八年级数学下册 专题突破讲练 巧用三角形中位线试题 (新版)青岛版

巧用三角形中位线
1. 三角形中位线定义
连结三角形两边中点的线段叫中位线。

注意：（1）要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。

（2）三角形有三条中位线。

2. 定理
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

如果EF为△ABC的中位线，则EF∥BC且EF=1
2 BC。

注意：位置关系——平行
数量关系——等于第三边的一半
3. 三角形中位线定理的应用：
（1）证明角相等关系；
（2）证明线段的倍分以及相等关系；
（3）证明线段平行关系。

例题1 如图，自△ABC的顶点A，向∠B和∠C的平分线作垂线，垂足分别为D、E。

求证：DE∥BC。

解析：欲证ED//BC我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD、AE，交BC与CB的延长线于G与H，通过证明三线合一易证D是AG的中点，同理E为AH的中点，故，ED是△AHG的中位线，当然有DE∥BC。

答案：证明：延长AD、AE交BC、CB的延长线于G、H，
∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，
又∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠BDG=90º
∴△ABG为等腰三角形
∴AD=DG，同理可证，AE=GE，
∴D，E分别为AG，AH的中点，
∴ED∥BC
点拨：本题巧妙地应用了等腰三角形的三线合一，但最终还是利用中位线的性质得出结论。

例题2 如图，已知平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EF，交BD于M点。

求证：（1）BM=1
4
BD；（2）ME=MF。

解析：（1）由E、F分别为AB、BC的中点想到连结AC，由平行线等分线段定理可证得
BM=MO。

又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD，即BM=1
4
BD。

（2）由问题(1)中
的辅助线，即连结AC，由三角形中位线定理可得
11
,
22
EM AO MF OC
==，又由平行四边
形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论。

答案：证明：（1）连结AC，交BD于O点，
∵E、F分别为AB、BC中点，∴EF∥AC，
∴BM=MO=1
2
BO
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=OD=1
2
BD，AO=OC=
1
2
AC，
∴BM=1
2
BO=
1
4
BD；
（2）∵M是BO的中点，E、F分别是AB、BC的中点。

∴ME=1
2
AO，MF=
1
2
OC，又∵AO＝OC，∴ME＝MF。

点拨：问题（1）运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系。

三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线是一个重点也是一个难点。

要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理。

例题如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD的延长线于S、T两点，求证：∠ATF=∠BSF。

解析：连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，根据三角形的中位线平行于第三边并且
等于第三边的一半可得EH∥AD，EH=1
2
AD，FH∥BC，FH=
1
2
BC，然后求出EH=FH，根据等边
对等角可得∠EFH=∠FEH，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ATF=∠FEH，两直线平行，
内错角相等可得∠BSF=∠EFH，然后等量代换即可得证。

答案：证明：如图，连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，
∵E、F分别是CD、AB的中点，
∴EH、FH分别是△ACD和△ABC的中位线，
∴EH∥AD，EH=1
2
AD，FH∥BC，FH=
1
2
BC
∵AD=BC，
∴EH=FH，
∴∠EFH=∠FEH，
又∵EH∥AD，FH∥BC，
∴∠ATF=∠FEH，∠BSF=∠EFH，
∴∠ATF=∠BSF。

点拨：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并作辅助线，考虑利用三角形的中位线定理是解题的关键。

（答题时间：30分钟）
一、选择题
1.（宜昌）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离。

有关他这次探究活动的描述错误的是（）
A. AB=24m
B. MN∥AB
C. △CMN∽△CAB
D. CM：MA=1：2
2.（泸州）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
3.（泰安）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连结DC并延长到E，使CE=1
3
CD，过点B
作BF∥DE，与AE的延长线交于点F。

若AB=6，则BF的长为（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 10
4. （福州模拟）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连结OA，点G、F分别为OC、OB 的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 12
5.（邢台二模）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD 的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为（）
A. 20
B. 40
C. 36
D. 10
二、填空题
6. （怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC= _________ 。

7.（邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E。

∠A=30°，AB=8，则DE的长度是_________。

8.（沈阳）如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影。

假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为_________。

9.（天桥区一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为_________。

10.（海门市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点。

若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为_________。

三、解答题
11.（南京）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F。

（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
12.（鞍山一模）（1）如图1所示，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD。

（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线）
（2）如图2所示，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度。

一、选择题
1. D 解析：∵M 、N 分别是AC ，BC 的中点， ∴MN ∥AB ，MN =
2
1
AB ， ∴AB =2MN =2×12=24m ， △CMN ∽△CAB ， ∵M 是AC 的中点， ∴CM =MA ， ∴CM ：MA =1：1， 故描述错误的是D 选项。

2. C 解析：由等边△ABC 得∠C =60°， 由三角形中位线的性质得DE ∥BC ， ∴∠DEC =180°﹣∠C =180°﹣60°=120°，
3. C 解析：如图，∵∠ACB =90°，D 为AB 的中点，AB =6，
∴CD =21
AB =3。

又CE =3
1
CD ，
∴CE =1， ∴ED =CE +CD =4。

又∵BF ∥DE ，点D 是AB 的中点， ∴ED 是△AFB 的中位线， ∴BF =2ED =8。

4.B 解析：∵BD ，CE 是△ABC 的中线， ∴ED ∥BC 且ED =
21
BC ， ∵F 是BO 的中点，G 是CO 的中点， ∴FG ∥BC 且FG =2
1
BC ， ∴ED =FG =
21
BC =2， 同理GD =EF =2
1
AO =1.5，
∴四边形DEFG 的周长为1.5+1.5+2+2=7。

5. A 解：∵A 1B 1C 1D 1是四边形ABCD 的中点四边形，AC =8，BD =10， ∴A 1D 1=B 1C 1=
21BD =5，A 1B 1=C 1D 1=2
1
AC =4，A 1D 1∥BD ∥B 1C 1，A 1B 1∥AC ∥C 1D 1， ∵四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直， ∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形， ∴S A 1B 1C 1D 1=5×4=20。

6. 1：4 解析：∵D 、E 是边AB 、AC 上的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC 且DE =
2
1
BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，
∴S △ADE ：S △ABC =（1：2）2
=1：4。

7. 2 解析：∵D 为AB 的中点，AB =8， ∴AD =4，
∵DE ⊥AC 于点E ，∠A =30°， ∴DE =2
1
AD =2。

8.
165
解析：∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴ED ∥AB ，且DE =
2
1
AB ， ∴△CDE ∽△CBA ， ∴
CBA CDE S S ∆∆=2)(
AB
ED =41
， ∴S △CDE =
4
1
S △CBA 。

同理，S △FPM =41S △FDE =161
S △CBA ，
∴S △FPM +S △CDE =16
5
S △CBA ，
则CBA S S ∆阴影=16
5。

9. 16 解析：∵菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，EF =2， ∴BC =2EF =2×2=4。

即AB =BC =CD =AD =4。

故菱形的周长为4BC =4×4=16。

10. 64° 解析：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点， ∴DE 是三角形ABC 的中位线， ∴DE∥BC ， ∴∠A ED =∠A CB ，
∵∠AFC =90°，E 为AC 的中点， ∴EF =
2
1
AC ，AE =CE ， ∴EF =CE ， ∴∠EFC =∠ECF ， ∴∠ECF =∠EFC =
2
1
∠ACB =26°， ∴∠FAE 的度数为90°﹣26°=64°，
11. 解：（1）证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ， 又∵EF ∥AB ，
∴四边形DBFE 是平行四边形；
（2）解：当AB =BC 时，四边形DBFE 是菱形。

理由如下：∵D 是AB 的中点， ∴BD =
2
1
AB ， ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE =
2
1
BC ， ∵AB =BC ， ∴BD =DE ，
又∵四边形DBFE 是平行四边形， ∴四边形DBFE 是菱形。

12.（1）证明：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH 。

∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点， ∴EH ∥AB ，EH =
21AB ，FH ∥CD ，FH =2
1
CD ， ∵∠BME =∠CNE ，∠BME=∠HEF ，∠CNE=∠HFE ，∴∠HEF=∠HFE 。

∴HE =HF ， ∴AB =CD ；
（2）解：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ， ∴EH ∥AB ，EH =21AB ，HO ∥DC ，HO =2
1
DC 。

∵AB =CD ， ∴HO =HE ， ∴∠HOE =∠HEO ， ∵∠OEC =60°， ∴∠HEO =∠AGO =60°， ∴△OEH 是等边三角形， ∵AB =DC =5， ∴OE =
2
5。