【金榜教程】2014年高中数学 1.4.3单位圆与诱导公式课件 北师大版必修4
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高中数学第1章三角函数4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式课件北师大版
1．当α∈R时，下列各式恒成立的是( ) A．sinπ2＋α＝－cos α B．sin(π－α)＝－sin α C．cos(π＋α)＝cos α D．cos(－α)＝cos α 【解析】 由诱导公式知D正确． 【答案】 D
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
【精彩点拨】
解答本题要注意到
π6－α
＋
56π＋α
＝π，
2π 3
－α＝π－
π3＋α
，
π3＋α＋π6－α＝π2等角之间的关系，恰当运用诱导公式求值．
1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同 名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．
2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻 求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到 已知式而完成求值．
是减少的
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x在[－π，π]上是增加的．( )
(2)y＝sin x在－π6，π上的最大值为1.(
)
(3)y＝cos x在0，π2上的最小值为－1.(
)
教材整理2 诱导公式(－α，π±α)的推导 阅读教材P19～P21，完成下列问题． 1．诱导公式(－α，π±α)的推导 (1)在直角坐标系中 α与－α角的终边关于 x轴 对称； α与π＋α的终边关于 原点 对称； α与π－α的终边关于 y轴 对称．
北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件
-10-
4.3 单位圆与正弦函数、 余弦函数的基本性质
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【变式训练 2】 求满足不等式 sin α≥ 2 的角������的范围.
3
解:
如图所示,作直线 y=
π π
π 2π 2
,
3
的递增区间是 - ,
π 6 2
π π
,
3
. 当x = 时,ymax=1;当 x=− 时,ymin=− .
2
π
6 2 1
,
-8-
4.3 单位圆与正弦函数、 余弦函数的基本性质
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型二
利用单位圆确定角的范围
1 2
【例 2】 求满足不等式 2cos α-1≥0 的角 α 的范围.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
根据单位圆理解正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的性质 根据正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的定义,我们不难从单 位圆中看出函数y=sin x,y=cos x有以下性质:
函数 y=sin x 性质 定义域 R y∈[-1,1]; 值域与 当 x=2k π+ π (������∈Z)时, ymax=1; 2 最值 π 当 x=2k π− 2 (������∈Z)时, ymin =-1 周期 单调 区间 2π 递增区间:
π 3 π 3 π 3 π 3
1
2
= .
1 2
-9-
4.3 单位圆与正弦函数、 余弦函数的基本性质
题型一 题型二 题型三
1.4.3单位圆与诱导公式(二) 课件高中数学必修4(北师大版)
1.4.3（二）
2.诱导公式 1.13～1.14 的记忆 π π 本 ＋ α ， －α 的三角函数值，等于 α 的异名三角函数值，前 课 2 2 面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为 “函数名改变，符号看象限”.
时 栏 目 开 关
1.4.3（二）
探究点一
诱导公式 1.13
本 课 时 栏 目 开 关
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.3（二）
【典型例题】 例 1 已知
π 3 π 3π cos α＋ ＝ ， ≤α≤ ，求 6 5 2 2 2π sinα＋ 的值. 3
本 课 时 栏 目 开 关
2π π π 解 ∵α＋ 3 ＝α＋6＋2，
π π 2π π 3 ∴sin(α＋ 3 )＝sinα＋6＋2＝cosα＋6＝5.
1.4.3（二）
探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用 公式 1.8～1.12 归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数 值，等于角 α 的同名三角函数值，前面加上一个把 α 看成 锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象 限”. π 公式 1.13～公式 1.14 归纳： ± α 的正弦(余弦)函数值，分别 2 等于 α 的余弦(正弦)函数值， 前面加上一个把 α 看成锐角时 原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或 “正变余、余变正、符号象限定”.
本 课 时 栏 目 开 关
答
π π sin2－α＝sin2＋－α＝cos(－α)＝cos α；
π π cos －α＝cos ＋－α＝－sin(－α)＝sin α. 2 2
1.4.3（二）
π 思路二 、 角 α 与 － α 的终边关于直线 y＝ x 对称推导诱导公式 2 1.14. 答 π 设角 α 与单位圆交于点 P(x， y)，则 2
高中数学下学期1.4.3单位圆与诱导公式课件北师大必修4.ppt
证明: ∵A,B,C,D为圆内接四边形ABCD的内角, ∴根据圆内接四边形性质知 A＋B＋C＋D＝360°,A＋C＝B＋D＝180°. (1)sin(A＋B)＝sin[360°－(C＋D)]＝－sin(C＋D). (2)cos(A＋C)＝cos[360°－(B＋D)]＝cos(B＋D).
1.诱导公式可概括为:k·π2±α,k∈Z 的各三角函数 值,当 k 为偶数时,得 α 的同名三角函数值;当 k 为奇数时,得 α 的不同名三角函数值,即正弦得到 余弦,余弦得到正弦;然后前面加上把 α 看作锐 角时原函数值的符号,记忆口诀为“奇变偶不变, 符号看象限.”
[题后感悟] 三角形三内角(A,B,C)的如下关系 经常在解题中用到: (1)A＋B＋C＝π⇔A＝π－(B＋C);
(2)A＋B2＋C＝π2⇔A2＝π2－B＋2 C.
3.已知 A,B,C,D 为圆内接四边形 ABCD 的四个内角,求证: (1)sin(A＋B)＝－sin(C＋D); (2)cos(A＋C)＝cos(B＋D);
(2)sin
B＋2 C＝cos
A 2.
1利用 B＋C＝π－A.2利用B＋2 C＝π2－A2.
[解题过程] (1)∵A＋B＋C＝π, ∴B＋C＝π－A, ∴cos A＋cos(B＋C)＝cos A＋cos(π－A)＝cos A －cos A＝0; (2)∵B＋2 C＝π－2 A＝π2－A2, ∴sin B＋2 C＝sin(π2－A2)＝cos A2.
sin(α＋2kπ)＝_s_in__α_.
3.点P(x,y)关于x轴、y轴、y＝x、原点的对称点 坐标分别为_(_x_,－__y_)_,(_－__x_,y_)_,(_y_,x_)_,_(－__x_,_－__y_) .
正弦函数、余弦函数的诱导公式
1.诱导公式可概括为:k·π2±α,k∈Z 的各三角函数 值,当 k 为偶数时,得 α 的同名三角函数值;当 k 为奇数时,得 α 的不同名三角函数值,即正弦得到 余弦,余弦得到正弦;然后前面加上把 α 看作锐 角时原函数值的符号,记忆口诀为“奇变偶不变, 符号看象限.”
[题后感悟] 三角形三内角(A,B,C)的如下关系 经常在解题中用到: (1)A＋B＋C＝π⇔A＝π－(B＋C);
(2)A＋B2＋C＝π2⇔A2＝π2－B＋2 C.
3.已知 A,B,C,D 为圆内接四边形 ABCD 的四个内角,求证: (1)sin(A＋B)＝－sin(C＋D); (2)cos(A＋C)＝cos(B＋D);
(2)sin
B＋2 C＝cos
A 2.
1利用 B＋C＝π－A.2利用B＋2 C＝π2－A2.
[解题过程] (1)∵A＋B＋C＝π, ∴B＋C＝π－A, ∴cos A＋cos(B＋C)＝cos A＋cos(π－A)＝cos A －cos A＝0; (2)∵B＋2 C＝π－2 A＝π2－A2, ∴sin B＋2 C＝sin(π2－A2)＝cos A2.
sin(α＋2kπ)＝_s_in__α_.
3.点P(x,y)关于x轴、y轴、y＝x、原点的对称点 坐标分别为_(_x_,－__y_)_,(_－__x_,y_)_,(_y_,x_)_,_(－__x_,_－__y_) .
正弦函数、余弦函数的诱导公式
1.4.3单位圆与诱导公式 课件 高中数学必修四(北师大版)
【自主解答】 (1)sin 495° · cos(－675° ) ＝sin(360° ＋135° )· cos(360° ＋315° ) ＝sin 135° · cos 315° ＝sin(180° －45° )cos(360° －45° ) 2 2 1 ＝sin 45° · cos 45° ＝ 2 × 2 ＝2.
已知角求值，一般利用诱导公式，逐步把角化为锐角再 求，已知函数值求角，注意观察分析已知角和待求角之间的 关系，恰当地选择公式进行变形．当含有字母参数时，一般 要分类讨论．
求值：sin 315° ＋sin(－30° )＋cos 225° ＋sin 480° .
【解】 原式＝ sin(360° －45° )－ sin 30° ＋cos(180＋45° ) ＋sin(360° ＋120° ) ＝－sin 45° －sin 30° － cos 45° ＋sin 120° ＝－2sin 45° －sin 30° ＋ sin(180° －60° ) ＝－2sin 45° －sin 30° ＋ sin 60° 2 1 3 ＝－2× － ＋ 2 2 2 2 2－ 3＋1 ＝－ . 2
(1)sin(－α)＝ －sin α ，cos(－α)＝ cos α
.
(2)sin(π＋α)＝ －sin α ，cos(π＋α)＝－cos α . (3)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝ －cos α .
π 诱导公式(2± α)的推导
【问题导思】 根据我们推导 π±α 与 α， －α 与 α 的正弦、 余弦函数关系 π 的方法，2± α 与 α 的终边有什么关系？函数值的关系又会怎 样？(以正弦为例)
利用诱导公式化简
化简： 4n＋1π 4n－1π cos[ ＋α]＋cos[ －α](n∈Z)． 4 4
高中数学第一章1.4.3_1.4.4单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式课件北师大版必修4
一二三
3.应用诱导公式求三角函数值的过程 任意负角的正弦函数、余弦函数
任意正角的正弦函数、余弦函数
0~2π角的正弦函数、余弦函数
锐角的正弦函数、余弦函数 上述过程可称为“负化正,大化小,化至锐角再求值”,充分体现了 化未知为已知的数学思想.
一二三
【做一做3】 cos 330°等于( )
A.12
B.-12
π 3
-������
+
π 6
+
������
=
π 2
,
π 6
-������
+
5π 6
+
������
=π,然后运用诱导公式可以将问题顺
利地解决.
解:(1)∵
π 3
-������
+
π 6
+
������
= π2,
∴cos
π 6
+
������
=cos
π 2
-
π 3
-������
=sin
π 3
-������
= 12.
【做一做 2】 (1)角π6与角-π6的终边关于
(2)角π3
与角2π的终边关于
3
对称;
(3)角π5
与角6π的终边关于
5
对称;
(4)角π4与角-34π的终边关于
对称.
答案:(1)x轴 (2)y轴 (3)原点 (4)原点
对称;
一二三
三、正弦函数、余弦函数的诱导公式
1.对任意角α,有下列关系式成立:
sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α. (1.8)
1.4.3《单位圆与诱导公式》课件(北师大版必修4)
= -2sin30°= -2× 答案：-1
2
= -1.
6.下列三角函数值： ①sin(nπ + 4 );
3
②cos(2nπ + );
6 ③sin(2nπ + ); 3
④cos［(2n+1)π - ］;
6 ⑤sin［(2n+1)π - ］(n∈Z) 3 与sin 的值相同的是__________________. 3
3 )=sin = ; 2 3 3
3
对于②，cos(2nπ+
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·东莞高一检测）化简
sin(2 - ) sin( ) cos(- ) sin(3 - ) cos( )
(-sin) (-sin) (-cos) 【解析】原式= sin (-cos)
sin (-sin ) sin sin( ) = -sin cos cos( )sin( ) 2 2 3 5 3 = = . 4 5 4
=
= sin cos
9.（10分）若f(sin x)=cos 17x,x∈(0, 2 )求f( 17 1 【解析】f( )=f(sin )=cos π=cos(2π+ 6 2 6 5 =cos π=cos(π)= - cos = - 3 . 6 6 6 2
2.若sin(3π +α )= - 1 ,则cos( 7 -α )等于(
2
2
)
（A）- 1
2
（B）
1 2
2
（C） 3
2
（D）- 3
【解析】选A.∵sin(3π+α)=sin(2π+π+α)=
高中数学 1.4.3+4 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 单位圆的对称性与诱导公式课件 北师大
第三十二页，共38页。
诱导公式(gōngshì)的综合应用
已知 cosπ6－α＝m(|m|≤1)， 化简 cos56π＋α＋sin23π－α. [思路分析] 观察角的特点，由于56π＋α＝π－π6－α，故可 运用 π－α，π2＋α 的诱导公式求正弦、余弦值．
第三十三页，共38页。
[规范解答] cos56π＋α＋sin23π－α ＝cosπ－π6－α＋sinπ2＋π6－α ＝－cosπ6－α＋cosπ6－α＝－m＋m＝0. [规律总结] 观察已知角和未知角之间的关系，运用诱导公 式(gōngshì)将不同名的函数化为同名的函数，将不同角化为同角 是解决问题的关键．
第二十一页，共38页。
[规范解答] (1)解法一：sin(－1665°)＝－sin1665° ＝－sin(225°＋4×360°)＝－sin225°
＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝
2 2.
解法二：sin(－1665°)＝sin(135°－5×360°)
＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝
＋120°)＝－sin45°＋cos30°＋sin60°＝
3－
2 2.
第十二页，共38页。
5．若 f(n)＝sinn4π(n∈N)，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(9)＝
__________.
[答案] [解析]
2 2
f(1)＝sinπ4＝ 22，f(2)＝sinπ2＝1，f(3)＝sin34π＝ 22，
D．4cosα
[答案(dáàn)] A [解析] 原式＝cosα＋cosα－cosα－cosα＝0.
第十一页，共38页。
4 ． 计 算 (jì suàn)sin315° ＋ cos( － 330°) － sin( － 480°) ＝ __________.
诱导公式(gōngshì)的综合应用
已知 cosπ6－α＝m(|m|≤1)， 化简 cos56π＋α＋sin23π－α. [思路分析] 观察角的特点，由于56π＋α＝π－π6－α，故可 运用 π－α，π2＋α 的诱导公式求正弦、余弦值．
第三十三页，共38页。
[规范解答] cos56π＋α＋sin23π－α ＝cosπ－π6－α＋sinπ2＋π6－α ＝－cosπ6－α＋cosπ6－α＝－m＋m＝0. [规律总结] 观察已知角和未知角之间的关系，运用诱导公 式(gōngshì)将不同名的函数化为同名的函数，将不同角化为同角 是解决问题的关键．
第二十一页，共38页。
[规范解答] (1)解法一：sin(－1665°)＝－sin1665° ＝－sin(225°＋4×360°)＝－sin225°
＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝
2 2.
解法二：sin(－1665°)＝sin(135°－5×360°)
＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝
＋120°)＝－sin45°＋cos30°＋sin60°＝
3－
2 2.
第十二页，共38页。
5．若 f(n)＝sinn4π(n∈N)，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(9)＝
__________.
[答案] [解析]
2 2
f(1)＝sinπ4＝ 22，f(2)＝sinπ2＝1，f(3)＝sin34π＝ 22，
D．4cosα
[答案(dáàn)] A [解析] 原式＝cosα＋cosα－cosα－cosα＝0.
第十一页，共38页。
4 ． 计 算 (jì suàn)sin315° ＋ cos( － 330°) － sin( － 480°) ＝ __________.
1.4.3诱导公式PPT课件
函符 数号 名看 不象 变限
函符 数号 名看 改象 变限
思考
利用诱导公式，可以求任意角的三角函数，其基 本思路是：
任意负角的 三角函数
公式1.8
公式1.9
任意正角的 三角函数
公式1.8
锐角的三角 函数
公式1.10~1.14
0～2π的角 的三角函数
思考
k 诱导公式可统一为 k Z 的三角 2 函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办
余弦函数
正弦函数
余弦函数
正弦函数
单调性 余弦函数
在 2k ,2k 1 k Z 上单调递增， 在2k , 2k k Z 上单调递减 .
将0°~360°间的角转化成锐角
sin 2k sin k Z ,
cos 2k cos k Z .
M'
2
O
M
cos 2 , sin 2
1x
sin cos , 2
cos sin . 2
角α与
2
的正弦函数、余弦函数的关系
法记住这些公式？
奇变偶不变
符号看象限
例题
1.求下列各式的值： 11 15 1sin cos ; 4 4 55 2 sin . 6
2.化简： 3 sin(2 - )cos(3 )cos( ) 2 sin(- )sin(3 - )cos(- )
北师大版高中数学必修4 第一章 三角函数
正弦函数、余弦函数的基本性质
定义域 值域 周期性 正弦函数 余弦函数 正弦函数
高中数学北师大版必修4 1.4 教学课件 《单位圆的对称性与诱导公式》(数学北师大高中必修4)
了－α， α± π，π－α的三角函数与α的三角函数之
间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和 规律吗？ 提示：-α， α± π ，π－α的三角函数值，等于α的 同名函数值，再放上原函数的象限符号. 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
诱导公式作用：转化为 0°～90°的角
北京师范大学出版社 高一 | 必修4
北京师范大学出版社 高一 | 必修4
第一章 · 三角函数
4.4 单位圆的对称性 与诱导公式
新课导入
北京师范大学出版社 高一 | 必修4
在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数的 定义，以及终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ+α)
＝sinα (k∈Z )，通过这个公式能把任意角的正弦函数值转
例1 求下列各角的三角函数值：
(1)sin( 7). (2) cos 2 . (3) cos( 31).
4
3
6
解：(1)sin( 7) sin 7 sin(2 )
4
4
4
( sin
) 4
sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
4
2. 2
(2) cos
2 3
cos(
) 3
sin( ) sin ,cos( ) cos （1.12）
sin( ) cos ,cos( ) sin （1.13）
2
2
sin( ) cos ,cos( ) sin
2
2
（1.14）
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角α±π的终边与单位圆的交点坐标如何？
y
间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和 规律吗？ 提示：-α， α± π ，π－α的三角函数值，等于α的 同名函数值，再放上原函数的象限符号. 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
诱导公式作用：转化为 0°～90°的角
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第一章 · 三角函数
4.4 单位圆的对称性 与诱导公式
新课导入
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在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数的 定义，以及终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ+α)
＝sinα (k∈Z )，通过这个公式能把任意角的正弦函数值转
例1 求下列各角的三角函数值：
(1)sin( 7). (2) cos 2 . (3) cos( 31).
4
3
6
解：(1)sin( 7) sin 7 sin(2 )
4
4
4
( sin
) 4
sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
4
2. 2
(2) cos
2 3
cos(
) 3
sin( ) sin ,cos( ) cos （1.12）
sin( ) cos ,cos( ) sin （1.13）
2
2
sin( ) cos ,cos( ) sin
2
2
（1.14）
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角α±π的终边与单位圆的交点坐标如何？
y
北师大版高中数学必修四课件1.4.3单位圆与诱导公式(二)
tan α sin α . cos α
典例剖析 题型一
已知sin 3 ,求 cos , tan的值.
5
解:因为sinα<0,sinα≠1,所以α是第三或第四象限角
由sin2 cos2 1得
cos2 1 sin2
1
3 2 5 Nhomakorabea16 25
(2)∵(sin x－cos x)2＝1－2cos xsin x＝4295，
∴sin x－cos x＝±75.∵x 为第四象限角，sin x<0，cos x>0， ∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－75. 联立 cos x＋sin x＝15，得
sin x＝－35，
cos
y
P(x,y) α
1
MO
x A(1,0)
自主探究
在Rt△OMP中,由勾股定理有
MP2+OM2= y2+x2=1
OP2=1
sin2α+cos2α=1
y
P(x,y) α
1 MO
x A(1,0)
预习测评
已知：sina=0.8，填空：cosa=__±__0_._6
哈哈~~~~~~~~ 我换了个马甲！
小样！别以为你 换了个马甲我就
＝sin2θsi＋n cθos2θ＋sin2θco＋s cθos2θ
＝sin1 θ＋co1s θ＝右边．∴原式成立．
已知－π<x<0，sin x＋cos x＝15. (1)求 sin xcos x 的值并指出角 x 所处的象限； (2)求 tan x 的值．
详细解析：
【解】 (1)由 sin x＋cos x＝15，两边平方，得 cos2x＋sin2x＋2sin xcos x＝215， ∴1＋2cos xsin x＝215，即 cos xsin x＝－1225. ∵sin xcos x<0，且－π<x<0， ∴x 为第四象限角．
高中数学《单位圆与诱导公式》导学课件 北师大版必修4课件
3
若 sin(6 -θ)= 3 ,则 sin( 6 -θ)=
7π 6 π 6 π 6
.
3 3
【解析】sin( -θ )=sin[π +( -θ )]=-sin( -θ )=- .
.. 导. 学 固思
4
已知 sin(π+α)+sin(-α)=-m,求 sin(3π+α)+2sin(2π-α)的值.
【解析】∵sin(π +α )+sin(-α )=-sin α -sin α =-2sin α =-m,∴sin α = ,而
【解析】由诱导公式可知,A 正确;对于 B,cos(α +β )=cos[-(α -β )]=cos(α -β ),故 B 不正确;对 于 C,sin(-α -360°)=sin(-α )=-sin α ,故 C 正 确;对于 D,cos(-α -β )=cos[(α +β )]=cos(α +β ),故 D 正确.
3.5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°= 0 .
【解析】5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°=5×1+2×1-3×(-1)+10×(-1)=0.
4.化简
sin (2π -������ )cos (π +������ )sin (������ -3π ) sin (-������ )sin (π -������ )sin (-������ - )
-sin(π - )cos(π + )+cos(2π - )sin(2π - )=sin cos cos sin = · - · = .
若 sin(6 -θ)= 3 ,则 sin( 6 -θ)=
7π 6 π 6 π 6
.
3 3
【解析】sin( -θ )=sin[π +( -θ )]=-sin( -θ )=- .
.. 导. 学 固思
4
已知 sin(π+α)+sin(-α)=-m,求 sin(3π+α)+2sin(2π-α)的值.
【解析】∵sin(π +α )+sin(-α )=-sin α -sin α =-2sin α =-m,∴sin α = ,而
【解析】由诱导公式可知,A 正确;对于 B,cos(α +β )=cos[-(α -β )]=cos(α -β ),故 B 不正确;对 于 C,sin(-α -360°)=sin(-α )=-sin α ,故 C 正 确;对于 D,cos(-α -β )=cos[(α +β )]=cos(α +β ),故 D 正确.
3.5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°= 0 .
【解析】5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°=5×1+2×1-3×(-1)+10×(-1)=0.
4.化简
sin (2π -������ )cos (π +������ )sin (������ -3π ) sin (-������ )sin (π -������ )sin (-������ - )
-sin(π - )cos(π + )+cos(2π - )sin(2π - )=sin cos cos sin = · - · = .
高中数学北师大版必修四《1.4单位圆与周期性、诱导公式》课件
4.3
单位圆与引 诱公式
北师大版 高中数学
课程 标准
教材 的理解
所教学生 实际情形
一、教学背景 二、教学目标 三、教学策略 四、教学进程
五、教学特点及反思
为今后学习三角函数图像 与性质等知识做好铺垫
探究终边存在特别关系的角的 正、余弦值之间的关系
探究正、余弦函数中存在周期现 象并抽象出周期函数的定义
教学难点：
1、α＋π，α-π与角α终边位置的几何 关 系的发觉以及表示
2、发觉由终边位置关系导致（与单位圆 交点）的坐标关系
❖通过对正、余弦函数的分析使学生能初步了解函数的周 期性 ❖借助单位圆、三角函数定义、对称性等知识点引导学生 积极参与引诱公式的产生进程，加深对引诱公式的理解
•认识客观世界中的周期现象，感受周期函数是自然现象，体 会数形结合的思想方法 ，感受数学的现实价值
问题探究式
结合信息技 术相结合
教学 手段
教学 方式
学习 活动
自主探索、 动手实践、 合作交流
创设情境——问题引导——整合定义—— 提出料想— —自主探究——归纳方法——合作探索——巩固反 馈——开放小结
（1）本节课我们学习的知识有哪些？ （2）在概念、结论的逐渐获得中，我们用了哪些研 究问题的方法，体现了哪些数学思想？
周期现象是自然界中非常常见的现象
在学生完成预习任务的情形下， 已经为本节的学习做好准备
在学习三角函数的定义时学生接触过 单位圆这一重要的工具;学生基本掌控 任意角三角函数的定义
本章第一节学习过自然界中的周期现象， 学生对自然现象有直观感受
初中学习过锐角三角函数知识
教学重点：
1、周期函数的定义 2、 页 1、4、5 18 页 1、2
单位圆与引 诱公式
北师大版 高中数学
课程 标准
教材 的理解
所教学生 实际情形
一、教学背景 二、教学目标 三、教学策略 四、教学进程
五、教学特点及反思
为今后学习三角函数图像 与性质等知识做好铺垫
探究终边存在特别关系的角的 正、余弦值之间的关系
探究正、余弦函数中存在周期现 象并抽象出周期函数的定义
教学难点：
1、α＋π，α-π与角α终边位置的几何 关 系的发觉以及表示
2、发觉由终边位置关系导致（与单位圆 交点）的坐标关系
❖通过对正、余弦函数的分析使学生能初步了解函数的周 期性 ❖借助单位圆、三角函数定义、对称性等知识点引导学生 积极参与引诱公式的产生进程，加深对引诱公式的理解
•认识客观世界中的周期现象，感受周期函数是自然现象，体 会数形结合的思想方法 ，感受数学的现实价值
问题探究式
结合信息技 术相结合
教学 手段
教学 方式
学习 活动
自主探索、 动手实践、 合作交流
创设情境——问题引导——整合定义—— 提出料想— —自主探究——归纳方法——合作探索——巩固反 馈——开放小结
（1）本节课我们学习的知识有哪些？ （2）在概念、结论的逐渐获得中，我们用了哪些研 究问题的方法，体现了哪些数学思想？
周期现象是自然界中非常常见的现象
在学生完成预习任务的情形下， 已经为本节的学习做好准备
在学习三角函数的定义时学生接触过 单位圆这一重要的工具;学生基本掌控 任意角三角函数的定义
本章第一节学习过自然界中的周期现象， 学生对自然现象有直观感受
初中学习过锐角三角函数知识
教学重点：
1、周期函数的定义 2、 页 1、4、5 18 页 1、2
1.4.3单位圆与诱导公式(一) 课件高中数学必修4(北师大版)
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.3（一）
探究点四 诱导公式 1.12 (1)公式内容： sinπ＋α＝－ sin α， cos π＋ α＝－ cos α. (2)公式推导：
本 课 时 栏 目 开 关
如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P1(x，y)，则角 π＋ α 的终边与单位圆的交点为 P2(－x，－y)，下面是根据三角函 数定义推导公式的过程，请你补充完整：
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.3（一）
探究点三 诱导公式 1.11 (1)公式内容： sinπ－α＝ sin α， cos
如图，设角 α 的终边与单位圆相交于 P1(x，y)，由于角 π－ α 与 α 的终边关于 y 轴对称，因此角 π－α 的终边与单位圆 相交于 P2 (－x，y) ，
1 －2，－
1.4.3（一）
探究点二 诱导公式 1.9 (1)公式内容： sin－ α＝－ sin α， cos－α＝ cos α.) (2)公式推导：
本 课 时 栏 目 开 关
如图，设角α的终边与单位圆的交点为 P1(x，y)，
1.4.3（一）
由于角－α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称，因此角－α 与 单位圆的交点为 P2 (x，－y) ， 则 sin α＝ y， cos α＝ x； sin(－ α)＝－y ＝ －sin α ； cos(－ α)＝ x ＝ cos α . (3)公式作用：将负角的三角函数转化为正角的三角函数. 1 1 π －2 例如， sin(－ 390° )＝ ， cos－ ＝ 2 . 3
2.诱导公式 1.8～1.12. 公式 1.8：sin(2kπ＋α)＝ sin α ，cos(2kπ＋α)＝ cos α ； 公式 1.9：sin(－α)＝ －sin α ，cos(－α)＝ cos α ； 公式 1.10：sin(2π－α)＝ －sin α ，cos(2π－α)＝ cos α ； 公式 1.11：sin(π－α)＝ sin α ，cos(π－α)＝ －cos α ； 公式 1.12：sin(π＋α)＝ －sin α ，cos(π＋α)＝ －cos α .
1.4.3《单位圆与诱导公式》课件(北师大版必修4)
即asin α+bcos β=-1.
∴f(2 008)=asin(2 008π+α)+bcos(2 008π+β)+4 =asin α+bcos β+4 =-1+4 =3.
Байду номын сангаас
二、填空题（每题4分，共8分）
5.sin315°-cos135°+2sin570°的值是_____________.
【解析】原式=sin(360°-45°)-cos(180°-45°)+ 2sin(360°+210°) = -sin45°+cos45°+2sin210° = 2+ 2 2 +2sin(180°+30°) 2
2
1 . 2
2
cos(-
x 3.已知函数f(x)=cos 2 （A）f(2π -x)=f(x)
（B）f(2π +x)=f(x) （C）f(-x)=f(x) （D）f(-x)=-f(x)
，则下列等式成立的是(
)
2-x )=cos(π- x ) 【解析】选C.（1）f(2π-x)=cos( 2 2 x = -cos = -f(x). 2 2 x )=cos(π+ x )= -cos x （2）f(2π+x)=cos( 2 2 2 = -f(x), x （3）∵f(x)=cos 为偶函数. 2 ∴f(-x)=f(x),故C正确.
2.若sin(3π +α )= - 1 ,则cos( 7 -α )等于(
2
)
（A）- 1
2
（B）
1 2
2
2
（C） 3
2
（D）- 3
1.4.3诱导公式课件高一下学期数学北师大版
2
3
3
析 : sin(2021 ) sin(1010 ) sin( ) cos 1
2
2
2
3
[例3]证明: sin 3 cos , cos 5 sin
2
2
sin 3
2
sin
2
sin
2
c os
cos 5
2
cos2
2
cos
2
2
与的终边关于直线y x对称 2
与的终边相差
2
2
sin( ) sin[ ( )]
2
2
sin( ) 2
cos
sin( ) sin[ ] cos cos
2
2
诱导公式五~六的运用
若sin(2021 ) 1 ,则cos( ) ____. cos 1 .
(3)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α；
(4)sin(π－α)＝ sin α ，cos(π－α)＝ －cos α ； (5)sin(π＋α)＝ －sin α ，cos(π＋α)＝ －cos α ；
(6)sin(π2＋α)＝ cos α ，cos(π2＋α)＝ －sin α ； (7)sin(π2－α)＝ cos α ，cos(π2－α)＝ sin α .
=sin
[2（n＋1）π＋θ]·cos[2（n＋1）π－θ] sin（π－θ）·cos（π＋θ）
＝ sin
θsi·n（θ－·cocos sθθ）＝－1.
诱导公式的综合运用
1、如图，已知角α顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴
重合，角α的终边与单位圆交于点P
10 10
,
3 10 10
北师大版高中数学必修4第一章《单位圆与诱导公式》课件
15
课堂练习
16
课堂小结
（1）利用单位圆的对称性推导诱导公式 ; （数形结合思想） （2）熟记诱导公式; （3）诱导公式的应用:
题型：求值、化简、证明; 要领：把任意角的正弦函数、余弦函数值转化锐角 的正弦函数、余弦函数值.
17
课后练习
18
0到π/2的角的三角函数
负化正，大化小，最终都要变锐角
10
例题讲授
11
例题讲授
12
例题讲授
13
例题讲授
14
例题点评
利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一 般可按下列步骤进行： “负化正，大化小，最终都要变锐角” 注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要死记这个步 骤，在实际解题中只要灵活地应用公式求解，先用哪个公式， 后用哪个公式是没有什么固定要求的，完全是可以变换公式 顺序来求解.
y
公式（2）
P(u,v)
o
x
P'(u,-v)
4
新知探究
2.角 与
的正弦函数、余弦函数关系
sin( π) v
y
cos( π) u
π
o
P'(-u,-v)
P(u,v)
x
公式（3）
5
新知探究
3.角 与 公式（4）
的正弦函数、余弦函数关系
y
P'(-u, v) π
o
P(u,v)
x
6
新知探究
4.角 与 公式（5）
的正弦函数、余弦函数关系
? P'
y
π
2
o
P(u,v) x
7
思考交流
8
抽象概括
课堂练习
16
课堂小结
（1）利用单位圆的对称性推导诱导公式 ; （数形结合思想） （2）熟记诱导公式; （3）诱导公式的应用:
题型：求值、化简、证明; 要领：把任意角的正弦函数、余弦函数值转化锐角 的正弦函数、余弦函数值.
17
课后练习
18
0到π/2的角的三角函数
负化正，大化小，最终都要变锐角
10
例题讲授
11
例题讲授
12
例题讲授
13
例题讲授
14
例题点评
利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一 般可按下列步骤进行： “负化正，大化小，最终都要变锐角” 注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要死记这个步 骤，在实际解题中只要灵活地应用公式求解，先用哪个公式， 后用哪个公式是没有什么固定要求的，完全是可以变换公式 顺序来求解.
y
公式（2）
P(u,v)
o
x
P'(u,-v)
4
新知探究
2.角 与
的正弦函数、余弦函数关系
sin( π) v
y
cos( π) u
π
o
P'(-u,-v)
P(u,v)
x
公式（3）
5
新知探究
3.角 与 公式（4）
的正弦函数、余弦函数关系
y
P'(-u, v) π
o
P(u,v)
x
6
新知探究
4.角 与 公式（5）
的正弦函数、余弦函数关系
? P'
y
π
2
o
P(u,v) x
7
思考交流
8
抽象概括
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)
(A)第一象限角
(C)第三象限角
(B)第二象限角
(D)第四象限角
【解析】选B.由题意得-sin(-θ)＞0，-cos(-θ)＞0,所以
sinθ＞0，-cosθ＞0，cosθ＜0，所以θ是第二象限的角.
3.如果α +β =180°，那么下列等式中成立的是( (A)cosα =cosβ (B)cosα =-cosβ
用诱导公式转化.
【规范解答】∵ cos( ) m( m 1) ,
5 ) cos ( ) …………………………2分 6 6 ＝ cos（ ） m. ……………………………………6分 6 2 ………………………8分 sin（ ） sin （ ）， 3 2 6 cos( ) m. ………………………………………12分 6 cos(
=sinα-(-sinα)=2sinα.
答案:
5 13
5. cos 1 665 sin( 13 ) sin 11 _________. 【解析】原式 cos 5 360 135 sin(4 3 ) sin(2 )
4 6 4 6
cos135sin
3 2 2 1 sin 1. 4 6 2 2 2
用诱导公式化简三角函数式 化简三角函数式的策略 角多、函数类型多是三角函数式化简问题的特点，据此解 答此类问题时要注意以下几点： (1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的 绝对值尽量小，能求值的要求值.
(2)认真观察有关角之间的关系，根据需要变角，如 3 可写成 2 ( )也可写成 ( ) ，不同的表达方法，
)
(C)sinα =-sinβ
(D)sinα =cosβ
【解析】选B.cosα=cos(180°-β)=-cosβ.
4.已知 sin 45 5 ，sin(135°-α )=_________.
13
【解析】sin(135°-α)= sin[180°-(45°+α)]
sin 45 5 . 13
2 2 2
决定着使用不同的诱导公式.
求角 3 的正弦、余弦函数值，按“奇变
2
偶不变，符号看象限”的方法更快，要注意训练这种方法.
【例2】(2011·长春高一检测)化简
3 ) 2 5 cos(3 )sin 3 sin( ) 2 sin cos cos(
sin 2n 1 cos[ 2n 1 ] sin 2n cos 2n
sin cos( ) sincos sin (cos)
sin cos
【审题指导】解答本题可依据负角化正角，任意角化 0°～
360°间的角，最后化为0°～90°间的角的过程计算.
【规范解答】 (1)cos(-1 290°)=cos1 290°= cos(210°+3×360°) =cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°= 3 .
2
(2)sin1 230°=sin(150°+3×360°)= sin150° = sin(180°-30°)=sin30°= . (3) cos 29 cos( 5 6) cos 5
答案:{ | 5}
3 6
【典例】(12分)已知 cos( ) m( m 1) ,求 cos( 5 ) ，
sin( 2 )的值. 3 6 6
2 【审题指导】注意到 5 ， ( ) 可以 6 6 3 6 2
6
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.已知sin25.7°=m，则cos64.3°等于(
)
(A)m
(B)-m
(C)m2
(D) 1 m2
【解析】选A. cos64.3°=cos(90°-25.7°) =sin25.7°=m
2.若y=lg[-sin(-θ )] +lg[-cos(-θ )],那么θ 是(
用诱导公式求三角函数值 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：
设计好解题思路，记准用准公式是解题的关
键.
【例1】求下列各角的三角函数值: (1)cos(-1 290°) (2)sin1 230° (3) cos 29
4 (4) sin 5 cos( ) sin( 19 )cos 3 4 6 3 4
答案:-1
sin( )cos( ) sin 2 cos( ) 2 2 6.化简： 2 . cos sin 【解析】原式 cos sin sin sin cos sin
当k为奇数时，设k=2n+1(n∈Z),同理可得 原式=-1.
1.
单位圆的应用
单位圆的应用
利用单位圆及正弦、余弦函数的定义推导正弦、余弦
函数诱导公式，十分直观.这充分体现了数形结合思想.实
际上，用好单位圆还可以巧妙地解决很多问题，例如下列 问题: (1)解三角不等式 (2)判断三角函数式的符号 (3)根据已知条件判断两个角终边之间的关系
【审题指导】解答本题的关键是化简角 3 ，3π-α，
5 3π+α， 的三角函数值，实际上这些角依次可看作 ,2π+π α，2π+π+α， 2 ,由此可设 2 ( 2) 2 2 2 2
计化简思路.
【规范解答】
sin cos cos 2 ( ) 2 原式 cos sin sin( ) 2 sincoscos( ) 2 cos sin cos sincossin cossincos sin tan. cos
6 6 2 2
与此类似，使 cos 1 ，只要角θ与单位圆的交点在直线
1 的左侧(如下图所示)，又因为0≤θ≤π，所以由单 2 位圆可知 .所以 M＝{ | 5}, N＝{ | }, 3 6 6 3 5 M N＝ | . 6 3 x 2
【例3】(2011·惠州高一检测)若集合M＝{θ |sinθ ≥
1 0≤θ ≤π }，N＝{θ |cosθ ≤ ,0≤θ ≤π }，则M∩N=__ 2
在单位圆中根据正弦、余弦函数的定义，找
出集合N和集合M对应的角的范围，然后求M∩N.
【规范解答】由任意角的正弦函数的定义可知，角θ与单 位圆的交点坐标为(cosθ,sinθ)，所以为使 sin 1 ，只 要角θ与单位圆的交点在直线 y 1 的上方(如下图所示)， 又因为0≤θ≤π，所以由单位圆可知 5 .
【例】若k∈Z，化简
sin k 1 cos k 1 sin k cos k .
【审题指导】由于k为偶数与k为奇数时，解题过程不同，
所以解答本题要注意分类讨论思想的应用 .
【规范解答】当k为偶数时，设k=2n(n∈Z)，则 原式
4 4 2 cos( ) cos . 4 4 2 4 1 2
(4) sin 5 cos( ) sin( 19 )cos 3
4
6 3 4 sin( )cos sin( 6)cos( ) 4 6 3 4 sin cos sin( )(cos ) 4 6 3 4 2 3 3 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 0.