2015-2016学年江西省南昌市高三(上)摸底数学试卷(理科)(解析版)
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x
2． （5 分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（ A．y＝x
2
B．y＝﹣x
3
C．y＝﹣lg|x|
D．y＝2
3． （5 分） 已知{an}为等差数列， 其前 n 项和为 Sn， 若 a3＝6， S3＝12， 则公差 d 等于 （ A．1 B． ＝（ C．2 ） C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i D．3
20． （12 分）已知抛物线 C1：y ＝4x 和 C2：x ＝2py（p＞0）的焦点分别为 F1，F2，点 P（﹣ 1，﹣1） ，且 F1F2⊥OP（O 为坐标原点） ． （I）求抛物线 C2 的方程； （II）过点 O 的直线交 C1 的下半部分于点 M，交 C2 的左半部分于点 N，求△PMN 面积 的最小值． 21． （12 分）已知函数 ，其中 k∈R 且 k≠0．
2015-2016 学年江西省南昌市高三（上）摸底数学试卷（理科）
一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． ） 1． （5 分）已知 A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x＞3}，则 A∩B＝（ A．{x|﹣2＜x＜4} B．{x|x＞3} C．{x|3＜x＜4} ） D．{x|﹣2＜x＜3} ）
2
2
（1）求函数 f（x）的单调区间； （2）当 k＝1 时，若存在 x＞0，使 1nf（x）＞ax 成立，求实数 a 的取值范围．
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请考生在下列两题中任选一题作答． 若两题都做， 则按做的第一题评阅计分， 本题共 5 分． （平 面几何选讲） 22． （10 分） 已知 AB 为半圆 O 的直径， AB＝4， C 为半圆上一点， 过点 C 作半圆的切线 CD， 过点 A 作 AD⊥CD 于 D，交半圆于点 E，DE＝1． （Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD； （Ⅱ）求 BC 的长．
ห้องสมุดไป่ตู้
11． （5 分）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上，且 AB＝6，BC＝2 则棱锥 O﹣ABCD 的侧面积为（ A．20+8 B．44 ） C．20 D．46
12． （5 分）设函数 y＝f（x） （x∈R）的导函数为 f′（x） ，且 f（x）＝f（﹣x） ，f′（x）＜f （x） ，则下列不等式成立的是（ A．f（0）＜e f（1）＜e f（2） C．e f（2）＜e f（1）＜f（0）
第 2 页（共 13 页）
． ＝ ．
三、解答题：本大题共 6 个题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （12 分）某购物网站为了解顾客对某商品的满意度，随机调查 50 名顾客对该商品的评 价，具体数据如下 评分 人数 1 x 2 20 3 10 4 5 5 y
已知这 50 位顾客中评分小于 4 分的顾客占 80%． （Ⅰ）求 x 与 y 的值； （Ⅱ）若将频率视为概率，现从对该商品作出了评价的顾客中，随机抽取一位，记该顾 客的评分为 X，求随机变量 X 的分布列一与数学期望． 18． （12 分）在锐角△ABC 中， ＝（sinA，cosA） ， ＝（ （I）求角 A 的大小 （Ⅱ）求 cos2B+4cosAsinB 的取值范围． 19． （12 分）在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 ABB1A1 为矩形，AB＝2，AA1＝2 AA1 的中点，BD 与 AB1 交于点 O，且 CO⊥平面 ABB1A1． （1）证明：CD⊥AB1； （2）若 OC＝OA，求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值． ，D 是 ，﹣1） ， • ＝ 1．
（坐标系与参数方程） 23．已知曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数） ，在同一平面直角坐标系中，将曲线
C 上的点按坐标变换
得到曲线 C′．
（1）求曲线 C′的普通方程； （2）若点 A 在曲线 C′上，点 B（3，0） ，当点 A 在曲线 C′上运动时，求 AB 中点 P 的轨迹方程． （不等式选讲） 24．函数 f（x）＝ ．
）
4． （5 分）设 i 为虚数单位，则复数 A．1+2i B．1﹣2i
5． （5 分）在样本颇率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于 它 8 个长方形的面积和的 ，且样本容量为 140，则中间一组的频数为（ A．28 B．40 C．56 ，则△ABC 的面积为（ C．6 D． D．60 ） ）
6． （5 分）在△ABC 中，sinA＝ ， A．3 B．4
7． （5 分）设 a，b 是平面 α 内两条不同的直线，l 是平面 α 外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b” 是“l⊥α”的（ A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 8． （5 分） A．12 的展开式中的常数项为（ B．﹣12 ） C．6 D．﹣6 ） ）
9． （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
第 1 页（共 13 页）
A．112
B．80
2
C．72
D．64 ＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦 ） +1 ，
10． （5 分）已知抛物线 y ＝2px（p＞0）与双曲线
点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ A． +2 B． +1 C． +1 D．
2
﹣1 ﹣1
） B．e f（1）＜f（0）＜e f（2） D．e f（2）＜f（0）＜e f（1）
2
﹣1 ﹣1
2
2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． （5 分）设 θ 为第二象限角，若 tan（θ+
x x
）＝ ，则 cosθ＝
．
14． （5 分）若函数 f（x）＝4 ﹣a•2 +1 在区间[﹣1，1]上至少有一个零点，则实数 a 的取值 范围是 ．
15． （5 分）在边长为 2 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M，用随机模拟方法来估计 不规则图形的面积．若在正方形 ABCD 中随机产生了 10000 个点，落在不规则图形 M 内 的点数恰有 2000 个，则在这次模拟中，不规则图形 M 的面积的估计值为 16． （5 分） 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且 a1+a3＝ ， a2+a4＝ ， 则
2． （5 分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（ A．y＝x
2
B．y＝﹣x
3
C．y＝﹣lg|x|
D．y＝2
3． （5 分） 已知{an}为等差数列， 其前 n 项和为 Sn， 若 a3＝6， S3＝12， 则公差 d 等于 （ A．1 B． ＝（ C．2 ） C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i D．3
20． （12 分）已知抛物线 C1：y ＝4x 和 C2：x ＝2py（p＞0）的焦点分别为 F1，F2，点 P（﹣ 1，﹣1） ，且 F1F2⊥OP（O 为坐标原点） ． （I）求抛物线 C2 的方程； （II）过点 O 的直线交 C1 的下半部分于点 M，交 C2 的左半部分于点 N，求△PMN 面积 的最小值． 21． （12 分）已知函数 ，其中 k∈R 且 k≠0．
2015-2016 学年江西省南昌市高三（上）摸底数学试卷（理科）
一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． ） 1． （5 分）已知 A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x＞3}，则 A∩B＝（ A．{x|﹣2＜x＜4} B．{x|x＞3} C．{x|3＜x＜4} ） D．{x|﹣2＜x＜3} ）
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（1）求函数 f（x）的单调区间； （2）当 k＝1 时，若存在 x＞0，使 1nf（x）＞ax 成立，求实数 a 的取值范围．
第 3 页（共 13 页）
请考生在下列两题中任选一题作答． 若两题都做， 则按做的第一题评阅计分， 本题共 5 分． （平 面几何选讲） 22． （10 分） 已知 AB 为半圆 O 的直径， AB＝4， C 为半圆上一点， 过点 C 作半圆的切线 CD， 过点 A 作 AD⊥CD 于 D，交半圆于点 E，DE＝1． （Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD； （Ⅱ）求 BC 的长．
ห้องสมุดไป่ตู้
11． （5 分）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上，且 AB＝6，BC＝2 则棱锥 O﹣ABCD 的侧面积为（ A．20+8 B．44 ） C．20 D．46
12． （5 分）设函数 y＝f（x） （x∈R）的导函数为 f′（x） ，且 f（x）＝f（﹣x） ，f′（x）＜f （x） ，则下列不等式成立的是（ A．f（0）＜e f（1）＜e f（2） C．e f（2）＜e f（1）＜f（0）
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． ＝ ．
三、解答题：本大题共 6 个题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （12 分）某购物网站为了解顾客对某商品的满意度，随机调查 50 名顾客对该商品的评 价，具体数据如下 评分 人数 1 x 2 20 3 10 4 5 5 y
已知这 50 位顾客中评分小于 4 分的顾客占 80%． （Ⅰ）求 x 与 y 的值； （Ⅱ）若将频率视为概率，现从对该商品作出了评价的顾客中，随机抽取一位，记该顾 客的评分为 X，求随机变量 X 的分布列一与数学期望． 18． （12 分）在锐角△ABC 中， ＝（sinA，cosA） ， ＝（ （I）求角 A 的大小 （Ⅱ）求 cos2B+4cosAsinB 的取值范围． 19． （12 分）在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 ABB1A1 为矩形，AB＝2，AA1＝2 AA1 的中点，BD 与 AB1 交于点 O，且 CO⊥平面 ABB1A1． （1）证明：CD⊥AB1； （2）若 OC＝OA，求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值． ，D 是 ，﹣1） ， • ＝ 1．
（坐标系与参数方程） 23．已知曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数） ，在同一平面直角坐标系中，将曲线
C 上的点按坐标变换
得到曲线 C′．
（1）求曲线 C′的普通方程； （2）若点 A 在曲线 C′上，点 B（3，0） ，当点 A 在曲线 C′上运动时，求 AB 中点 P 的轨迹方程． （不等式选讲） 24．函数 f（x）＝ ．
）
4． （5 分）设 i 为虚数单位，则复数 A．1+2i B．1﹣2i
5． （5 分）在样本颇率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于 它 8 个长方形的面积和的 ，且样本容量为 140，则中间一组的频数为（ A．28 B．40 C．56 ，则△ABC 的面积为（ C．6 D． D．60 ） ）
6． （5 分）在△ABC 中，sinA＝ ， A．3 B．4
7． （5 分）设 a，b 是平面 α 内两条不同的直线，l 是平面 α 外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b” 是“l⊥α”的（ A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 8． （5 分） A．12 的展开式中的常数项为（ B．﹣12 ） C．6 D．﹣6 ） ）
9． （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
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A．112
B．80
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C．72
D．64 ＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦 ） +1 ，
10． （5 分）已知抛物线 y ＝2px（p＞0）与双曲线
点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ A． +2 B． +1 C． +1 D．
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﹣1 ﹣1
） B．e f（1）＜f（0）＜e f（2） D．e f（2）＜f（0）＜e f（1）
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﹣1 ﹣1
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二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． （5 分）设 θ 为第二象限角，若 tan（θ+
x x
）＝ ，则 cosθ＝
．
14． （5 分）若函数 f（x）＝4 ﹣a•2 +1 在区间[﹣1，1]上至少有一个零点，则实数 a 的取值 范围是 ．
15． （5 分）在边长为 2 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M，用随机模拟方法来估计 不规则图形的面积．若在正方形 ABCD 中随机产生了 10000 个点，落在不规则图形 M 内 的点数恰有 2000 个，则在这次模拟中，不规则图形 M 的面积的估计值为 16． （5 分） 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且 a1+a3＝ ， a2+a4＝ ， 则