数学建模中的优秀软件——LINGO

第９卷第３期２００７年６月
黄山学院学报
ＪＯｕｒｎａｌ０ｆＨｕａｎｇｓｈａｎＵｎｉＶｅｆｓｉｔｙ
Ｖｏ】．９．ＮＯ．３
Ｊｕｎ．２００７数学建模中的优秀软件——ＬＩＮＧＯ
周甄川
（黄山学院数学系，安徽黄山２４５０４１）
摘要：介绍了数学建模的相关概念、数学建模竞赛概况，探讨了ＬＩＮＧｏ系统的功能与特点，以及它在数学建模中的应用。

关键词：数学模型；数学建模；ＬｌＮＧｏ系统
中图分类号：ＴＰ３１９：０１４１．４文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—４４７ｘ（２００７）０３—０１１２—０３
在对自然科学与社会科学许多课题的研究中，科学工作者常将事物的变化规律用特定的数学表达式的形式加以描述。

将寻求这种确定事物变化规律的过程称为“数学建模”。

而在数学建模以及全国大学生数学建模竞赛中，最常碰到的是一类决策问题，即在一系列限制条件下，寻求使某个或多个指标达到最大或最小，这种决策问题通常称为最优化问题【１】。

最优化理论是近几十年发展和形成的一门新兴的应用性学科。

它主要解决最优生产计划、最优分配、最优设计、最优决策、最佳管理等最优化问题。

主要研究方法是定量化、系统化和模型化方法，特别是运用各种数学模型和技术来解决问题。

它主要由决策变量、目标函数、约束条件三个要素组成。

当遇到的实际问题时即使建立了模型，找到了解的方法，对于较大的计算量也是望而却步，ＬＩＮＧｏ系列优化软件包就给我们提供了理想的选择。

１什么是数学建模
数学建模（ＭａｔｈｅＩｍｔｉｃａｌＭｏｄｅｌｉｎ曲‘１１顾名思义就是建立数学模型以解决实际问题的过程。

它利用数学和计算机对实际问题进行分析研究，抽象出反映事物内在活动规律的数学关系表达式，通过对这些数学关系表达式的求解和反复验证，最终解决实际问题。

数学是所有自然科学的基础，随着计算机软硬件技术的迅速发展，数学建模和与之相伴的计算已逐渐成为工程设计的关键工具，并在人类社会实践活动中的众多领域内发挥着越来越重要的作用。

那么，什么是数学模型？如何建立数学模型？如何用数学模型解决实际问题呢？模型就是对事物的一种抽象。

数学模型简单地说，就是反映事物（或问题）本质的一组数学关系表达式。

首先通过对事物（实际问题）的分析、研究，忽略其细节，抓住其本质，抽象出该事物活动过程中起决定作用的变量及参数：再应用其内在规律和数学知识建立起变量、参数问确定的数学关系（此即为一个数学模型，它将实际问题转化成了一个数学问题），然后，利用数学软件及其它一些数学工具求解该数学问题，并对所求得的解进行解释和验证；根据所求解和实际问题的符合程度校正所建模型，再求解、验证，如此不断循环往复．不断深化，以最终解决实际问题。

２数学建模竞赛概况
数学建模竞赛是由国家教委和中国工业与应用数学学会共同主办的一年一度的大型赛事。

各高校均可组队参加，三人一队，各校可同时组织多个队参加比赛，以队为单位记分。

竞赛题目包括Ａ、Ｂ、ｃ、Ｄ四题，其中Ａ、Ｂ由本科组选答，ｃ、Ｄ由专科组选答。

题目一般为工程技术或管理科学等方面经过
收稿日期：２００７—０４—０３
作者简介：周甄川（１９７９一），安徽黄山人，黄山学院数学系讲师，硕士，研究方向为符号计算与信息安全。

　万方数据
第３期周甄川：数学建模中的优秀软件——ＬＩＮＧｏ．１１３．
适当简化加工的实际问题，它并不要求学生预先掌握深入的专门知识．而是具有较大的灵活性，以供参赛者充分发挥创造能力。

比赛时间为７２小时，在全国各赛场同时进行。

在三天之内，每个队耍提交一份打印完好的比赛论文，包括模型的建立、模型的求解、模型的解释和验证等部分，以供评判。

我校从２００３年开始组队参加该项比赛，距今已历四届．成绩喜人。

获得国家一、二等奖各一次，多次获得赛区一、二等奖。

成绩的取得，虽说主要来自于教师和学生的奋力拼搏，但数学软件亦功不可没。

３计算机数学软件Ｌ｜ＮＧＯ简介嘲
ＬＩＮＤｏ和ＬＩＮＧｏ是美国ＬｌＮＤｏ系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题【４】的软件包。

ＬＩＮＤｏ用于求解线性规划和二次规划问题，ＬＩＮ—Ｇｏ除了具有ＬＩＮＤｏ的全部功能外，还可以用于求解非线性规划问题，也可以用于一些线性和非线性方程（组）的求解，等等。

ＬＩＮＤｏ和ＬＩＮＧｏ软件的最大特色在于可以允许优化模型中的决策变量是整数（即整数规划），而且执行速度很快。

ＬＩＮＧｏ实际上还是最优化问题的一种建模语言，包括许多常用的函数可供使用者建立优化模型时调用，并提供与其他数据文件（如文本文件、Ｅｘｃｅｌ电子表格文件、数据库文件等）的接口，易于方便地输入、求解和分析大规模最优化问题。

由于这些特点，ＬＩＮＤｏ和ＬＩＮＧｏ软件在教学、科研和工业、商业、服务等领域得到了广泛应用。

４ＬｌＮＧＯ用于数学建模的步骤
通过大量的研究、分析．我们总结出ＬＩＮＧｏ系统用于数学建模的几个步骤如下。

４．１数学建模的准备工作
分析研究对象的变化规律，提取研究对象及变化规律的主要特征，作为数学建模的依据。

为了建模工作的方便，对研究对象变化规律在保持其特性的条件下进行适当的化简、并为验证模型准备一批数据。

４．２确定数学模型的类型
确认建立的模型是否为数学规划模型。

４．３对数学模型最佳分析表达式的设计
在同一数学模型的类型中，进一步针对不同数据变化特征，选定该模型的最佳分析表达式。

这是数学建模过程中的另一关键步骤。

４．４数学模型的求解及确定主要参数
利用ＬＩＮＧｏ软件进行规划模型的求解。

４．５数学模型的验证与计算结果分析
评价模型的可信度，审定模型的合理性，并用事先准备的数据对模型进行统计检验。

必要时．调整原模型的参数与条件，返回４．４；若要改变模型的分析表达式，则返回到４．３，重新进行模型设计。

５实例分析
某公司生产ｘ、Ｙ、ｚ三种机件产品，在下表中给出了生产每种机件产品所消耗的贵金属材料、电力、工时量以及每件产品的利润，并给出了贵金属材料、电力、工时量的月供应量。

（１）问ｘ、Ｙ、ｚ三种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？
（２）若三种产品的月需求总量不超过８００件，如何修改数学模型，求最优生产方案。

（３）若三种产品的月需求总量不超过８００件，且需求量均不少于１００件，又怎样修改数学模型。

求最优生产方案解。

５．１数学建模的准备
分析上述研究对象的变化规律，根据已知条件，该问题符合线性规划模型的规律。

其模型的目标函数与约束条件数据完备。

５．２设计数学模型分析表达式
目标函数：１１１ａ巡ｘ）＝８００对５００ｙ＋６２０ｚ．
ｆ１５ｘ＋１１ｙ＋１０ｚ≤８９６０
约束条件：｛１３ｘ＋１０ｙ＋１２ｚ≤１０５００．
１２ｘ＋１西＋９ｚ≤８５００
５．３利用ＬＩＮＧｏ求线性规划的最优解
现在ＬＩＮＧｏ窗口中输入如下代码：
ｍａＸ＝８００：Ｉ：ｘ＋５００术ｙ＋６２０丰ｚ；
１５：ｌ：ｘ＋１１术ｙ＋１０冲：ｚ＜＝８９６０；
１３宰ｘ＋１０％ｙ＋１２木ｚ＜＝１０５００；
１２：Ｉ：ｘ＋１０木ｙ＋９术ｚ＜＝８５００；
说明：ＬＩＮＧｏ规定ｘ、Ｙ、ｚ是非负的，我们可发现输入方式与我们的数学书写的形式基本一致。

然后单击工具条上的按钮运行，得出如下结果：Ｇ１０ｂａｌｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｕｎｄ．
ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｖａｌｕｅ：５４８９６８．０
　万方数据
·１１４·黄山学院学报２００７年
Ｔｏｔａｌｓｏｌｖｅｒｉｔｅｒａ七ｉｏｎｓ：２
ＶａｒｉａｂｌｅＶａｌｕｅＲｅｄｕｃｅｄＣｏｓｔ
Ｘ５０．４０００００．００００００
Ｙ０．００００００９８．８００００
Ｚ８２０．４００００．００００００
ＲｏｗＳ１ａｃｋｏｒＳｕｒＤｌｕｓＤｕａｌＰｒｉｃｅ
１５４８９６８．０１．００００００
２０．００００００３０．８００００
３０，００００００２６．０００００
４５１１．６００００．００００００由以上结果可以看出，当ｘ＝５０．４，ｙ＝ｏ，ｚ＝８２０．４时，利润达到最大值５４８９６８．０。

５．４修改数学模型，增加约束条件并求线性规划的最优解
ｘ＋ｖ＋ｚ＜＝８００：
单击工具条上的按钮运行，可得：
ＧｌｏｂａｌｏＤｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｕｎｄ．
ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｖａｌｕｅ：５３０５６０．Ｏ
Ｔｏｔａｌｓ０１ｖｅｒｉｔｅｒａｔｉｏｎｓ：０
ＶａｒｉａｂｌｅＶａｌｕｅＲｅｄｕｃｅｄＣｏｓｔ
Ｘ１９２．ＯＯＯＯＯ．ＯＯＯＯＯＯ
Ｙ０．００００００１５６．００００
Ｚ６０８．０００００．００００００
ＲｏｗＳ１ａｃｋｏｒＳｕｒＤｌｕｓＤｕａｌＰｒｉｃｅ
１５３０５６０．０１．００００００
２０．００００００３６．０００００
３７０８．０００００．００００００
４７２４．０００００．００００００
５Ｏ．００００００２６０．００００由以上结果可以看出，若三种产品的月需求总量部不超过８００件，当ｘ＝１９２，ｙ＝０，ｚ＝６０８时，利润达到最大值５３０５６０．０。

５．５再次增加约束条件并求线性规划的最优解ｘ＞＝１００：
ｖ＞＝１００：
ｚ＞＝１００：
单击工具条上的按钮运行，可得：
ＧｌｏｂａｌｏＤｔｉｍａｌｓｏ】ｕｃｉｏｎｆｏｕｎｄ．
ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｖａｌｕｅ：５１４９６０．０
Ｔｏｃａｌｓｏｌｖｅｒｉｔｅｒａｃｉｏｎｓ：２
ＶａｒｉａｂｌｅＶａｌｕｅＲｅｄｕｃｅｄＣｏｓｃ
Ｘ１７２．０００００．００００００
Ｙ１００．０００００．００００００
Ｚ５２８．０００００．００００００
ＲｏｗＳｌａｃｋｏｒＳｕｒＤｌｕｓＤｕａｌＰｒｉｃｅ
１５１４９６０．０１．００００００
２Ｏ．００００００３６．０００００
３９２８．０００００．００００００
４６８４．０００００．００００００
５Ｏ．００００００２６０．００００
６７２．０００００Ｏ．００００００
７Ｏ．００００００一１５６．００００
８４２８．０００００．００００００由以上结果可以看出，若三种产品的月需求总量部不超过８００件，且每样产品的月需求量不低于１００件，当ｘ＝１７２，ｙ＝１００，ｚ＝５２８时，利润达到最大值５１４９６０．０。

６结束语
目前国际市场上的专业优化软件以及包含部分优化功能的数学类软件很多，但对于在全国大学生数学建模竞赛中常出现的数学优化模型的求解问题，与其他数学软件相比，ＬＩＮＧｏ具有使用简便、易学会、功能强、计算效果好等明显的优势。

参考文献：
【１】钱颂迪，顾基发．运筹学［Ｍ］．北京：清华大学出版社，１９９０：３０—４４．
【２】姜启源，谢金星，叶俊．数学模型【Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３：１６—２２．
［３］谢金星，薛毅．优化建模与ＵＮＤ０几ＩＮＧ０软件【枷．北京：清华大学出版社。

２００５：１０８．
【４］邱菀华，冯允成．运筹学教程【Ｍ］．北京：机械工业出版社，２００４：１２２一】４０．
ＴｈｅＧｏｏｄＳｏｆｔｗａｒｅｉｎＭａｔｈｅ砌ｔｉｃａｌＭｏｄｅＨｎｇ＿一Ｌ烈ＧＯ
ＺｈｏｕＺｈｅｎｃｈｕａｎ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＨｕａｎｇｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｎｇｓｈａｎ２４５０４１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｒｅｌａｔｉｖｅｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｓａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄａｎｄｔｈｅｂｒｉｅｆｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＨｌｏｄｅｌｉｎｇｃｏｍｐｅｔｉｔｉｏｎｉｓｍａｄｅ．Ｆｕｒｔｈｅ瑚研ｅ，ｔｈｅ｛．ｕｎｅｔｉｏｎｓａｎｄｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＬＩＮＧＯｓｙｓｔｅｍａｎｄｉｔｓ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
ｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｎｇａｒｅａｎａｌｙｚｅｄ．
ＫｅｙＷｏ“ｌｓ：ｍａｔｌｌｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｅａｌｍｏｄｅｌｉｎｇ；ＵＮＧＯ
　万方数据
数学建模中的优秀软件——LINGO
作者：周甄川， Zhou Zhenchuan
作者单位：黄山学院,数学系,安徽,黄山,245041
刊名：
黄山学院学报
英文刊名：JOURNAL OF HUANGSHAN UNIVERSITY
年，卷(期)：2007，9(3)
被引用次数：5次
1.钱颂迪.顾基发.田丰运筹学 1990
2.姜启源.谢金星.叶俊数学模型 2003
3.谢金星.薛毅优化建模与LINDO/LINGO软件 2005
4.邱菀华.冯允成运筹学教程 2004
1.期刊论文许海深.Xu Haishen谈数学模型及数学建模的逻辑变量方法-哈尔滨师范大学自然科学学报
2005,21(2)
数学模型是人类认识和改造世界的有效工具.本文从数学模型和数学建模的概念出发,分析了数学建模的不同情况,通过实例,论证了逻辑变量在数学建模中的作用,从一个侧面阐述了数学建模的方法.
2.学位论文刘连广中学“数学建模”教学在贫困地区的实践与研究2008
随着科学技术特别是信息技术的高速发展，数学的应用价值越来越得到众人的重视。

利用数学知识解决现实生活的具体问题了成为当今数学界普遍关注的内容，利用建立数学模型解决实际问题的数学建模活动也应运而生了。

在素质教育中，开展数学建模活动具有十分重大的意义，在国外，开展数学建模活动已经有了一定的规模，但在我国，数学建模活动只在大学中开展，在中学数学教学中，数学建模活动人们往往重视不够，甚至还没有什么开展。

因此有必要对中学数学建模及其教学活动进行较为系统的研究。

本文分五个部分对中学数学建模的活动进行系统的阐述：在问题的提出部分中说明开展中学数学建模研究的必要性；第二部分阐述数学模型和数学建模的相关概念；第三部分阐明数学建模的思路及其数学建模实践；第四部分中对数学建模实践教学进行分析和评价，第五部分总结数学建模的得失
，一方面验证一下中学数学建模的成效，另一方面为数学课程的改革提供一些参考，也为课堂教学的改革提供一些借鉴。

3.期刊论文贾文彦.张江林.艾立新浅论数学模型与数学建模-邢台职业技术学院学报2001,18(3)
本文介绍了数学模型与数学建模概论,分析了数学建模实例,并在此基础上提出了在我院开设数学建模课程的设想.
4.学位论文金月波中学数学建模教学研究2004
提高学生数学应用的素质是数学教育的目标之一。

“数学建模”作为“问题解决”的一个方面，是实现这一目标的最佳途径。

本论文分析了国内外重视中学数学建模教学的原因、地位、现状及其意义，提出问题一如何培养和提高学生的数学建模能力，中学数学实施建模教学的有效途径是什么，并且阐述了中学数学建模的理论、特点，其特点是中学数学建模主要是指数学应用题的解答。

通过给出一个有关人口预测的建模实例，来阐述数学建模的方法和原则。

通过实验研究证实，数学基础知识与数学应用之间呈正相关，并达到极显著程度，其相关系数约为0.35。

运用因数分析方法，我们研究了数学建模能力的结构，主要有三个因数组成：数学模型知识、将实际问题数学化的能力、知识综合能力。

本文还通过对比实验证实，在数学教学中，采取(1)注重数学模型知识的教学；(2)加强数学建模型方法的教学；(3)精心创设问题情景，调动学生的学习兴趣的教学途径，可以有效地实施数学建模教学，可以有效地培养学生的数学应用意识和创新意识，提高学生的建模能力，最终提高学生的综合素质。

5.期刊论文彭永生浅谈数学建模-厦门广播电视大学学报2004,""(2)
数学对其他科学的有效性,在很大程度上是通过建立数学模型来体现的,建立数学模型是应用数学的关键而重要的一步.本文对数学模型和数学建模的几个方面都作了较为系统的介绍,并给出了一个模型范例,旨在使读者能够对数学建模有更深入的认识.
6.期刊论文郑永庆例谈数学建模在解决初中数学问题的应用-湖南中学物理·教育前沿2009,""(10)
利用数学模型解决的一般数学方法就是数学模型方法.现实世界中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模型的解,验证模型的合理性,并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题,我们把数学知识的这一运用过程称为数学建模.
7.学位论文李春凤数学建模在传热学中的应用2005
建立数学模型是解决实际问题的一种重要的有效方法。

数学建模方法不仅是数学应用的主要思想方法，而且是培养学生数学应用意识和能力的重要手段。

数学建模就是用数学的语言和方法，通过对实际问题的适当抽象和简化，建立能近似刻画实际问题规律的一种问题解决过程。

我们学校开展结合专业的数学建模活动不仅提高了学生运用数学的意识，而且有力的促进了专业课的学习。

数学建模已经广泛应用于自然科学与工程技术的各个领域，定量化研究已成为几乎所有学科发展的共同的理论和方法的基础。

热能不仅是常见的能量转换与利用的形式，而且热能的有效利用对于解决我国能源问题乃至人类社会的发展有着重大意义。

如何合理有效地利用热能是摆在我们面前的十分重要的课题。

本论文利用数学建模的理论与方法，在传热学基本定律——傅立叶定律的基础上，在热传导中建立数学模型，既有利于合理利用能源，又能做到经济节约。

论文采用了统计分析和演绎推理的方法，通过适当假设，建立了热传导平壁导热模型，并用于计算北方楼房中双层玻璃窗的问距问题；建立了单层球壁导热数学模型；建立了肋片导热模型，并用于计算带肋的暖气片的肋高和肋厚的合理比值的优化研究，实现了在保证散热效果的前提下，最大限度的节约材料的目标。

在实际教学中，将这些建模的过程展示给学生，切实把数学和传热学的方法同学生日常生活和实际的问题联系起来了。

这次教学尝试获得非常好的教学效果，使学生不再认为这两门学科只是经典的教条，对传热学乃至数学都产生了较浓的兴趣。

促进了对传热学和数学的应用价值认识的提高。

另外还培养了学生用数学的意识和观念，能从数学的角度去审视现象、观察过程、阐释规律、分析原因和解决问题。

教学改革在我国高等数学教育教学中正方兴未艾。

我在实际教学中尝试把数学建模的思想方法与传热学教学相结合，希望能为课程整合以及教学改革提供一点新的思路。

8.期刊论文楼建华数学建模与数学实验-黑龙江高教研究2003,""(3)
讨论了数学建模与数学实验的步骤、工具和目的,着重阐述3个观点:数学建模的核心步骤是建模,数学模型的求解隶属于数学,而非数学建模;数学建模的核心工具是数学,计算机作为数学之工具间接地用于数学建模;就数学实验自身而言,其主要目的是辅助做数学;就教学而言,数学实验的主要目的是培养学生运用计算机研究、学习数学的能力.
9.学位论文杨家旭基于数据仓库的数学模型解决方案的研究与设计2007
随着市场经济竞争的加剧，企业和组织的管理和决策越来越有赖于对市场需求的分析、预测，而现实中往往存在决策依据不足和有效数据十分缺乏的现象；同时，在计算机和关系型数据库系统已经十分普及的今天，大部分企业和组织的管理信息系统仍然是以低层操作型的事务处理为重心建设，而企业中高层的决策支持系统的基础十分薄弱。

低层的数据泛滥，而中高层用于决策的信息却十分贫乏的问题表明：基于数据仓库的决策支持系统的开发已十分迫切。

数据仓库、数据挖掘和数学建模是作为三种独立的信息和数学处理技术出现的。

数据仓库用于数据的存储和组织，数据挖掘集中于数据的分析，数学建模则致力于模型的构建和知识的自动发现。

由于这三种技术内在的联系性和互补性，它们结合起来就形成了一种新的决策支持系统 (DSS) 构架，从而构成为基于数据仓库的数学模型解决方案。

本文正是在这种背景下，对数据仓库的理论和设计进行了研究。

主要是以管理层次的分析为依据，以现实中大规模数据库为基础，借助数据整合手段，采取多维数据模型，构建出底层为仓库数据库服务器、中间层为 OLAP 服务器、顶层为客户端的三层数据仓库结构，以满足决策支持系统的构建和数学建模系统研究和设计的需要。

在数据仓库的系统设计基础上，我们将数学建模系统作为研究的重点。

首先，我们结合实际案例，研究了回归分析和最小二乘法等基于数据的建模方法的应用，这一方法我们称为定制数学建模的方法。

其次，我们在研究数学建模的方法和软件开发上，提出了回归函数算法集合的设计思想，并对自动优选数学建模系统进行技术研究与设计。

同时运用这一技术，对胜利油田生产和管理的历史数据实例进行研究与分析，建立了许多油田生产管理的数学模型，用于企业预测和分析，都取得了很好的效果。

最后，总结了基于数据仓库的数学建模技术的应用并简要讨论了进一步的工作方向。

10.期刊论文董健卫.楚慧珠.DONG Jianwei.CHU Huizhu在数学建模教学中提高大学生的数学素质-中国科技信息
2006,""(16)
阐述了数学素质的定义,介绍了数学建模及其相关知识;探讨在数学建模中提高学生数学素质的方法,并提出关于数学建模教学的几点建议.
1.刘建.刘丹运营铁路隧道渗漏水整治施工组织优化研究[期刊论文]-路基工程 2010(1)
2.查坤.刘丹.刘建准好氧填埋渗滤液水质与COD降解拟合研究[期刊论文]-环境科学与技术 2009(10)
3.冯卫兵一类特殊约束的规划问题Lingo求解[期刊论文]-现代计算机(专业版) 2008(10)
4.刘丽华.赵展辉如何短时间内掌握Lingo软件[期刊论文]-世界华商经济年鉴·高校教育研究 2008(11)
5.刘建.刘丹Lingo 在优化水文地质参数估值中的应用[期刊论文]-地下水 2008(4)
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