高考数学-三角函数与立体几何试题5含答案解析

高二年级数学选填训练5
一、单选题
1．直线5cos sin 0,0,6x y πθθθ⎛⎫
+=∈ ⎪⎝⎭
的斜率的取值范围为（ ）
A ．()
,3-∞
B ．()2,+∞
C ．()
(),00,3-∞ D ．(),2-∞
【答案】A 【详解】由5cos sin 0,0,6x y πθθθ⎛⎫
+=∈ ⎪⎝⎭
可得直线的斜率为：cos sin k θθ=-
. 当2πθ=时，0k =；当50,,226πππθ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，1tan k θ=-，因为50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以
()3tan ,0,3θ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
,所以()(),1
ta 0,n 03k θ-∞⋃=-∈；所以()
,3k ∈-∞.故选：A 2．经过点A （3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（ ） A ．70x y +-=或10x y -+= B ．70x y +-=或10x y -+=或430x y -= C ．70x y --=或10x y ++=
D ．70x y +-=或10x y -+=或340x y -= 【答案】B 【详解】①当直线经过原点时，斜率404303k -=
=-，所以直线方程为：4
3
y x =，即430x y -=； ①当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为1x y a a
+=，将点()3,4A 代入，的34
1a a +=，
解得7a =，所以直线方程为：177x y
+=，即70x y +-=；①当直线在两坐标轴上的截距互为相
反数时，设直线方程为1x y a a
+
=-，将点()3,4A 代入，的34
1a a +=-，解得1a =-，所以直线方程为：
111
x y
+=-，即10x y -+=；综上所述，直线方程为：430x y -=或70x y +-=或10x y -+=. 故选：B.
3．ABC 中，若,02A B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，sin sin sin C A B =，则()tan A B +的取值范围是（ ）
A ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭
B ．4,13⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
C ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．41,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】A 【详解】①,02A B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，①cos cos 0A B ≠，①sin sin sin C A B =，即()sin sin sin A B A B +=，
①sin cos cos sin sin sin A B A B A B +=，两边同时除以cos cos A B ，得tan tan tan tan A B A B +=，①tan ,tan 0A B >，①tan tan 2tan tan A B A B +≥，当且仅当tan tan A B =时等号成立，①
tan tan 2tan tan A B A B ≥，即tan tan 4A B ≥，
tan tan tan tan 1
tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan A B A B
A B A B A B
A B
++=
==
---，
①tan tan 4A B ≥，①11
0tan tan 4
A B <≤⋅，①1311tan tan 4
A B -<-≤-⋅，①4
1
1
1
3
1
tan tan A B
-≤
<--⋅，即()tan A B +的取值范围是4,13⎡⎫
--⎪⎢⎣⎭
．故
选：A ．
4．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP ＝x AB ＋
y AD ＋z 1AA ，且0＜＜＜＜1x y z . 则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是（ ） A ．1
B ．1
2
C ．1
3
D ．1
6
【答案】D 【详解】解：若01x y <<<，则P 点只能再现在三棱柱111ACD AC D -中，
若1y z <<，则P 点只能再现在三棱柱1111AA D BB C -中，若要同时满足01x y z <<<<，则P 点只能再现在三棱锥111A A C D -中，又三棱锥111A A C D -的体积1
11(11)3
2
6
V =⨯⨯⨯=.故选：D. 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 上的点且111
2
A M MD =
，N 是棱CD 上的点，记MN 与BC 所成的角为α，MN 与底面ABCD 所成的角为β，二面角M CD A --的平面角为γ，则（ ） A ．αβγ≥≥ B ．αγβ≥≥ C ．γαβ≥≥ D ．γβα≥≥
【答案】B 【详解】作MH AD ⊥于H ，则1//MH AA ，
1A M AH =，从而1HD MD =，而1AA ⊥平面ABCD ，因此有MH ⊥平面
ABCD ，过N 作//NE BC 交AB 于E ，过M 作MF NE ⊥于F ，
则MNF α=∠，
tan MF
MNF FN
∠=,由正方体性质易知MDA ∠为二面角M CD A --的平面角，即MDA γ=∠，
1113tan 223
AA MH MDA DH A D ∠=
==
，
NF ⊂平面ABCD ，则MH NF ⊥，同理MH HN ⊥，MF MH M =，
,MF MH ⊂平面MFH ，所以NF ⊥平面MFH ，又HF ⊂平面MFH ，所以FN HF ⊥，所以HDNF
是矩形，FN DH =，由MH ⊥平面ABCD 知MNH β∠=，tan MH
MNH HN
∠=， 由MF MH ≥，FN HD ≥得
MF MH MH
FN HD NH
≥≥，即tan tan tan αγβ≥≥，,,αβγ均为锐角，所以αγβ≥≥，N 与D 重合时，三角相等．故选：B ．
6．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．
已知在菱形ABCD 中，23AB BD ==， 将ABD △沿BD 进行翻折， 使得26AC =． 按张衡的结论， 三棱锥A BCD -外接球的表面积约为（ ） A ．72
B ．2410
C ．2810
D ．3210
【答案】B 【详解】如图1，取BD 的中点M ，连接AM CM ，
．由23AB AD BD ===，可得ABD △为正三角形，且
32332AM CM ==⨯=，所以22233(26)1
cos 2333
AMC +-∠==-⨯⨯，则
2
1sin 13AMC ⎛⎫
∠=-- ⎪
⎝⎭
22
3
=
，以M 为原点，MC 为x 轴，MD 为y 轴，过点M 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐
标系如图2，则(3,0,0)C ， (1022)A -，，．设O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，则O 在平面BCD 的投影必为BCD △的外心，则设(10)O h ，
，．由222||||R OA OC ==可得2
2
2
2
2
2
20(22)20h h ++-=++，解得2h =
，
所以2
2
||6R OC ==．由张衡的结论，
2
π5
168
≈，所以π10≈，则三棱锥A BCD -的外接球表面积为24π2410R ≈，故选：B ． 7．在ABC 中，7
cos 25
A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ） A ．14
B ．16
C ．24
D ．25
【答案】B 【详解】解：因为ABC 的内切圆的面积为16π，所以ABC 的内切圆半径为4． 设ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ．因为7
cos 25A =，所以24sin 25
A =，所以24tan 7A =．
因为1
sin 2ABC S bc A ==△1()42a b c ++⨯，所以25()6
bc a b c =++．设内切圆与边AC 切于点D ，
与边AB 切于点E ，与边BC 切于点F ，由22tan
242tan 71tan 2
A
A A =
=-可求得3tan 24A =，tan 243
A =-（舍） 所以，3tan
24A ==4AD ，则163
AD =．由三角形内切圆的性质可知,,AD AE BE BF CF CD === 所以，2b c a AD +-=，所以323b c a +=
+．所以2532251626333bc a a ⎛⎫⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 又因为2b c bc +≥，所以
3225162333a a ⎛⎫
+≥+ ⎪⎝⎭
，即2
3210016333a a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，整理得2
1264a a --0≥．因为0a >，所
以16a ≥，当且仅当40
3
b c ==
时，a 取得最小值16．故选：B ． 8．已知三棱锥P ABC -，其中PA ⊥平面ABC ，2PA =，2AB AC ==，2
BAC π
∠=
.已知点Q 为
棱PA （不含端点）上的动点，若光线从点Q 出发，依次经过平面PBC 与平面ABC 反射后重新回到点Q ，则光线经过路径长度的取值范围为（ ） A ．()12,23+ B ．
(
)6,4 C ．43,43⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()
3,23 【答案】C 【详解】依题意可知光线所构成的平面与平面PBC 和平面ABC 均
垂直.如图，取BC 的中点D ，连接,PD AD ，则AD BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为PA AD A ⋂=，所以BC ⊥平面PAD ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAD ；因为PA ⊥平面ABC ，且PA ⊂平面PAD ，所以
平面PAD ⊥平面ABC .所以平面PAD 与平面PBC 和平面ABC 均垂直.因此，问题等价于：光线从线段PA （不含端点）上的点Q 出发，经过,PD AD 反射后重新回到点Q ，求光线经过路径长度的取值范围.以A 为原点，以AD 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示.则()0,2P ，(
)
2,0D
，所以PD 的方程为
12
2x y
+=，即22x y +=，设()0,Q m （02m <<）关于PD 的对称点为(),M a b ，则12
2222b m a a m b -⎧=⎪⎪⎨+⎪⨯+=⎪⎩，
解得()2224,33m m a b -+=
=，即()2224,33m m M ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭
，Q 关于AD 的对称点为()0,N m -，根据几何光学知识可得光线经过路径长度为线段MN 的长度.因为()()()2
2228168482136,169999MN m m m ⎛⎫
=
-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以43,43MN ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
.故选：C. 二、多选题
9．若直线m 被两平行直线1l ：x －y ＋1＝0与2l ：x －y ＋3＝0所截得的线段长为22，则直线m 的倾斜角可以是（ ） A ．15°
B ．30°
C ．60°
D ．75°
【答案】AD 【详解】因为12l l ∥，所以直线1l ，2l 间的距离1322
d -=
=．设直线m 与直线1l ，
2l 分别相交于点B ，A ，则22AB =，过点A 作直线l 垂直于直线1l ，垂足为C ，则2AC d ==，
则在Rt①ABC 中，21
sin 2
22AC ABC AB ∠=
==，所以①ABC ＝30°，又直线1l 的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°．故选：AD ．
10．设非零向量,a b 的夹角为θ，定义运算sin a b a b θ*=.下列叙述正确的是（ ） A ．若0a b *=，则//a b
B ．()
a b c a b a c *+=*+*（c 为任意非零向量）
C ．设在ABC 中，,AB a AC b ==，则2ABC S a b =*△
D ．若1a b ==，则max ()1a b *= 【答案】ACD 【详解】对于A ，
sin 0a b a b θ*==，
sin 0θ∴=，得0θ=或πθ=，∴//a b ，故A 正确；对于B ，
设α，β，γ分别是a 与b c +、a 与b ，a 与c 的夹角，则()
sin a b c a b c α*+=+，sin sin a b a c a b a c βγ*+*=+，
不妨取()()()1,0,0,1,0,1a b c ===-，则
()
sin 1000a b c a b c α*+=+=⨯⨯=，sin sin 1111112a b a c a b a c βγ*+*=+=⨯⨯+⨯⨯=，
此时()
a b c a b a c *+=*+*不成立，故B 错误．对于C ，在ABC 中，已知,AB a AC b ==，则
11
sin sin 22
ABC
S
ab A a b A ==，∴2ABC S a b =*△，故C 正确；对于D ，sin a b a b θ*=，
∴当1a b ==时，sin sin 1a b a b θθ*==≤，当且仅当π
2
θ=
时取等，∴max ()1a b *=，故D 正确；故选：ACD
11．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by c
ax by c
δ++=++，以下命题
中正确的为（ ）
A ．存在实数δ，使得点N 在直线l 上；
B ．若1δ=，则过,M N 的直线与直线l 平行；
C ．若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；
D ．若1δ>，则点,M N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交；
【答案】BCD 【详解】解：对于A 选项，若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故A 不正确；对于B 选项，当0b =时，若1δ=，则121ax c
ax c
+=
+，整理得12x x =，此时直线垂直于x 轴，直线:0l ax c +=也垂直于x 轴，由于N 不在直线l 上，故过M 、N 两点的
直线与直线l 平行；当0b ≠时，若1δ=，则11221ax by c
ax by c
++=
++，整理得()()1221a x x b y y -=-，此
时若12x x =成立，则21y y =，与()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点矛盾，故12x x ≠，所以12
21
y y
a
x x b -=--，
即MN l k k =，所以过M 、N 两点的直线与直线l 平行，综合可知，B 正确；对于C 选项，若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++=即，1212
(
)()022
x x y y a b c ++++=，∴直线l 经过线段MN 的中点，即C 正确；对于D 选项，若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 所以()()12220ax by c ax by c ++++>，且1222ax by c ax by c ++>++，所以点,M N 在直线l 的同一侧且到直线l 的距离不相等，所以直线l 与线段MN 不平行．故D 正确．故选：BCD ．
12．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[][]0,1,0,1λμ∈∈，则下列结论正确的是（ ）
A ．当1//
B P 平面1A BD 时，1B P 可能垂直1CD B ．若1B P 与平面11C
C
D D 所成角为
4
π，则点P 的轨迹长度为2π
C ．当λμ=时，1||DP A P +的最小值为
25
2
+ D ．当1λ=时，正方体经过点1A ､P ､C 的截面面积的取值范围为[
6
2
，2] 【答案】ABD 【详解】对于A 选项：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，
()1,0,0B ，()0,1,0D ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，所以()11,0,1CD =-，11B P BC CP =+11B C CD CC λμ=++(),1,1λμ=--，则()11,0,1BA =-，()1,1,0BD =-，设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =，所以10
0BA n x z BD n x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩
，令1x =，则1y z ==，即平面1A BD 的
一个法向量为()1,1,1n =，若1//B P 平面1A BD ，则10n B P ⋅=，即λμ=，则当1
2
λμ==
时，1110B P CD λμ⋅=+-=，即P 为1CD 中点时，有1//B P 平面1A BD ，且11B P CD ⊥，故A 正确；B 选项：因为11B C ⊥平面11CC D D ，连接1C P ，则11B PC ∠即为1B P 与平面11CC D D 所成角，若1B P 与平面11CC D D 所成角为
4
π，则11111tan 1C P B PC B C ∠==，所以1111C P B C ==，即点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的1
4
个圆，于是点P 的轨
迹长度为
2
π，故B 正确；
C 选项：如图，将平面1CD
D 与平面11A BCD 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1DP A P +的最小值，
利用余弦定理可知222
111111132cos
4
A D A D DD A D DD π=+-⋅，所以122A D =+，故C 错误；D 选项：正方体经过点1A ､P ､C 的截面为平行四边形1A PCH ，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，
()1,1,0C ，()10,0,1A ，()0,1,P t ，所以()1,0,PC t =-，()1
1,1,1AC =-，1
1PC AC t ⋅=+，2
1PC t =+，13AC =，所以点P 到直线1A C 的距离为2
222111||13PC AC t d PC t AC ⎛⎫
⋅+⎛⎫ ⎪=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22223t t -+=，于是当12t =
时，1PAC △的面积取最小值，此时截面面积为62
；当0=t 或1时，1
PAC △的面积取最大值，此时截面面积为2，故D 正确.故选：ABD 三、填空题
13．设R m ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的最大值是______.
【详解】解：由题意可得动直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=可化为
(1)30x m y -+-=，令1030x y -=⎧⎨
-=⎩，可解1
3
x y =⎧⎨=⎩，即()1,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，故两直线垂直，
即交点为P ，222||||||10PA PB AB ∴+==，由基本不等式可得：22
10||||PA PB =+2(||||)2||||
PA PB PA PB =+-2
2||||(||||)2(
)2PA PB PA PB ++-21
(||||)2
PA PB =+， 2(||||)20PA PB ∴+，解得：||||25PA PB +，当且仅当||||5PA PB =时取等号．
14．钝角ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，2c =，3
B π
=，则ABC 面积的取值
范围是______.
【答案】()30,23,2⎛
⎫
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
【详解】因为B C A +=π-，所以
()()sin sin sin sin 3A A B C C ππ⎛
⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭13sin cos cos sin sin cos 3322
C C C C ππ=+=+，
又由正弦定理sin sin a c
A C =得，132sin cos 22sin 31
sin sin tan C C c A a C C C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+， 所以23312tan 22ta 1133sin 2n 2ABC
S
ac B C C ⎛⎫=
=⨯⨯= ⎝+⎪⎪⎭
+ ，因为ABC 为钝角三角形，3B π
=，23
A B C C ππ=--=-，所以当A 为钝角时，223A ππ<<，即22233C πππ<
-< ，故06C π
<< ， 所以3
0tan 3
C <<
，故13tan C >，所以3
232
332ABC
S +>=⨯，
当C 为钝角时，223C ππ<<，所以tan 3C <-，故3103tan C -<<，所以33
22
3330232ABC
S <⎛<⎫⨯-+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭
，即3
02
ABC
S <<
， 综上：302
ABC
S
<<或23ABC
S >，即()
30,23,2ABC S
⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
.故答案为：()30,23,2⎛⎫
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
.
15．如图，在ABC 中，2,6,AC AB ==BAC ∠的内角平分线交BC 于点D ，过C 作CE AD ⊥于点
E ，则
2
CE BE CE
⋅的值是_________.
【答案】3-【详解】
取BC 的中点F ，易得2EC EB EF +=，则()(
)
2
22211
44
CE BE CE BE CE BE EF BC ⎡
⎤⋅=
+--=-⎢
⎥⎣⎦，
过F 作FG AD ⊥交AD 延长线于G ，连接EF ，由角平分线定理可得，
3BD AB CD AC
==，则1
4CD CB DF ==，又,CDE FDG CED FGD ∠=∠∠=∠，则CDE FDG ≅，则ED DG =，则
2
2
2
2
2
4EF EG GF ED GF =+=+，即2
2
2
44BC CD EF DE CE ==+，
，则2
2222214434CE BE EF BC DE CE CD CE ⋅=-=+-=-，所以2
3CE BE CE
⋅=-.故答案为：3-. 16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,2,3AC BC AC AA AB ⊥===，点E ，F 分别是1,AA AB 上的动点，当11C E EF FB ++的长度最小时，三棱锥11B C EF -外接球球面上的点到平面1EFC 的距离的最大值为___________． 【答案】10
12
+
【详解】把平面11AAC C 沿1AA 展开到与平面11ABB A 共面的11AAC C
''的位置，延长1B B 到1B '，使得11BB B B '=，连接1B F '，如图①所示，则11B F B F '=．要使11C E EF FB ++的长度最小，则需1C '，E ，F ，1B '四点共线，此时111111C E EF FB C E EF FB C B ''''++=++=．因为11111114,4,90C B B B B B C ''''==∠=︒，则
11145B B C B '''∠=∠=︒，所以11112,1
BF BB A E AC '=='==， 则11,45AE AF AFE BFB ==∠=∠=︒，所以190B FE ∠=︒，在图①中，①1FEB 是以1EB 为斜边的直
角三角形，①11112,22,10C E C B EB ===，即222
1111C E C B EB +=，所以①11C EB 是以1EB 为斜
边的直角三角形，所以三棱锥11B C EF -的外接球球心为线段1EB 的中点，记为O ，球O 的半径
112R B E =
=
①1C EF 的外接圆半径为r
，11C E EF FC ===， 22211111
cos 23C E EF C F C EF C E EF +-∠==-⋅
，则1sin C EF ∠=
①112sin C F r C EF =
=∠
r = 设球心O 到平面1EFC 的距离为h ，则222r h R +=
即1h ==，则球面上的点到平面1EFC 的
距离的最大值为1
．故答案为：1+．。