利用三角函数解实际中的方位角、坡角问题课件(共18张PPT)
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You made my day!
我们，还在路上……
AE 3 ∴AE=3BE=3CF=66.84(m),
AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
=66.84+6+55.71 = 128.55≈128.6 (m).
知2－讲
(2)横截面的面积 S1BCADCF
2
16128.5522.28
2 1498.9(m2)，
需用土石方V=Sl=1498.9×150=224835（m3）.
（来自《点拨》）
知1－练
1 (中考·河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北 方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的 N处，则N处与灯塔P的距离为( ) A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西 方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直 线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏 西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该 船的速度应该是( )海里/小时． A．10 B．5
∵cos ∠BCD＝ C D , BC
∴BC＝ cos CD BCDco4 s0 55。 70.2(米 ).
∴t甲≈
57.21038.6(秒), 2
t乙≈
70.2 2
35.1(秒).
∴t甲＞t乙．∴乙先到达B处．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，即将求时间问题转化 为求线段长度的问题．
知2－讲
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，建 造这个大坝需用土石方约为224835m³.
总结
知2－讲
解决坡度问题时，可适当天家辅助线，将梯形 分割为直角三角形和矩形来解决问题.
（来自《点拨》）
知2－练
1 小明沿着与地面成30°角的坡面向下走了2米，那么 他下降了( ) A．1米 B. 3 米 C．2 3 米 D. 2 3 米 3
（来自《典中点》）
1.坡角是坡面与水平面间的夹角；坡度(或坡比)是坡面的 铅垂高度与水平长度的比.
2.坡度与坡角的关系是坡度越大，坡角就越大，坡面就越 陡；坡角的正切值等于坡比.
3.解决与方位角有关的实际问题时，必须在每个位置中心 建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数， 最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题．
1.必做:完成教材P14作业题B组T5，T6，P23 作业题A组T3，B组T5，P25课内练习T2
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
C．10 3 D．5 3（来自《典中点源自）知识点 2 坡角的应用问题
知2－讲
坡比、坡角：
如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡
比，坡面与___水__平__面___的夹角叫做坡角，记做α.
坡比与坡角的关系是 i h tan ，因而坡比越大，
l 坡角α就____越__大____，坡面就越陡.
BC
D
解：如上图，作BE⊥AD,CF⊥AD,点E,F为垂足. 在Rt△CFD中， tanDCF 1 0.4, FD 2.5 ∴∠D≈21°48′.
∴CF=CD×sinD=60×sin21°48′≈22.28（m），
DF=CD×cosD=60×cos21°48′≈55.71（m）. ∵ BE 1 ,
知2－讲
例2 水库堤坝的横断面是梯形（如图).测得BC长为6m，CD长
为60m，斜坡CD的坡比为1 : 2.5,斜坡AB的坡比为1 : 3.求：
(1) 斜坡CD的坡角∠D和坝底AD的宽（角度精确到1′，宽
度精 确到0.1 m).
(2)若堤坝长150 m，则建造这个堤坝需用多少土石方(精
确到1m3)？
2 (14·凉山州)拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡 比是1∶ 3 , 坝高BC＝10 m，则坡面AB的长度是( ) A．15 m B．20 3 m C．10 3 m D．20 m
（来自《典中点》）
知2－练
3 (中考·怀化)如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处 所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面高度为 h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°.
第1章 解直角三角形
1.2 锐角三角函数的计算
第2课时 利用三角函数解实际中 的方位角、坡角问题
1 课堂讲解 2 课时流程
方位角的应用问题 坡角的应用问题
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 方位角的应用问题
知1－讲
方位角：如图所示，在平面上过观测点O画一条水平线 (向右为东方)和一条铅垂线(向上为北方)，则从点O出发 的视线与_铅__垂__线__(_南__北__方__向__线__)_ 的夹角，叫做方角．例如，图 中点A的方向为北偏东30°， 点B的方向为南偏西45° (或称 为西南方向)．
（来自《点拨》）
知1－讲
解析：在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长， 进而分别求得甲、乙到达B处所用的时间，比较二者 的大小即可．
（来自《点拨》）
解： 乙先到达B处．
知1－讲
理由：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.
∵tan ∠BCD＝ B D , CD
∴BD＝CD·tan ∠BCD＝40×tan 55°≈57.2(米)．
知1－讲
例1〈浙江温州〉某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看成直线l(如图)． 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处 有人发出求救信号．他立即沿AB方向前往救援，同时通知正在海 岸线上巡逻的救生员乙，乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲 在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米， B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳 速度都是2米/秒．问谁先到达B处？请说 明理由．(参考数据：sin 55°≈0.82， cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
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我们，还在路上……
AE 3 ∴AE=3BE=3CF=66.84(m),
AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
=66.84+6+55.71 = 128.55≈128.6 (m).
知2－讲
(2)横截面的面积 S1BCADCF
2
16128.5522.28
2 1498.9(m2)，
需用土石方V=Sl=1498.9×150=224835（m3）.
（来自《点拨》）
知1－练
1 (中考·河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北 方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的 N处，则N处与灯塔P的距离为( ) A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西 方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直 线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏 西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该 船的速度应该是( )海里/小时． A．10 B．5
∵cos ∠BCD＝ C D , BC
∴BC＝ cos CD BCDco4 s0 55。 70.2(米 ).
∴t甲≈
57.21038.6(秒), 2
t乙≈
70.2 2
35.1(秒).
∴t甲＞t乙．∴乙先到达B处．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，即将求时间问题转化 为求线段长度的问题．
知2－讲
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，建 造这个大坝需用土石方约为224835m³.
总结
知2－讲
解决坡度问题时，可适当天家辅助线，将梯形 分割为直角三角形和矩形来解决问题.
（来自《点拨》）
知2－练
1 小明沿着与地面成30°角的坡面向下走了2米，那么 他下降了( ) A．1米 B. 3 米 C．2 3 米 D. 2 3 米 3
（来自《典中点》）
1.坡角是坡面与水平面间的夹角；坡度(或坡比)是坡面的 铅垂高度与水平长度的比.
2.坡度与坡角的关系是坡度越大，坡角就越大，坡面就越 陡；坡角的正切值等于坡比.
3.解决与方位角有关的实际问题时，必须在每个位置中心 建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数， 最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题．
1.必做:完成教材P14作业题B组T5，T6，P23 作业题A组T3，B组T5，P25课内练习T2
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
C．10 3 D．5 3（来自《典中点源自）知识点 2 坡角的应用问题
知2－讲
坡比、坡角：
如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡
比，坡面与___水__平__面___的夹角叫做坡角，记做α.
坡比与坡角的关系是 i h tan ，因而坡比越大，
l 坡角α就____越__大____，坡面就越陡.
BC
D
解：如上图，作BE⊥AD,CF⊥AD,点E,F为垂足. 在Rt△CFD中， tanDCF 1 0.4, FD 2.5 ∴∠D≈21°48′.
∴CF=CD×sinD=60×sin21°48′≈22.28（m），
DF=CD×cosD=60×cos21°48′≈55.71（m）. ∵ BE 1 ,
知2－讲
例2 水库堤坝的横断面是梯形（如图).测得BC长为6m，CD长
为60m，斜坡CD的坡比为1 : 2.5,斜坡AB的坡比为1 : 3.求：
(1) 斜坡CD的坡角∠D和坝底AD的宽（角度精确到1′，宽
度精 确到0.1 m).
(2)若堤坝长150 m，则建造这个堤坝需用多少土石方(精
确到1m3)？
2 (14·凉山州)拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡 比是1∶ 3 , 坝高BC＝10 m，则坡面AB的长度是( ) A．15 m B．20 3 m C．10 3 m D．20 m
（来自《典中点》）
知2－练
3 (中考·怀化)如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处 所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面高度为 h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°.
第1章 解直角三角形
1.2 锐角三角函数的计算
第2课时 利用三角函数解实际中 的方位角、坡角问题
1 课堂讲解 2 课时流程
方位角的应用问题 坡角的应用问题
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 方位角的应用问题
知1－讲
方位角：如图所示，在平面上过观测点O画一条水平线 (向右为东方)和一条铅垂线(向上为北方)，则从点O出发 的视线与_铅__垂__线__(_南__北__方__向__线__)_ 的夹角，叫做方角．例如，图 中点A的方向为北偏东30°， 点B的方向为南偏西45° (或称 为西南方向)．
（来自《点拨》）
知1－讲
解析：在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长， 进而分别求得甲、乙到达B处所用的时间，比较二者 的大小即可．
（来自《点拨》）
解： 乙先到达B处．
知1－讲
理由：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.
∵tan ∠BCD＝ B D , CD
∴BD＝CD·tan ∠BCD＝40×tan 55°≈57.2(米)．
知1－讲
例1〈浙江温州〉某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看成直线l(如图)． 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处 有人发出求救信号．他立即沿AB方向前往救援，同时通知正在海 岸线上巡逻的救生员乙，乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲 在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米， B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳 速度都是2米/秒．问谁先到达B处？请说 明理由．(参考数据：sin 55°≈0.82， cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)