【高等数学】概率论与数理统计-随机变量及其分布专项试卷及答案解析

+ +c (4）在一元二次方程 x2 Bx
= 0中， B,C 分别是将一枚假子接连掷两次先后出现
的两个点数．试求：
< I ）该方程有实根的概率ρ；
( 11)该方程有重根的概率 q.
(5）设随机变盘X服从参数为1的指数分布．试求：
< I )Y1 = I XI的分布函数F1 (y);
+ ( JI )Y2 = 3X 2的概率密度f2 (y).
lb=+·
( 1a
＝
1’ 言
CD）斗
． ll b
一 一 一
－3 2
.
(2）设随机变量X满足XJ ～N(l, 7勺，记标准正态分布函数为φ（叫，则P{l<X<Z}
的值为
(A）φ（ 2 ）一 φCl). (B）φ（;fi）一 φ(1). (C）φ(1 ）一0. 5.
．．
CD）φ（；／3） 一φ（;fi).
t 若 P{X ζ2} = ，则 P{X =3} =
(3）设某时间段内通过路口的车流盐X服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率 为土，则这段时间内至少有两辆车通过的概率为
(4 ）设随机变:Lt 草在 (1,6 ）上服从均匀分布，则方程x2 十位＋ l=O 有实根的概率是
3. 解答题 (1）设随机变量X服从参数为 λ 以＞ 0 ）的指数分布，且 P{X ζ1} ＝÷，试求：
＝巾巧l}= F（乎）
!2 (y) ＝ 川 ＝ 叫乎） ＝ ti（平）
号l> O,
「O,
与气。，
3 ' y> 2,
即！2 (y) = 斗 3
lO,
yζ2.
随机变量及其分布
【答案】
l. Cl)A. C2)C. (3)B. (4)C. (5)A.
t· 引 Cl)e. (2 ）主 27'
(3)1- 1-. e
(4)
. Cl) C I )). = In 2;
C6)B.
(Il)P{X> 21 X> 1} ＝÷
Ln 、、，， 品－’γ y J F Y 、sf
－一
－一
、11〈jlr
。，“
nu
zun ’
〈 其
工〈 他
一－ 只m 随 机 变 量 Y X
的概率密
度fy (y） 为
」 < < ’ 0 y 2,
(A)fy (y) = z
、，，， C JB、 Jr y 、‘，， y ，，‘、
lO,
一一
Ll14－－r
τ i
n u
其他． O<y<l, 其他．
、‘，， UR JB、 J F －v 、‘，， y ，，、、 飞f D ，，2、 J F Y 、‘，， Y J、、
＝φCl） 一 职0) ＝φ(1） 一 ÷
C3)A 一一
打中靶，B
一一 1
选阳打，B
一一 2
选乙打，
ρ＝ P(A) =PCB 1 )PCA IB 1 ) +PCB2 )PCA I B2 )
+ = -12 Pi
+-21 Pz
_一 P1 Pz
一一一一
(4)yζ0时，Fy (y) = P{Yζy} =P{X2 三二y}=0.
< P{X二三2}=1- P{X 2}=1- P{X=O}-P{X=l}
_ 一 ,，
一 一 1 一 λ－I 归_-, e l!-
-－·-,
一一 2 e
(4）有实根，f-4二三0,
P｛ 俨 － 4注O}=P｛草＞::－,-- 2} +P｛草ζ－ 2}=66－- -一一12＋ o ＝二4
3. 0) CI )P{X� 1}= 1-P{X> l}=l-e-··1 ＝÷，即♂＝÷，解得λ＝ In
xdx = y -1.
O
y注2时，Fy ( y) =1.
[l, fy ( y ) = 斗
l<y<2, -
y
～
U(l,2).
lO，其他，
(]I)P{-l<Y＜
τ ｝= P{l 2
<y＜
一 3 ）＝ 2
一 3 － 2
1=
�. 2
(3) y ζ0时，Fy (y ) = P{Yζy}=P{X2 运y}=0.
(3）已知甲打靶命中率为ρ1CO ＜ ρI< 1），乙打靶命中率为扣（0 ＜ ρ2 < 1)，现从甲、乙
两人中只选 一 人打一发，设靶被打中的次数X～BO，川，则ρ 等于
(A)P1 十ρ2 .
∞咛血
(C)max（ρ1 ，ρ2 ).
A 哇
设 随 OH 变 量 X 的 密 度 函 数 为 JF X
CD)min（仇，ρ2 ).
O< y <l时，Fv Cy) =P{Yζy}=P{X2 ζy}
LJ － x E
A P －
J 。户 －
l l
Y／迦 ／电 J 一川
汕j Z＝j b
y
J
y二三1时，Fv (y) =1.
因此
F
Y
，，、
vd
飞 ／
一
rl－－－〈Il
n v
v 1EA d
y《O, O< y <l, y二三1.
(5)Y= min{X,2},X～UCO,1），所以 Y= min{X,2} = X.
。，u一一
tEEB〈－－r
Ey z nu ，
一一
Ll1J－－r
EY n
u
y〉 n u
y《 n u
Y> 0, yζ0.
(5）设随机变量X服从U(O,1），则随机变革·Y=min{X,2｝的分布函数Fy（川的间断
点个数为 (A)O.
(B)1.
(C)2.
(D)3.
(6 ）设随机变量X服从 U（←1, 1) ，则随机变革 Y =max{X, I X I ｝服从分布
C II )P{X>2 IX>l}=P{X>2-1}
=P{X>l｝＝÷
+ C2)CI ) yζl时，Fy ( y) = P{Y ζy}=P{X2 1ζy}=0.
l< y <2时，Fy (y ) =P{X2 ζy-1}
σ丁T = P｛－
ζXζJ歹=T}
I I 「./y=f
r ./y=f
= ./y=f I x I dx =2
L1l〈－－r
咱 牟1 i
n
呻 B
u？
〈 他
y〈Ln来自Cll)P{-l<Y<f ｝ ＝ ÷
」( _J_a...,/y ’ Y> 0,
(3)fy (y) = 2y'y
0,
y《 0.
(4)(l)p
＝一 19
36
’·
c II )q = l18_'
(5) CI )F1 (y) = 斗
lO,
、‘，， un ，，，、、 JF －’ 、‘，， Y JB、
C6)Y= max{X, IX I}=IX I.
y《0时，Fv ( y) = P{Yζy}=P{IXIζy}=0,
O< y <l时，Fv ( y) = P{Yζy}=P{IXIζy}
= P{- y � X� y) = f/Cx)d
y二三1时，Fv ( y ) =P{Yζy} = 1.
ι 2. （川 ＝ 二二 e-2 = ce写三 ＝ 的＝
(A)U(-1,1).
(B)U(O, 1).
(C)U(0,2).
CD）非均匀分布．
2. 填空题 (1）设随机 变量 X 的 概 率 分 布 为 P{X = k} =k二! e-2,k = 0,1,2， … ，则常数 c =
(2）设随机变量X的概率分布为 P{X =k} =190 一 创 刊 ， k = 1,2，… ，其中0<19<1,
得c=e
ω 专＝ P{X � 2) = P{X = l} + P{X =2) = e ＋ θCl 一的，得
e2 -ze+f =o,
解得O ＝ ÷或8 ＝ 专，又O<O<l，故。＝÷
（ ÷f x p { =3}= 0(1-0) 2 = +
＝多
(3）已知P{X=O}=- O;.oIe-, ＝一e ，解得λ＝ 1.
< I ） 参数A ;
(Il)P{X>Z IX> 1}.
(2）设随机变量X的概率密度为
令 Y＝ X
门
Y ）
附
一 叫 ） UD 一
十 L 试求
率 密 度 fy y
〈
Y飞
q
J’
飞艺 ？
ω
tl j卜
一l<x<L
其他．
(3）已知随机变iilX的概率密度为
＝专 f(x)
e- xi ， 一∞ 〈工〈＋∞
求 Y = x2 的概率密度．
一
－r l
3 I
t
e
－
－
n 〈
I
TH
lh
y> O, yζ0.
Y> 2, y《 2.
【提示】
τ 1. Cl)FC+=) = aF 1 C+=) -bF2 C＋＝），即l＝α －b .当α ＝ 3 ，b ＝ 一 亏2 时，F(x）满
足分布函数的充要条件．
< < < < < C2) P{l X 2} = P{l3 X3 8}= P{ 1 X3 ζ8} < = P{O X73 -一1ζ1}
学童E养成笔记与东二步拭档严这是E
B=5 时， C= 1,2 ， … ， h
B= 4 日才，C = 1,2 ， … ，4;
B=3 时，C=1,2;
B=2 时，c =1.
一 p _ 1－369 '
< II ）有重根，B2 -4C=0,q = P{B2 -4C= O}.
B=2 日才， C=1;
B=4 时，C=4.
一－ 一2
hua
一切
(5)( I )F1 (y)= P{Y1 ζy} = P{ IX Iζy}
= P{X《y} = F(x) ,F(x） 为X的分布函数．
所
以
F f飞 y 、，，，，
一
r － －
1 ·A
J
气
l l k
n u
ρiw y
y> O, yζ0.
+ < II ）几（y)= P{Y2 ζy} = P{3X 2ζy}
随缸，之童在某分年 专项练习
1.选择题
(1 ）设 F1 (x）与几（x）均为分布函数，若要使 F(x) ＝ αF 1 Cx)-bF2 (x）也是分布函数，
则常数α与b可取
τ 1(a ＝ 3 ’
(A）斗
lb=-f.
一 一 「
2
I l
α一 3
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UD
JB、
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一〈
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(｜α
＝一
1’ 言
(C）斗
y>O时，Fy ( y) =P{X2 ζy}= P(-./yζ X ζ♂）
俨 I ) -.[y
--lzl 2-
.－J…_
f:= e--'dx=1-e-.fi
r _l__-./y
」 fy ( y) = 2σ
y > 0,
0'
yζ0.
C4)( I）有实根，B2 -4C注0，ρ＝ P{B2 -4C注0}.
B=6时，C =1,2， … ，6;