随机过程考试试题及答案详解1

随机过程考试试题及答案详解
1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均
匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】 （1）⎰
∞
-=
x
dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；
（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其他,0,1
)(b
x a a b x f ，分布函数
⎪⎩
⎪⎨⎧
>≤≤--<=b x b x a a
b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b
a x E +=
，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00
,)(x x e x f x λλ，分布函数
⎩⎨
⎧<≥-=-0
,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21
)(λ=x D ； （4）2
)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=
--
x e x f x ,21
)(2
22)(σμπ
σ，
分布函数∞<<-∞=
⎰
∞
---
x dt e
x F x
t ,21)(2
22)(σμπ
σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。

【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。

由R 的取值范围可知，
)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩
⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1
)(t
C x C t x f ，一维分布
函数⎪⎩
⎪⎨⎧
+>+≤≤-<=t C x t C X C t
C
x C x x F ,1,,0)(；
（2）根据相关定义，均值函数C t
t EX t m X +==2
)()(； 相关函数2)(2
31)]()([),(C t s C
st t X s X E t s R X +++=
=； 协方差函数12
)]}()()][()({[),(st
t m t X s m s X E t s B X X X =
--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(2
2
X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=
求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()('
'y x y f x y y f x f t ==
2、（15分）设{
}∞<<∞-t t W ),(是参数为2
σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

令R t W t X +=)()(，求随机过程
{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。

【解答】此题解法同1题。

依题意，|)|,0(~)(2
t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。

故：均值函数1)()(==t EX t m X ；
相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；
协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；
且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。

求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

【解答】此题可参见课本习题3.10题。

由题意可知，每个顾客的消费额Y 是服从参数为s 的指数分布，由指数分布的性质可知：
21)(,1)(s Y D s Y E ===
，故222
)(s
Y E =，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望)(1808)8(Y E m X ⨯⨯=；
一天内商场营业额的方差)(1808)8(2
2
Y E X ⨯⨯=σ。

4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P
（1）求两步转移概率矩阵)
2(P
及当初始分布为
0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P
时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。

【解答】可参考教材例4.3题及4.16题 （1）两步转移概率矩阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==09.049.042.04.004.056.056.035.009.03.007.08.02.0007.03.03.007.08.02.0007.03.0)
2(PP P
当初始分布为0}3{}2{,
1}1{000======X P X P X P 时，
()()56.035.009.009.049.042.04.004.056.056.035.009.0001=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。

（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。

得如下方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=++++=++=++=13.08.0002.07.07.003.032132133
2123
211πππππππππππππππ 解上述方程组得平稳分布为
23
8
,237,238321===
πππ 5、（15分）设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=010007.03.0000
0001
00004.06.0003.04.03.0P
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

【解答】此题比较综合，可参加例4.13题和4.16题 画出状态转移图如下：
（1）由上图可知，状态分类为
}5,4{};3,2,1{21==G G
（2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。

A 、对1G 常返闭集而言，解方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=++++=++=++=1003.014.04.006.03.032132133
2123211πππππππππππππππ 解上述方程组得平稳分布为
50
37
,90259,1537321=
==
πππ 则各状态的平均返回时间分别为
37
501,259901,37151
33221
1=====
=
πππt t t B 、对2G 常返闭集而言，解方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=+=1
07.013.021212211ππππππππ 解上述方程组得平稳分布为
17
7,171021==
ππ 则各状态的平均返回时间分别为
7
171,10171
221
1===
=
ππt t
6、（15分）设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。

【解答】
[]
()()[][]2
2
2
()()()()()()()()()()()()()()()(1)
E N t N t s E N t N t s N t N t E N t N t s N t E N t E N t E N t s N t E N t t s t t t t s λλλλλλλ+=+-+⎡⎤⎣⎦
⎡⎤=+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦
⎡⎤=+-+⎣⎦
=⋅++=++
7、（15分）考虑一个从底层启动上升的电梯。

以i N 记在i 第层进入电梯的人数。

假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。

在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯，
1ij
j i
p
>=∑。

令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。

（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么
（3）j O 与k O 的联合分布是什么
【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。

以ij N 记在第i 层乘上电梯，在第j 层离去的人数，则ij N 是均值为ij i p λ的泊松变量,且全部
),0(i j i N ij ≥≥相互独立。

因此：
(1) [][
]j ij
i ij i
i
E O E N
p λ==∑∑
(2) 由泊松变量的性质知，j ij
i ij
i
i
O N p λ=
∑∑是均值为的泊松变量
(3) 因i k O O 与独立，则λλ
λ
λλλ2!
!!
!
)()()(-+--=
•
=
=e k i e
k e
i O P O P O O P i
k k
i
k i k i ，λ为期望。

8、（15分）一质点在1，2，3点上作随机游动。

若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在)
,[h t t +内，它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。

试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。

【解答】参见教材习题5.2题
依题意，由)()(lim
j i q t
t p ij ij t ≠=∆∆→∆得，)(1j i q ij ≠=，柯尔莫哥洛夫向前方程为
)()()(21,1,'t p t p t p p j i j i ij ij +-++-=，
由于状态空间}3,2,1{=I ，故
1)()()(1,1,=+++-t p t p t p j i j i ij ，
所以
1)(3)(1)(2'+-=-+-=t p t p t p p ij ij ij ij ，
解上述一阶线性微分方程得：
3
1)(3
1
+=-t ij ce
t p ， 由初始条件
⎩
⎨⎧≠==j i j
i p ij ,0,1)0( 确定常数c ，得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=+=--j
i e j i e t p t t ij ,3
131,3
231)(31
3
1
故其平稳分布
3,2,1,3
1
)(lim ===∞
→j t p ij t j π。