陕西省汉中市陕飞二中2014届高三高考数学复习学案三角函数的图像与性质

[最新考纲]
1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性．
2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2上的性质. 辨 析 感 悟
1．周期性的判断
(1)、由sin(30°＋120°)＝sin 30°知，120°是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．(×)
(2)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为π2.(√) 2．判断奇偶性与对称性
(3)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋3π2是奇函数．(×) (4)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．(×)
考点一 三角函数的定义域、值域问题
【例1】、1）、已知函数f (x )＝6cos 4 x ＋5sin 2x －4cos 2x
，求f (x )的定义域和值域． (2)、函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．
(3)、当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________， 最大值是________．
3）、y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2 x －sin x ＋1=2（sinx-41）2 +87∈[8
7，2] 规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助
三角函数线或三角函数图像来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x 和cos x 的值域直接求．
②把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域．
③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．
考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性
【例2】 (1)、函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π4－1是( )． A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π2的奇函数
D ．最小正周期为π2的偶函数
(2)、函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.
(3)、如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值 为( )．
A ．π6
B ．π4
C ．π3
D ．π2
解析 (1)y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π.
2）、由3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z ) 又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4
. 由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＋φ＋2π 3)、由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.
考点三 三角函数的单调性
【例3】、设函数f (x )＝sin(－2x ＋φ)(0＜φ＜π)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线
x ＝π8.
(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．
(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋3π4＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －3π4， 由－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，
由π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ，
故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )； 单调减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π(k ∈Z )． 规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)
形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x
的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
例4、已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x
. (1)、求f (x )的定义域及最小正周期； (2)、求f (x )的单调递减区间．
解 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }，
f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x ＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π4－1，
(2)由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，且x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8
(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． 考点四、三角函数的最值(或值域)问题
例5、已知向量a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)、求f (x )的最小正周期；
(2)、求f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解、f (x )＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6 (1)、f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，
(2∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.
当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，∴f (x )的最小值为－12
练习题：
一、选择题
1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )． C
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为2π的偶函数
C ．最小正周期为π的奇函数
D ．最小正周期为π的偶函数
2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ωx ＋π6－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图像的一条对称轴方程是( )．
A ．x ＝π9
B ．x ＝π6
C ．x ＝π3
D ．x ＝π2
解析 依题意得，2π|ω|＝2π3，因此ω＝3，
所以3x ＋π6＝k π＋π2，解得x ＝k π3＋π9，当k ＝0时，x ＝π9.
3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．
A ．0
B ．π6
C ．π4
D ．π3
解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．
4．已知f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为
( )．
A ．π，[0，π]
B ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4
C ．π，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π8，3π8 D ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 解析 由f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x 2
＋12sin 2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭
⎪⎫22sin 2x －22cos 2x ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. ∴T ＝2π2＝π.又∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，
∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间．故选C.
6、设ω＞0，m ＞0，若函数f (x )＝m sin ωx 2cos ωx 2在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是( )．
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23
B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32
C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞
D ．[1，＋∞)
解析 若函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则T 2＝πω≥π3＋π3＝2π3，即ω∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，32. 7．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )． A ．23 B ．32 C ．2
D ．3
解析 ∵f (x )＝2sin ωx (ω＞0)的最小值是－2，此时ωx ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴x ＝2k πω
－π2ω，
k ∈Z ，∴－π3≤2k πω－π2ω≤0，k ∈Z ，∴ω≥－6k ＋32且k ≤0，k ∈Z ，∴ωmin
＝32.
二、填空题
8．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．
解析 要使函数有意义必须有⎩
⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π＜x ＜π＋2k π(k ∈Z )，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3
＋2k π(k ∈Z )， 9．函数y ＝sin x ＋1sin x (0＜x ＜π)的最小值为________．
解析 令sin x ＝t ∈(0,1]，则函数y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]．又y ＝1＋1t 在t ∈(0,1]上是
减函数，所以当t ＝1时，y 取得最小值2.
10．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图像的对称中心完
全相同，
若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是______． 解析 由两三角函数图像的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，
所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，3. 11．已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x
＞cos x 时，f (x )＝sin x . 给出以下结论：
①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；
③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；
④当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0；
⑤f (x )的图像上相邻两个最低点的距离是2π.
其中正确的结论序号是________． ①④⑤.
解析 易知函数f (x )是周期为2π的周期函数．
函数f (x )在一个周期内的图像如图所示．
由图像可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最
小值；
当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0；
f (x )的图像上相邻两个最低点的距离是2π.
12．已知函数f (x )＝3(sin 2 x －cos 2x )－2sin x cos x .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)设x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π3，求f (x )的单调递增区间． 解 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2 x )－2sin x cos x ＝－3cos 2x －sin 2x ＝－
2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3， (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴－π3≤2x ＋π3≤π，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π12，π3. 13、已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；
(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．
解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，
∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．
(2)∵0≤x≤π，∴π
4≤x＋
π
4≤
5π
4，。