【教学随笔】平行与垂直间的互化

平行与垂直间的互化
在证明或判断空间直线与平面的位置关系中，常常在线线平行、线面平行、面面平行之间，或线线垂直、线面垂直、面面垂直间进行相互的转化，而较少涉及平行与垂直间的相互转化.下面就空间的平行与垂直间的转化举例说明.
一﹑线线平行⇒线面垂直
判定方法：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直这个平面.
例1在矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，把△ABE、△CDE分别沿AE、DE向上折起，使B、C重合于点P，求证：BC⊥平面PEF.
证明：∵E、F分别为BC、AD的中点，AD⊥EF.
在矩形ABCD中AB＝CD，∴PA＝PD，∴AD⊥PF.
又EF与PF为平面PEF内的两条相交直线，
∴AD⊥平面PEF ①.
在矩形ABCD中，BC∥AD ②，
由①②，得BC⊥平面PEF.
二、线面垂直⇒线线平行
判定方法：垂直于同一平面的两条直线平行.
例2如图，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，EF为异面直线A1D与AC的公垂线，求证：EF∥BD1.
证明：连结A1C1，由于AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1，
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D ①，
连结B1D1，则B1D1⊥A1C1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴B1D1为BD1在平面A1B1C1D1上的射影，
由三垂线定理知BD1⊥A1C1，
同理可证：BD1⊥DC1，
又A1C1∩DC1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D ②，
由①﹑②可知EF∥BD1.
三﹑面面平行⇒线面垂直
判定方法：如果两个平行平面中的一个平面垂直于一条直线，那么它另一个平面也垂直于这条直线.
例3如图，B为△ACD所在平面外一点，点O为点B在平面ABC上的射影，且M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心.求证：BO⊥平面MNG.
证明：连结BM、BN、BG，并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H，
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心.
∴BM
MP
＝
BN
NF
＝
BG
GH
＝2，
连结PF、FH、PH，则有MN∥PF，
又PF⊂平面ACD，MN／⊂平面ACD，∴MN∥平面ACD，
同理可证MG∥平面ACD，又MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD ①.
又∵，点O为点B在平面ABC上的射影，∴BO⊥平面ACD ②，所以由①②，得BO⊥平面MNG.
四、线面垂直⇒面面平行
判定方法：垂直于同一直线的两个平面平行.
例4如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1. 证明：连结A1C﹑AC，则AC为A1C在平面ABCD内射影，
∵AC⊥BD，∴由三垂线定理知BD⊥A1C，
连结CD1，则CD1为A1C在平面CC1D1D内射影，
∵C1D⊥CD1，∴由三垂线定理知DC1⊥A1C，
又∵DC1∩BD＝D，∴A1C⊥平面BDC1 ①.
同理可证：A1C⊥平面AB1D1 ②，
所以由①②，得：平面AB1D1∥平面BDC1.。