
.,*OE=/DOC,
・••zAOEs/DOC,
AO OE
. D。

—OC'
.zAOD =/EOC,
・••zAODs/EOC,
=/2,
又.•2=180 f— /3（A、D、B 三点共线），
/4=180° —a一/3（三角形内角和为180°）,
/ = /4 ,
「• z2 = Z1 = /4.
又. ZEAC=ZABC= a,
・••Z BDC S/AEC,
BD BC
. AE —AC'
BC
又二=2COS a, AC
. BD = 2 cos aAE.
3.在加BC中，点D在直线AB上，在直线BC上取一点E,连
接AE, DE,使得AE=DE, DE交AC于点G,过点D作DF //AC,交直线BC 于点F, /EAC= /DEF.
(1)如图①，当点E在BC的延长线上，求证：/ EGC= /AEC;
(2)如图①，当点E在BC的延长线上，D为AB的中点，若DF =3,求BE的长度；
(3)当点E在BC上，点D在AB的延长线上时，如图②所示，若CE= 10, 5EG= 2DE,求AG 的长度.
第3题图
(1)证明：.「DF//AC, ,zDFE= /ACE.
在小CE和在FD中，
ZEAC= /DEF ZACE= /EFD, AE=ED
, zACE^£FD(AAS), ..*EC=/EDF.
•.DF//AC,
•.zEGC= /EDF,
•.zEGC= /AEC;
(2)B： VDF//AC,
•5DF S /B A C,
BF DF BD BC - A L BA
•.D 为AB 的中点,
・ •.BF=CF, AC = 2DF=6, 由(1)可知八ACE ^启FD ,
・ AC=EF=6, CE=FD=3.
・ •.BF=FC=EF— CE=3,
・ •.BE=BF+FE=9;
(3)解：•. DF//AC,
「.*CE = /EFD .
在从CE 和在FD 中，
/EAC = /DEF ZACE = /EFD , AE =ED
・ ・•/ACE 二庭FD (AAS),
・ •.CE=FD=10, AC =EF .
・ ・DF//AC,
.REFS 得EC
BD 1 BA -2 1 ・•.BF =-BC 1
DF = —AC .
EF DF DE
= = ■
EC GC GE
.•.5EG=2DE, CE=FD=10,
• .EF= 25, GC=4,
.AG = AC-GC=EF- GC= 25-4=21.
4.(1)如图①，在^ABC 中，/A = 90° , B=30° ,,加，E分别
在AB, BC上，且/CDE=90 ,EF，AB 于点F, BE= 2AD, 求证：
DE=CD;
(2)如图②，在9BC中，/BAC = 90° AB = AC,点D在BC上, 连接AD, E为AD上一点，过点E作BC的平行线分别交AB, AC 于点F, G,连接BE, CE,若/BEC= 135° ,求证：zBFEi^圣GC；
(3)在(2)的条件下，若BD = 2DC,求BE的值.
CE
第4题图
(1)证明：由题意可得，/ BFE= /DFE= 90 =A=/CDE,
・zADC + /EDF= /FED+ /EDF= 180 -90 =90 ,
•二*DC =/FED.
v zBFE= 90 , B=30
•.BE= 2FE
..BE= 2AD,
•F E= AD,
在AFED和「ADC中，
ZFED= /ADC
FE= AD ,
ZDFE= /CAD
.・本ED仁ADC(ASA),
••.DE= CD;
(2)证明：.AB M AC, /BAC = 90 , ..筌BC=/ACB = 45 ,
•.FG//BC,
「•空FG = /ABC = ZACB = /AGF= 45 ••. zBFE= /EGC= 135 =启EC,
. AF = AG, BF=GC,
「zGEC+ /BEC= /GEB= /BFE+ /FBE, ••. zFBE= /GEC,
.•.玉FK <GC;
(3)解：由(2)知，z^BFE^zEGC,
BE BF FE
CE EG GC
・FG//BC,
• .zAFEsZABD,以EG S/A DC,
FE AE AE EG BD —AD' AD~DC'
FE EG
BD-DC
..BD = 2DC,
••FE= 2EG,
BF FE
又•.=
BF= GC,
EG GC
BF 2EG
EG- BF
BF
•
EG
BE BF • CE EG
5.在矩形ABCD中，AD = 4, M是AD的中点，点E是线段AB
上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.
(1)如图①，求证：^AEM二8FM;
(2)如图②，若AB=2,过点M作MGLEF交线段BC于点G,
求证：4GEF是等腰直角三角形；
(3)如图③，若AB = 2A/3,过点M作MGLEF交线段BC的延
长线于点G,求M—的值.
ME
(1)证明••.ABCD是矩形，
•.zEAM = /FDM =90 ,
.M是AD的中点，「AM = DM ,
5=/FDB
在AAME 和加MF 中，AM =DM , &ME = /DMF •.zAME 二8MF(ASA);
(2)证明：过点G作GH^AD于H,如解图①,
•.zA=/B=/AHG = 90 ,
「•四边形ABGH是矩形.
•.GH = AB=2,
.「M是AD的中点，
1
・AM =2AD = 2, 「•AM =GH,
,.MG±EF:, . .zGME = 90
. .*ME + /GMH =90 .
..筌ME + /AEM=90 ,
・ .zAEM = /GMH ,
AM =GH
在AAEM 和TMG 中，为AEM = /GMH ,
ZA=/AHG
・・•/AEMFMG ,
・•.ME = MG, •••/EGM = 45
由(1)得AAEM二8FM, 「ME M MF,
・MG^EF,「GE= GF,「• ZEGF= 2/EGM = 90 , . .GEF 是等腰直角三角形.
第5题解图①
(3)解：过点G作GH^AD交AD延长线于点H,如解图②,
•.zA=/B=/AHG = 90 ,
「•四边形ABGH是矩形，
•.GH=AB=2A/3,
.MGlEF:, . .zGME = 90 ,
• 二*ME + /GMH =90
..*ME + /AEM=90
..筌EM = /GMH ,
又「Z A M /GHM =90
• ••zAEMs/HMG ,
EM AM • MG GH 6.已知D 是AABC 的BC 边上的中点，DE^AB 于点E 、DF±AC 于点F,
且BE= CF,点M 、N 分别是AE 、DE 上的点，AN ± FM 于点G .
(1)如图①，当/BAC = 90°时；
①求证：四边形AEDF 是正方形；
②试问AN 与FM 之间的数量关系与四边形 AEDF 的两对角线的 数量关系相同吗？请证明你的结论；
(2)如图②，当AF : DF=2 ： 1时，求AN ： FM 的值.
在Rt 八GME 中,
「•tan /MEG = MG EM
第5题解图②
第6题图
(1)①证明：.. /BAC=90 , AED=ZAFD = 90 ,
•二四边形AEDF是矩形，
•.BD=DC, /DEB= /DFC=90 ,BE= CF,
. RtF ED军tzX FD(HL),
•.DE= DF,
矩形AEDF是正方形；
②解：AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两条对角线的数量关系相同；
理由：在正方形AEDF中，AF=AE,
又「AN^FM 于G, /AMF = /ANE,
小EN = /MAF = 90 ,
. RtM EN 组在仆AM(AAS),
•A N = FM,
又•••正方形AEDF的对角线相等，
「.AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两对角线的数量
第7题图关系相同;
(2)解：如解图，连接AD、EF,且AD与EF相交于点O,
设AF = 2k, DF = k,在RtM DF 中，AD=\I (2k) 2 + k2=yJ~5 k,
•.Rt任ED军tC D(HL),
•.zB=/C, DE=DF,
•A B = AC, AE=AF,
1
•••AD 垂直平分EF,则OF=£EF, DF^AC 于点F,
:X■\/5kOF=2kk1, ■OF=2^5k,
2 2 5
4 5
•.EF=二k, 5
又「/NEM =/MGN =90 ,
/GME + /ENG=/DNG+/ENG= 180 , 4EO+/EAO=/
ADE+/EAD=180 ,
•.zEMF=/DNA, /AEO=/NDA,
..丕ME S/AND ,
AN AD 5
•-- --- -
■・ = = .
FM EF 4
第6题解图
7.已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE,过点B作BF
，AE于点G,交CD于点F.
第7题图
(1)如图①，连接AF,若AB = 4, BE= 1,求AF的长；
(2)如图②，连接BD,交AE于点N,连接AC,分别交BD、BF 于点O、M ,连接GO,求证：GO平分/AGF;
(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG,若CG±GO,求证：
AG=\5CG.
(1)解：.••四边形ABCD是正方形，
•.BC= CD = AD=AB = 4, /ABE= /C=/D = 90 ,
：*BG + /CBF=90 ,
,.BF±AE, ••〃ABG+/BAE=90 ,「BAE=/CBF,
ZC= /ABE
在ABCF和AABE 中，BC=AB ,
•.zBCFW ABE(ASA),
•.CF= BE= 1, .-.DF=CD-CF= 3,
•・ AF = \AD2 + DF2 = \42 + 32 = 5;
⑵证明：.. ACBD, BF±AE,
..筌OB =/AGB=/AGF= 90 ,
「A、B、G、O四点共圆，
..*GO = ZABO=45 ,
,Z FGO=90 -45 =45 = AGO,
. GO 平分/AGF;
⑶证明：连接EF,如解图所示：
.CGI GO, ••・zOGC=90 , v EGF= /BCD=90 •・zEGF+ /BCD=180 ,
「C、E、G、F四点共圆，
••.zEFC= /EGC= 180 -90 Y5 *5 ,
••.WEF是等腰直角三角形，
••.CE= CF,同(1)得：ABCF二ABE,
1
. CF= BE, .•.CE= BE= ~2 BC,
1
「OA = 2 AC= 2 BC= 2CE,
由(1)得：A、B、G、O四点共圆，
• .zBOG = /BAE,
.・ zGEC= 90 +EAE, /GOA = 90 +BOG,
•.gOA = /GEC,
XvzEGC= /AGO = 45 ,
・••zAOGszCEG,
AG OA
•
CG CE
. AG = / CG.
第7题解图
8.已知点E在MBC 内，zSABC= /EBD=鹏 ZACB= /EDB= 60 zAEB=
150 , £EC= 90 .
(1)如图①，当a= 60° ,求证：/ABE^CBD;
(2)在(1)的条件下，连接CD,若AE=1,试求BD的长；
BD
(3)如图②，当E= 90 时,
第8题图
(1)证明：如解图①，连接DC,
..*BC=/ACB = 60 ,
「•/ABC是等边三角形.
同理AEBD也是等边三角形，
. AB=BC, BE= BD, /ABE= 60 — EBC= /CBD,
AB=BC
在AABE与④BD 中，9BE= /CBD,
BE=BD
・•・zABE^CBD;
⑵证明：.「△ABE二QBD,
• AE=CD, /AEB= /CDB=150
・•・zEDC=150 —£DE=90
第9题图
/CED= /BEC — /BED= 90
.BD = ^/3AE=A /3;
(3)解：如解图②，连接DC,
.・筌BC=/EBD=90 , ACB=/EDB=60
・・•/ABC S /EBD,
AB BC AB EB
; ,即 = ,
EB BD BC BD
又.「4BE=90 -EBC= /CBD,
・•/ABE SZ CBD, /AEB= /CDB=150 , AE BE
CD~BD'
・•.zEDC= 150 -zBDE=90 , £ED=/BEC— /BED=90
— (90
— EDE)=60 ,
设 BD = x,则在 Rt 任BD 中，DE=2x, BE= /x,
在 RtZ EDC 中，CD=DE tan60 =243x,
CD BE 2A/3x^x
• AE= = =6x=6BD,
BD x
BD 1 即一="
AE 6 在 Rt ZEDC 中，CD
= tan30 ED :3 =3， AE _23
BD - 3 '
9.在锐角AABC 中，AB = 6, BC= 11, ZACB=30 ,将ABC 绕点B逆时
针旋转，得到△A i BC i.
(1)如图①，当点C i在线段CA的延长线上时，/ CC i A i =
O
* ,
(2)如图②，连接AA i, CC i.若母BA i的面积为24,求ACBC i 的面积；
(3)如图③，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B逆时针旋转过程中，点P的对应点是P i,求在旋转过程中，线段EP i 长度的最大值与最小值的差.
图①图② 图③第9题图
(i)解：60;
【解法提示】由旋转得：/ A i C i B=/C=30° ,BC= BC i, ・・a=/BCiC=30
•.CC i A i=60 .
(2)解：.&BC 二公1BC1,
•.BA=BA i, BC= BC i, /ABC=MBC,
BA BA i
•• 、
BC BC i
.zABA i = /CBC i,
•.zABA isz CBC i,
S AABA i AB 26 £36
一(BC) —(11) — 121，
S /\B C1
•.SZABA1=24,
242
.S8BC1=工-; 3
(3)解：如解图，过点B作BD^AC, D为垂足，
• ABC为锐角三角形，
.••点D在线段AC上，
在RtZ BCD 中，BD=BC sin30 65,
以B为圆心，BD长为半径画圆交AB于点P1‘ BP1有最小值BP1’.
・•.EP的最小值为5.5 —3 = 2.5,
以B为圆心，BC长为半径画圆交AB的延长线于点P1〃，BP1有最大值BP1
此时EP i的最大值为11+3=14
「•线段EPi的最大值与最小值的差为14—2.5 = 11.5.
第9题解图
10.如图，在4ABC 中，/ABC=45 ,AD，BC 于点D, BEX AC 于点E,
BE与AD相交于F.过F作FG，BE,过A作AG，AB, AG与FG相交于G.
(1)如图①，若AC=5, DF=3,求AB的长；
(2)证明：48尸6是等腰直角三角形；
(3)如图②，当BD = 2CD时，连接CF并延长，分别交AB, BG
AH
I,求一的值.
第10题图
(1)解：在^ABD 中，/ABD = 45 ,AD ，BC, •.Z BAD = /ABD = 45 , •.BD = AD,
.BE ，AC 于 E,
..*EB=/BDA = 90 ,
..筌FE= /BFD,
.,4AE= /FBD,
在^BFD 和9CD 中，
ZFBD=/CAD
ZFDB=/CDA,
BD = AD • .zBFD 二ACD, •BF=AC=5,
(2)如解图，过F 作FP//BC 交AB 于点P,
在 RtZ BDF 中, 由勾股定理得BD^BF 2-DF 2
= \5" 在 Rt4ABD 中,
则/AFP=〃\DB = 90 ,
小PF=/ABD=45 ,
••/BAD = 45 ,
•.zFPA=/FAP,
PF=AF.
-zBFG=90 ,
..*FP=/BFG,
••• AFG+ ZGFP= ZGFP+ ZPFB,・•・*FG=/PFB,
设FG交AB于Q,
- X3AB=ZGFB=90 , AQG = ZFQB, ・•・*GQ = /FBQ,
在MFG和斗FB中，
“ FG=/PFB
小GF=/PBF,
AF=PF ・••AFGSFRAAS),
••GF= BF,
,BFXGF,
2BFG是等腰直角三角形；
(3)解：二•三角形的三条高交于一点，AD±BC, BE1AC, --CH1AB,
V ABD = 45 ,
••BH = CH.
-BD = 2CD,
设CD=m,则BC=3m,
3/
• .BH = CH= 2 m,
在RtZABD 中，BD = AD = 2m , . AB = 2^/2m ,
「3y2 y2
.AH=AB-BH = 2\/2m- m= m. v 2 2
由(2)知9FG是等腰直角三角形，
•-Z G BF=45= ABD,
••./BH = ZEBC,
,,Z6HI=ZBDF=9O0,
・••ZBIHsZBFD,
BH IH
•B D—FD'
3G
2 m IH 3\/2
即二一二一,解得Hl= m,
2m m 4。