高中数学-同角三角函数基本关系式及诱导公式

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，＝tan α.2.掌握诱导公sin α
cos α式，并会简单应用．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
sin α
cos α(
α≠
π2
＋k π，k ∈Z
)2．三角函数的诱导公式
公式一二三四
五
六
角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－α－απ
2＋απ2正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.(　×　)
(2)若α∈R ，则tan α＝恒成立．(　×　)
sin α
cos α(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)(4)若sin ＝，则cos α＝－.(　√　)
(
3π
2
－α
)131
3
教材改编题
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α的值为
．
5
5答案　－25
5
解析　∵sin α＝，α是第二象限角，
5
5∴cos α＝－＝－.
1－sin2α25
52．已知＝－5，那么tan α的值为
．
sin α－2cos α
3sin α＋5cos α答案　－23
16
解析　由＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，
sin α－2cos α
3sin α＋5cos α可得＝－5，解得tan α＝－.
tan α－2
3tan α＋523
163．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为
．
cos (α－
π
2)sin (5π2＋α)答案　－sin 2α
解析　原式＝·(－sin α)·cos αsin α
cos α＝－
sin 2α.
题型一　同角三角函数基本关系
例1　(1)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
5
13答案　0
解析　∵cos α＝－<0且cos α≠－1，5
13∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，
则sin α＝＝
＝，
1－cos2α1－(－
5
13)
2
1213∴tan α＝＝
＝－.
sin α
cos α1213
－5
13125此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
12
13(－
12
5)②若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－
1－cos2α1－(－
5
13)2
＝－，
1213∴tan α＝＝
＝，
sin α
cos α－
1213－5
1312
5此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
(－
1213)12
5综上，13sin α＋5tan α＝0.
(2)已知tan α＝，则＝ ；sin 2α＋sin αcos α＋2＝
.
12sin α－3cos α
sin α＋cos α答案　－　5313
5
解析　已知tan α＝，
1
2所以＝＝－.sin α－3cos α
sin α＋cos αtan α－3
tan α＋15
3sin 2α＋sin αcos α＋2＝＋2sin2α＋sin αcos αsin2α＋cos2α＝＋2
tan2α＋tan αtan2α＋1＝＋2＝.(12)2＋
1
2(12
)2＋1135
(3)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝
.
7
13答案　－12
5
解析　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，7
1360
169因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝＝，1－2sin θcos θ17
13联立Error!解得Error!
所以tan θ＝－.12
5教师备选
1．(2022·锦州联考)已知＝5，则cos 2α＋sin 2α等于( )
sin α＋3cos α
3cos α－sin α1
2A. B ．－3535
C ．－3
D ．3
答案　A
解析　由＝5，得＝5，sin α＋3cos α
3cos α－sin αtan α＋3
3－tan α可得tan α＝2，
则cos 2α＋sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α1
2＝＝cos2α＋sin αcos αcos2α＋sin2α1＋tan α
1＋tan2α
＝.
352．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α的值为( )2
3A. B ．－232
3
C. D ．－4343
答案　C
解析　由诱导公式得
sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝，
2
3所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
2
9则2sin αcos α＝－<0，7
9因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，
因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
16
9所以sin α－cos α＝.
4
3思维升华　(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.
跟踪训练1　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于( )
sin θ(1＋sin 2θ)
sin θ＋cos θA ．－ B ．－ C. D.6
52
52
56
5答案　C
解析　方法一　因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以Error!或Error!
所以＝sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θsin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θ＝－＝.
45252
5方法二　(弦化切法)因为tan θ＝－2，
所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝
sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ
＝sin θ(sin θ＋cos θ)
＝sin2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝＝＝.
tan2θ＋tan θ
1＋tan2θ4－2
1＋42
5(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为
．
1
3答案　－10
5
解析　由tan α＝－，得sin α＝－cos α，
1
31
3将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1，
10
9所以cos 2α＝，易知cos α<0，
9
10所以cos α＝－，sin α＝，
310
1010
10故sin α＋cos α＝－.10
5题型二　诱导公式
例2　(1)已知sin ＝，则cos 的值为( )
(α－π4)13(π
4＋α)A. B ．－223223
C. D ．－1313
答案　D
解析　cos ＝cos (π4
＋α
)[π2＋(α－
π
4)]＝－sin
＝－.
(α－π4)13延伸探究　本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin
＝，则tan ＝
.
(θ＋
π4)45(θ－
π
4)答案　34
解析　∵θ是第二象限角，且sin
＝，
(θ＋
π4)4
5
∴θ＋为第二象限角，
π
4∴cos
＝－，
(θ＋π4)3
5∴tan
＝(θ－π
4)sin (θ－π4
)cos (θ－π4)＝
sin [(θ＋π4)－π
2
]cos [(θ＋π4)－π
2]＝
－cos (θ＋π
4
)sin (θ＋π4)＝
＝.
－(－35
)45
34(2)
的值为( )
tan (π－α)cos (2π－α)sin (
－α＋3π2)
cos (－α－π)sin (－π－α)
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2答案　B
解析　原式＝－tan α·cos α·(－cos α)
cos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝tan α·cos2α－cos α·sin α
＝－·＝－1.sin αcos αcos αsin α教师备选
1．已知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，
终边过点P ，则
等于( )
cos
(11π2－α)sin
(9π
2＋α)＋sin 2α
cos (π
2＋α)sin (－π－α)
A. B ．－2323
C. D ．－3232
答案　B
解析　易知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P (2,3)，
故tan α＝，则
3
2cos
(11π2－α)sin (9π
2＋α)＋sin 2α
cos (π
2＋α)sin (－π－α)
＝
cos (3π2－α)sin (π
2
＋α)＋sin 2α
cos (π
2＋α)sin α
＝
－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α
＝－＝－.
1
tan α2
32．若sin x ＝3sin ，则cos x ·cos 等于( )
(x －
π2)(x ＋
π
2)A. B ．－310310
C. D ．－3434
答案　A
解析　易知sin x ＝3sin ＝－3cos x ，(x －π
2)所以tan x ＝－3，
所以cos x cos
(x ＋
π
2)
＝－sin x cos x ＝－sin x cos x sin2x ＋cos2x ＝＝.
－tan x tan2x ＋13
10
思维升华　(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的――――――→利用诱导公式
三或一――――――→利用诱导公式一
三角函数锐角三角函数．
――――――→利用诱导公式二
或四或五或六跟踪训练2　(1)已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .
1
3答案　0
解析　因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，
所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)＝－，1
3sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]
＝cos(75°＋α)＝.
1
3所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0.
131
3(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则＝
.
sin (－3π＋α)＋cos (α－π)
cos (
α－
112
π)＋sin
(9π
2＋α)答案　3
解析　由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos (
α－
112
π)＋sin
(9π
2＋α)
＝
sin (π＋α)＋cos (π－α)cos (α＋π2)＋sin (π
2＋α
)
＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝＝3.
tan α＋1tan α－1
题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3　已知f (α)＝.
sin (α－3π)cos (2π－α)sin (
－α＋
3π2)
cos (－π－α)sin (－π－α)
(1)化简f (α)；
(2)若α＝－，求f (α)的值；31π
3(3)若cos
＝，α∈
，求f (α)的值．
(
－α－
π
2)
15[π，
3π
2]解　(1)f (α)＝
sin (α－3π)cos (2π－α)sin (－α＋3π
2
)cos (－π－α)sin (－π－α)
＝
－sin α×cos α×(－cos α)－cos α×sin α
＝－cos α.
(2)若α＝－，31π
3则f (α)＝－cos
＝－cos ＝－.(
－31π
3)
π31
2(3)由cos
＝，
(
－α－
π
2)
1
5可得sin α＝－，1
5因为α∈
，
[π，
3π
2]所以cos α＝－，26
5所以f (α)＝－cos α＝.26
5教师备选
设f (α)＝
(1＋2sin α≠0)．
2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)
1＋sin2α＋cos
(
3π
2＋α)－sin2(π
2＋α)
(1)化简f (α)；
(2)若α＝－，求f (α)的值．
23π
6
解　(1)f (α)＝(－2sin α)·(－cos α)－(－cos α)
1＋sin2α＋sin α－cos2α
＝
2sin αcos α＋cos α2sin2α＋sin α＝cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝＝.
cos α
sin α1tan α(2)当α＝－时，
23π
6f (α)＝f ＝
(－23π
6)1
tan (－23π
6)＝
1
tan (
－4π＋π6)
＝1tan π6
＝＝.
1333思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
跟踪训练3　(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)(π
2＋β)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A. B. C. D.35
537
7310
101
3答案　C
解析　由已知得Error!消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，
化简得sin 2α＝，则sin α＝(α为锐角)．
9
10310
10
(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－，则
＝
.
1
5sin 2x ＋2sin2x 1－tan x
答案　－24
175
解析　由已知，得sin x ＋cos x ＝，
1
5两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝，
1
25整理得2sin x cos x ＝－.
24
25∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝，49
25由－π<x <0知，sin x <0，
又sin x cos x ＝－<0，12
25∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，
故sin x －cos x ＝－.
7
5∴
＝
sin 2x ＋2sin2x 1－tan x
2sin x (cos x ＋sin x )
1－
sin x cos x
＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x ＝
＝－.
－2425×15
75
24175
课时精练
1．cos
等于( )
(
－
19π
3)
A ．－
B ．－3
212C.
D.1232
答案　C
解析　cos
＝cos (
－19π
3)
19π
3
＝cos
＝cos ＝.
(
6π＋
π
3)
π
31
22．若cos 165°＝a ，则tan 195°等于( )
A.
B.
1－a 21－a 2
a
C ．－
D ．－1－a 2
a
a
1－a 2
答案　C
解析　若cos 165°＝a ，则cos 15°＝cos(180°－165°)＝－cos 165°＝－a ，sin 15°＝，
1－a 2所以tan 195°＝tan(180°＋15°)
＝tan 15°＝sin 15°
cos 15°
＝－
.1－a 2a
3．若cos ＝，则sin 等于( )
(α－
π
5)5
13(7π
10－α)A ．－ B ．－5131213
C. D.1213513
答案　D
解析　因为－α＋
＝，
7π10(α－
π5)π
2所以－α＝－
，
7π10π2(α－π
5)所以sin ＝cos ＝.
(7π10
－α)(α－π5)5
13
4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于( )
21
tan αA ．2 B. C ．－2 D ．－1
21
2答案　A
解析　由已知得1＋2sin αcos α＝2，
∴sin αcos α＝，
1
2∴tan α＋＝＋1
tan αsin αcos αcos α
sin α
＝＝＝2.
sin2α＋cos2α
sin αcos α1
1
25．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sin C
B ．sin ＝cos B ＋C
2A
2C ．tan(A ＋B )＝－tan C (
C ≠
π2)
D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案　ABC
解析　在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确．
sin ＝sin ＝cos ，B 正确．
B ＋
C 2(π2
－
A 2)A
2tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C
，
(C ≠π2)C 正确．
cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．
6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则( )1
5A.<α<π
π2B ．sin αcos α＝－12
25
C ．cos α－sin α＝7
5
D ．cos α－sin α＝－7
5答案　ABD
解析　∵sin α＋cos α＝，1
5等式两边平方得
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
1
25解得sin αcos α＝－，故B 正确；
12
25∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－<0，12
25∴α∈，故A 正确；(π
2，π)cos α－sin α<0，
且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α
＝1－2×
＝，
(－
1225)49
25解得cos α－sin α＝－，故D 正确．
7
57．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .
答案　0
解析　因为cos(180°－α)＝－cos α，于是得
cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1°＝cos 90°＝0.
8．设f (θ)＝
，则f ＝
.
2cos2θ＋sin2(2π－θ)＋sin (π
2
＋θ)
－3
2＋2cos2(π＋θ)＋cos (－θ)
(17π
3)
答案　－5
12
解析　∵f (θ)＝
2cos2θ＋sin2θ＋cos θ－3
2＋2cos2θ＋cos θ
＝，
cos2θ＋cos θ－22cos2θ＋cos θ＋2又cos ＝cos
17π3(
6π－
π3)
＝cos ＝，
π312∴f ＝＝－.
(17π3)
14＋12
－21
2＋12＋2
5129．(1)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，求
的值；
sin (
－α＋
3π
2)cos
(3π
2＋α)tan2(π－α)
cos (π2＋α)sin (π2－α)(2)已知sin x ＋cos x ＝－(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．7
13解　(1)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－，
2
3又α是第三象限角，所以cos α＝－，
2
3所以sin α＝－，tan α＝.
5
35
2所以原式＝
＝tan 2α＝.
－cos αsin αtan2α
－sin αcos α
5
4(2)∵sin x ＋cos x ＝－(0<x <π)，7
13∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0，
把sin x ＋cos x ＝－，
7
13两边平方得1＋2sin x cos x ＝，
49
169即2sin x cos x ＝－，
120
169∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝，
289
169即sin x －cos x ＝，17
13联立Error!
解得sin x ＝，cos x ＝－，
5
1312
13
∴cos x －2sin x ＝－.
22
1310．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)．
(1)求
的值；sin (α＋π)＋cos (α－π)sin (α＋π2)＋2cos (α－
π
2)
(2)若α是第二象限角，求sin 2
＋sin(π－α)cos α－cos 的值．
(
α＋
3π
2)
(π
2
＋α)解　(1)∵m ≠0，∴cos α≠0，即
sin (α＋π)＋cos (α－π)sin (α＋π
2)
＋2cos (α－π
2)
＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝.
－tan α－11＋2tan α又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)，
∴tan α＝＝－2，－6m
3m 故
sin (α＋π)＋cos (α－π)sin (α＋π2)＋2cos (α－
π
2)
＝－tan α－11＋2tan α
＝＝－.2－1
1＋2×(－2)1
3(2)∵α是第二象限角，∴m <0，
则sin α＝－6m
(3m )2＋(－6m )2＝－6m 35|m |＝，
255cos α＝3m
(3m )2＋(－6m )2
＝3m 35|m |
＝－，55∴sin 2
＋sin(π－α)cos α－cos (
α＋
3π
2)(π
2
＋α)
＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α
＝
2＋×
＋(－
55)
25
5(－
5
5)
25
5
＝
.
－
1＋255
11．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式＋
(k ∈Z )的取值可能
sin (α＋k π)
sin α
cos (α＋k π)cos α
为( )A ．－2 B ．－1或1C ．2 D ．－2或2或0
答案　AC
解析　当k 为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；
－sin α
sin α－cos αcos α当k 为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.sin α
sin αcos α
cos α∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则
等于( )
sin (
－α－
3π2)sin (3π
2－α)tan2(2π－α)cos (π2－α)cos (π
2＋α)sin (π＋α)
A. B. C. D.3
55
34
55
4答案　B
解析　方程5x 2－7x －6＝0的两根为
x 1＝－，x 2＝2，则sin α＝－.
3
53
5原式＝＝－＝.
cos α(－cos α)tan2α
sin α(－sin α)(－sin α)1
sin α5
3
13．曲线y ＝e x ＋x 2－x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin
＝
.
2
3(
2α＋
π
2)
答案　45
解析　由题意得y ′＝f ′(x )＝e x ＋2x －，
2
3所以f ′(0)＝e 0－＝，
231
3所以tan α＝，1
3所以α∈
，
(0，
π
2)所以cos α＝，310所以sin
(
2α＋
π2
)
＝cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝.
9
104
514．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝
.
答案　75
解析　由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝，1
2所以3sin 2α＋2sin αcos α＝3sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝
3tan2α＋2tan α1＋tan2α＝3×
14＋2×12
1＋
1
4
＝.
75
15．(多选)已知f (α)＝，则下列说法正确的是( )
2sin αcos α－2
sin α＋cos α＋1(
0≤α≤
π
2)
A ．f (α)的最小值为－2
B ．f (α)的最小值为－1
C ．f (α)的最大值为－12
D ．f (α)的最大值为1－2答案　BD
解析　设t ＝sin α＋cos α＝sin
，
2(α＋
π
4)由0≤α≤，π
2得≤α＋≤，π
4π
43π
4则1≤t ≤，
2又由(sin α＋cos α)2＝t 2，得2sin αcos α＝t 2－1，
所以f (α)＝g (t )＝
＝t －1－，
t 2－1－2
t ＋12
t ＋1又因为函数y ＝t －1和y ＝－在[1，]上单调递增，
2
t ＋12所以g (t )＝t －1－在[1，]上单调递增，2
t ＋12g (t )min ＝g (1)＝－1，g (t )max ＝g ()＝1－.
2216．已知关于x 的方程2x 2－(＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
3(1)＋的值；
sin2θsin θ－cos θcos θ
1－tan θ(2)m 的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解　(1)原式＝＋
sin2θ
sin θ－cos θcos θ
1－
sin θcos θ
＝＋sin2θsin θ－cos θcos2θ
cos θ－sin θ
＝sin2θ－cos2θsin θ－cos θ
＝sin θ＋cos θ.
由已知得sin θ＋cos θ＝，3＋12所以＋＝.sin2θsin θ－cos θcos θ
1－tan θ3＋12(2)由已知得sin θcos θ＝，
m
2因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋m ＝2，
(3＋12)解得m ＝.3
2(3)联立Error!
解得Error!
或Error!
因为θ∈(0,2π)，所以θ＝或.π3π
6。