子空间的直和

又 V1 V2是 Pn的子空间， P n V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
再证 Pn V1 V2 .
任取 V1 V2, 即 V1且 V2 . 由 V1, 必有 Pn, 使A . 由 V2 , 有A 0. 从而 A A2 A( A ) A 0.
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
（3）Vi Vj 0,i 1,2,
ji
§6.7 子空间的直和
s
, s （4）dimW dimVi
i 1
例1 每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维
子空间的直和.
证：设 1, 2 , , n 是 n 维线性空间V的一组基,
则 V L(1, 2 , , n ) L(1 ) L( 2 ) L( n )
s
是唯一的，则和 Vi 就称为直和，记作
i 1
V1 V2 Vs
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价:
s
（1）W Vi 是直和
i 1
（2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1, 2, , s
§6.7 子空间的直和
A(k ) kA k0 0 V2 , k V2
故 V2 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
（2）先证 P n V1 V2 .
任取 Pn, 有 A ( A ),
其中 A V1, 又 A( A ) A A2 A A 0 A V2 . 于是有 V1 V2 . Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2是直和 V1 V2 0.
证：“ ”
若 1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
则有 1 2 V1 V2 0
1 2 0,
即V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
“”
任取 V1 V2 ,
0 ( ), V1, V2 .
由于V1 V2 是直和，零向量分解式唯一，
中每个向量 的分解式 1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和（direct sum）， 记作V1 V2 .
注意
1.分解式 1 2 唯一的，意即 若有 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 ,2 , 2 V2 则 1 1,2 2.
§6.7 子空间的直和
4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 V U W .称这样的W 为U的一个余子空间（complementary subspace）.
证：取U的一组基 1 ,2 , ,m 把它扩充为V的一组基 1 ,2 , ,m ,m1 , ,n 令 W L(m1 ,m2 , ,n ),
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
s
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
i 1
1 2 s , i Vi , i 1, 2, , s
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间， 则下面四个条件等价: （1）V1 V2 是直和 （2）零向量分解式唯一
（3）V1 V2 0
（4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
§6.7 子空间的直和
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设V1,V2 为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 有两种情形：
1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
5、设 1, 2 , , r ; 1,2 , ,s 分别是线性子空间
V1,V2 的一组基，则
V1 V2 是直和 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
证： 由题设，
V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ).
§6.7 子空间的直和
充分性.
1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2 于是 (1 1 ) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2 由零向量分解成唯一，有 1 1 0, 2 2 0. 即 1 1, 2 2 的分解式唯一.
故 V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
设 V1,V2 为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2
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证：（1） A V1, k P, 有 A A A( ) V1, k( A ) A(k ) V1.
V1 是 Pn的子空间.
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A0 0, 0 V2
又对 , V2, k P, 有 A 0, A 0, 从而有 A( ) A A 0 0 0
而 dim L( i ) 1, i 1,2, , n
s
dim L(i ) n dimV
i 1
故 V L(1 ) L( 2 ) L( n ).
§6.7 子空间的直和
得证.
例2 已知 A Pnn ，设
V1
AX
X
P
n
,
证明：
V2
X
X P n , AX
0
（1） V1、V2 是 Pn 的子空间. （2）当 A2 A 时，P n V1 V2 .
0.
故 V1 V2 0.
§6.7 子空间的直和
3、和 V1 V2 是直和 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 证：由维数公式
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 有， dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) 0
2.分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立. 例如，R3的子空间
V1 L(1, 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 ) 这里，1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一. 而在和 V1 V3 中，向量 的分解式是唯一的， 所以和 V1 V2 不是直和，V1 V3 是直和.
则V U W.
§6.7 子空间的直和
注意 余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ), 则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
“ ”
若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有 dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
“” 若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
§6.7 子空间的直和
二、直和的判定
1、(定理8)和V1 V2 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，
即若 1 2 0,1 V1,2 V2 ，则必有 1 2 0.
证：必要性.
若1 2 0, 1 V1,2 V2
V1 V2 是直和, 而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.