高中数学上学期同步测试第3单元 湘教版选修21高二

A
B
1 图
2010—2011学年度上学期单元测试
高二数学试题【湘教版】选修2-1第3单元
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）。

1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，
若=，=，=.则下列向量中与相
等的向量是（）
A．B．
C．D．
2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是）A．B．
C．D．
3．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°
4．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是
（）
A．B．
C．D．
5．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）
A．B．
C．D．
6．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和
之间的距离（）
A．B． C ．D．
7．已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧
棱的中点。

点到平面的距离（）
A．B．
C ． D．
8．在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离（
A．B． C ．D．
9．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC
ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值
A．B．C．D．
10．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD 上的射影是的重心G。

则与平面ABD所成角的余弦值
（）
A．B． C ．D．
11．正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小
（）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，。

则三棱锥的体
积V （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。

13．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离 。

14． 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离 。

15．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面
DBEF 的距离 。

16．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所
成角的正弦值 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共74分)。

17．（12分））如图，已知正方体的棱长为a ，M 为的中点，点N 在'上，且，试求MN 的长．
18．（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（，0），
点D 在平面yOz 上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.
（1）求向量的坐标；
（2）设向量和的夹角为θ，求cos θ的值
19．（12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠
BAD=90°，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD
与底面成30°角．
（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；
（2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值。

20．（12分）
如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与
重合，求线段的长。

21．（14分）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点，求：
（Ⅰ）D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小；
（Ⅱ）二面角D －BC 1－C 的大小；
（Ⅲ）异面直线B 1D 1与BC 1之间的距离．
22．（14分）如图5：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，过线段BD 1上一点P （P 平面ACB 1）作垂直于D 1B 的平面
分别交过D 1的三条棱于E 、F 、G 。

（1）求证：平面EFG ∥平面A CB 1，并判断三角形类型；
（2）若正方体棱长为a ，求△EFG 的最大面积，并求此时EF 与B 1C 的距离。

参考答案
一、选择题 AABAA CABDB AC
二、填空题
13．；14．；15．1；16．。

三、解答题
17．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为
正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ）
，
（0，a，a），（0，0，a）．
由于M为的中点，取中点O'，所以M（，，），O'（，，a）．因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N（，，a）．
根据空间两点距离公式，可得
．
18．解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.
OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－.
∴D点坐标为（0，－），即向量OD[TX→]的坐标为{0，－}.
（2）依题意：，
所以.
设向量和的夹角为θ，则
cosθ=.
19．（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．
（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）．
∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．
于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E（0，a）
于是，={－a，a，0}
设与的夹角为θ，则由
cosθ=
AE与CD所成角的余弦值为．
评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．
20．（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为=
及H是EF的中点，所以,
又因为平面平面.
如图建立空间直角坐标系A-xyz
则（2，2，），C（10，8，0），
F（4，0，0），D（10，0，0）.
故=（-2，2，2），=（6，0，0）.
设=（x,y,z）为平面的一个法向量，
-2x+2y+2z=0
所以
6x=0.
取，则。

又平面的一个法向量，
故。

所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）解：设则，
因为翻折后，与重合，所以，
故，，得，
经检验，此时点在线段上，
所以。

方法二：
（Ⅰ）解：取线段的中点,的中点,连结。

因为=及是的中点，
所以
又因为平面平面，
所以平面,
又平面,
故，
又因为、是、的中点，
易知∥，
所以，
于是面，
所以为二面角的平面角，
在中，=，=2，=
所以.
故二面角的余弦值为。

（Ⅱ）解：设,
因为翻折后，与重合，
所以，
而，
得，
经检验，此时点在线段上，
所以。

21．解：建立坐标系如图，则、，，
，，，，，
，，．
（Ⅰ）不难证明为平面BC1D的法向量，Array∵
∴ D1E与平面BC1D所成的角的大小为
（即）．
（Ⅱ）、分别为平面BC1D、BC1C的法向量，
∵，∴二面角D－BC1－C的大小为．
（Ⅲ）∵ B1D1∥平面BC1D，∴ B1D1与BC1之间的距离为．
22．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC，EG∥B
向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了。

)
（1）分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1
证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，
0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（x E，0，a），F（0，y F，a），G（0，0，z G）。

∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－x E，y F，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），∵·=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0，
∴⊥，
同理⊥，
而与不共线且相交于点A，
∴⊥平面ACB 1，又已知⊥平面EFG ，
∴ 平面EFG ∥平面ACB 1；
又因为⊥平面EFG ，所以 ⊥，
则·=0，
即 (－a ，－a ，a)·(－x E ，y F ，0)=0，
化简得 x E －y F =0；
同理 x E －z G =0, y F －z G =0，
易得 ==，
∴ △EFG 为正三角形。

（2）解：因为△EFG 是正三角形，显然当△EFG 与
△ A 1C 1D 重合时，△EFG 的边最长，其面积也最大，
此时，=A 1C 1=·a ，
∴=
= ·sin600
= (·a)2·
=·a2 。

此时EF 与B 1C 的距离即为A 1C 1与B 1C 的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B 1到平面 A 1C 1D 的距离，记A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，作O 1H ∥D 1B 并交BB 1于点H ，则O 1H ⊥平面A 1C 1D ，垂足为O 1，则O 1(，，a)，H(a ，a ，)，而作为平面A 1C 1D 的法向量，
所以异面直线EF 与B 1C 的距离设为d 是
d = ==·a 。

(证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K 与J ，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO 1，OB 1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了。

)。