24.2.1 点和圆、直线和圆的位置关系讲义 教师版

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.1 点和圆的位置关系

教学目标：

1、理解点和圆的位置关系，掌握点到圆心和距离与半径之间的关系。

2、了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法。

3、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系

教学重难点：切线的证明、外心的应用

知识点一：点和圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：

①点P在圆外⇔d＞r

②点P在圆上⇔d=r

①点P在圆内⇔d＜r

（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．

例题．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，已点C为圆心作⊙C，半径为r．

（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外？

（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．

【分析】（1）若点A、B在⊙C外，则AC＞r即可；

（2）点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC即可．

【解答】解：（1）若点A、B在⊙C外，则AC＞r，

∵AC=3，

∴r＜3，

（2）如点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC，

∵AC=3，BC=4，

∴3＜r＜4．

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

变式1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AB=13，AC=5，以点C为圆心，为半径的圆和点A，B，D的位置关系是怎样的？

【分析】先利用勾股定理计算出BC=12，再利用面积法计算出CD，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

【解答】解：在Rt△ACB中，∵AB=13，AC=5，

∴BC==12，

∵•CD•AB=BC•AC，

∴CD==，

∵BC＞CD，AC＞CD，

∴A点和B点在以点C为圆心，为半径的圆外，D点在以点C为圆心，为半径的圆上．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d ＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．

变式2．在△ABC中，∠BCA=90°，∠B=30°，AB=5cm，CD为斜边AB的中线，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D，试说明点A、B、C与⊙D的位置关系．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判断DA、DB与DC的数量关系，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．

【解答】解：∵∠BCA=90°，CD为斜边AB的中线，

∴DA=DB=DC，

∴点A、B、C都在以点D为圆心，DC长为半径画⊙D上．

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

知识点二：圆的确定

不在同一直线上的三点确定一个圆．

注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．

例题．下列说法中正确的是（ ）

A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆

B．相等的圆心角所对的弧相等

C．平分弦的直径垂直于弦

D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等

【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理判断即可．

【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，A正确；

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误；

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C错误；

在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，D错误，

故选：A．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．

变式1．平面上有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上．过其中3个点作圆，可以作的圆的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆画出图形可得答案．

【解答】解：如图所示：

故选：C．

【点评】此题主要考查了确定圆的条件，关键是掌握不在同一直线上的三点确定一个圆．

变式2．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（ ）

A．1个或3个B．3个或4个

C．1个或3个或4个D．1个或2个或3个或4个

【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑．

【解答】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；

（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．

故选：C．

【点评】本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答．

变式3．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=21，BC=20．若有一半径为10的圆分别与AB、BC相切，则下列何种方法可找到此圆的圆心（ ）