第八章 期权及其二叉树模型

二、以债券为标的资产的期权定价
设以例[8-8]中的债券 为标的资产、执行价X=100的 看涨期权, 在t时期市场上价格为Ct，它的收益如下： 图 8-48
Cd,1m ax(Bd,1票 息 -X,0) =13.77
？
Cu,1max(Bu,1票 息 -X,0) =15.22
为了达到期权定价的目的。与以股票为标的看涨期 权定价理论一样,构造一个无风险套期保值债券组合；购 买一份债券，出售m份看涨期权（以该债券为标的的看 涨期权）。
若是无风险套期保值，此债券组合在到期时的支付 （收益）是一样的。设看涨期权在t期执行，则此债券组 合在t+1期时两个状态的收益相等 。
Bd,t+1 +票息- mCd,t+1= B u,t+1 +票息- mCu,t+1
m= Bdt1 But1 Cdt1 Cut1
由于是无风险债券组合，故有 （Bt- mCt ）（1+rt/2）= Bd t+1 +票息- mCdt+1
t 期债券价格:
BpBdt11pBut1票息
t
1rt
2
例 [8-8] 设初始利率为r=10%,在第二期以q=0.5的概 率上升到12%,以0.5的概率下降到d=8.5%。同时假设债 券的面值D=100在一年期半内每半年支付的红利10, 而 每期初债券的价值是期末支付的期望值的折现,求债券 的价格。如图 8-47
第八章 期权及其二叉树模型
金融期权（financial option）简称为期权是主要的金 融衍生产品，它是金融工程的主要工具,也是构成金融工程 其它金融衍生产品的基础。
期权合约是买卖双方签定的一种协议，该协议赋予期 权购买者在未来某一时刻以事先约定的价格购买(或出售） 某一资产的权利。但是，那时他可以行使他的权利也可 以不行使这个权利。
(一) 股票买卖的收益 (二) 债券买卖的收益 (三) 无风险证券组合的构造: 购入一份股票、一份以此股票为标的看跌期权和卖一 份看涨期权 1. 购入一份股票和一份以此股为标的资产的看涨期权的收益
3. 购入一份股票的收益
4. S+P-C损益的数学表达式： 5. 直接从证券组合的最终收益也可说明该组合是无风险
第三，介绍以债券为标的资产的期权。
第四，讨论n期二叉树模型。
最后，讨论存在交易费用条件下的二叉树模型。
第一节 (欧式)期权及其组合的损益 一、（欧式）期权交易到期的损益分析 设执行价为X，在期权到期时刻T,股票价格为ST （一）看涨期权到期日的损益分析 1. 看涨期权多头（买），（赋予权力） 2. 看涨期权空头（卖），（承担义务） （二）看跌期权到期日损益分析 1. 看跌期权多头(买), (赋予权力) 2. 看跌期权空头(卖), (承担义务)
注2. 此套期保值的证券组合为,买一份股票,卖一份 看涨期权.
注3. 投资的回报率 22/19.13=1.15=1+r.
注4. 由上面推导期权定价的过程可知,期权的价值依赖 于存在一个套期保值的证券组合,以及期权的定价 是要使此套期保值组合获得无风险回报率,即债券 的回报率.
如果期权价格高了(或者低了),则套期保值证券组合 的收益率比无风险收益率高(或低)的回报,无风险套利机 会就存在.
11. W型
Xl XmXu
以例子说明该证券组合：
第二节 期权定价的二叉树模型 一、期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： 设资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用),不存在 无风险套利机会，股票和期权是无限可分的。下一期的 股票价格只取两种可能的值。
先讨论一期模型 ： （一）股票价格的一期变化规律
1r
由一期模型得到的Cu, Cd,代入上式有:
p 2 C u u p 1 p C u d p 1 p C d u 1 p 2C d d
C =
1 r2
p 2 C u u p 1 p C u d p 1 p C d u 1 p 2C d d
C =
1 r2
实际上,上式是两次应用一期模型定价公式得到的, 括号中是 (pCu(1p)Cd)2的二项展式，只不过
第三节 以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型 一、债券价格的二叉树模型 概述
1. 就债券支付状态的变化规律而言,与股票支付状态 的变化规律相反.股票支付状态随着时间的推移逐渐地分 叉，如: 图 8-35
2. 债券支付(收益)在到期日收敛于它的面值,此外多数 债券有票息支付 , 如: 图 8-36 及 图 8-37
3. 蝶式价差买卖(butterfly spread）：
它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一
份执行价格为 X1和一份执行价格为X2的看涨期权，再卖
出两份执行价格为X3的看涨期权。其中，X2> X3 > X1 ，
且
X3
X1
X2 2
4. 底部马鞍式组合 （ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X
CCu1urddCduu(1dr)
1r
令
1 r d
p= ud
u 1 r
1-p= ud
pCu1pCd
C 1r
p称为套期保值概率。
事实上,若投资者是风险中性，则有
(1 r)S q u S (1 q )d S
由此得
1 r d
q= ud
p=q
所以通常也称p为风险中性概率
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ， 求C。
二存在交易费用的二叉树模型分别表示股票数和银行的存款nij表示不存在交易费用模型中所对应的量其中为交易费用的比例买入和卖出金融产品的交易费用都一样而且在k2时结算即兑换出证券组合支付费用且支付期权的价值s11时证券组合的确定s12时证券组合的确定则必须有要构造这个证券组合需要资金f0是这个期权购买者所需要的值
期权定价公式三个有趣的性质：
1.期权的价格不依赖于股票价格上升的概率。尽管投资 2. 者对股票上升的概率有不同的判断,但他仍然只能
接受 3. 与u， d，X，S，r相关联的期权价值，而股票本身
是 4. 引起投资者对q的不同判断的根源。 2. 投资者对风险的态度与期权定价公式无关,所得的结
果只假设人们偏好更多的财富。
3. 股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。
二、期权定价的二期模型 为了得到多期期权价格公式,首先讨论二期模型 设二期无风险利率为r，每期复利一次，则一元钱的投 资到二期后有(1+r)2元，设股票的初始价格为S，
与一期模型一样,为了得到期权的价格，构造无风险套期 保值证券组合,从而得到：
CpCu1pCd
（二）利率期限结构模型方法 在（一）中介绍了给定利率期限结构以及半年期利率 变化规律寻找风险中性概率序列并且应用该序列给债券 定价的方法。另一种债券定价的方法，称为利率期限结 构模型方法：先固定半年期利率在下一期以同样的概率 分别取两个值，然后利用利率期限结构模型计算半年期 利率值，从而构成一个利率树。用所得到的利率树对债 券未来的价值折现就可得到债券的价格。如 图 8-45,8-46
3. 设利率也是取二值的过程：如 :图 8-38
4.设债券面值为D，半年的票息为Ci，i=1,…,2n，若 把此债券看成面值与票息分离的债券，则债券的现金流 相当于2n份面值为Ci和一份面值为D的零息债券。
债券价格树的构造 (一) 风险中性方法 1. 一年期债券的价格树 图 8-39
2. 一年半期债券的价格树 图 3-40
5. 顶部马鞍组合（top straddle 或卖马鞍式)： 卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X
6. 底部梯形组合（Bottom vertical combination 或买 入梯形组合)： 买入一份看涨期权和一份看跌期权,执行价格分别是 X1和X2，其中X2 >X1。
7. 顶部梯形组合（Top vertical combination 或卖出梯 形组合)： 卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格分别为 X1和X2，其中X2 >X1 。
其中rt为无风险利率，将m的值代入上式，我们有：
C t [(B d,t 1票 息 )B t(1 (r B 2 td ),]tC 1u ,t B 1 u,t[ (1B )(u 1 ,t 1r 2 t)票 息 )B t(1r 2 t)]C d,t 1
第四节 n期欧式期权的定价模型
一、二项式及二项分布
二项式试验 (Binomial trials)：称试验结果只有两 个的试验为二项式试验。 如在抛硬币试验中，可能出 现的结果只有两个：正面和反面。硬币可以是均匀的， 也可以不是均匀的。设抛硬币时出现正面的概率为p， 出现反面的概率为1-p. 二项分布告诉我们在n次试验中, 出现k次正面的概率为
Cnkpk(1p)nk
如果到了规定的时间，而不行使这种权利，则这种权 利就失效了。
在协议中约定购买（或出售）的资产称为标的资产。 购买时间称为执行时间，购买价格称为执行价格。具有购 买权利的期权称为看涨期权，具有出售权利的期权称为看 跌期权。
这一章，首先讨论欧式期权及其组合的损益，并以简 明的图象表示出来。
第二，介绍期权定价的二叉树模型。
证券组合
(四) 其他期权组合的收益
1. 牛市价差买卖(bullish vertical spread) ：
购买一份执行价格为X1的看涨期权，卖出一份执行价格 是X2的看涨期权，其中X2 >X1
2. 熊市价差买卖（bearish vertical spread）：
卖出执行价格为X1的看涨期权，买入一份执行价格是 X2 的看涨期权，其中X2 >X1。
n 期欧式看涨期权取值的结果:
max(0,unSX),
m ax(0,un1dSX),K
二、 在(S,W)平面上欧式看涨期权和看跌期权的 损益表示
设股票初始价格为S, 期权的执行价格为股票初始价格，
令
S ST S
W为期权的收益
(一) 在(S,W)平面上看涨期权多头和看涨期权空头 的收益
(二) 在(S,W)平面上看跌期权多头和看跌期权空头 的收益
三、在(S,W)平面上, 股票和债券的收益:(为了说 明问题方便，这里及下面都考虑无风险收益率因素）
购买一份股票，卖掉m份期权，这个证券组合的价值：
由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故在期 末时它在各状态的收益是一样的。由无风险的证券组合 条件，我们有：
uSm C udSC d
由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故有：
（1+r)(S-mC）=uS-mCU
S1rumCu
C= m1r
将m的值代入时,有 (m称为套期保值率hedge ratio)
C uC u,C uC d,C dC u,C dC d 分别用二期之后期权
可能取得的三个值 CuuCudCdd 代替,它们分别是：
C uum ax(0,u2SX)
C udm ax(0,udSX) C ddm ax(0,d2SX)
从另一个角度看, 上式表明:期权价值等于在风险中 性概率下二期收益的期望值折现。
注1. 由此可知套期保值证券组合所需要的投资
2 1 - 1 1 .8 6 9 5 9 6 = 1 9 .1 3
在期末所得到的无风险收益为22.
S - m C = 2 1 - 1 1 . 8 6 9 5 6 5 = 1 9 . 1 3
u S - m C u = 1 . 4 2 1 - 1 7 . 4 = 2 2
注: 条件 u > 1 + r > d 必须成立,否则可能出现套利 机会。
（二）以股票为标的期权价格
设以该股票为标的看涨期权的价格为C,执行价格 为22,则
q C u m a x (0 ,u S X ) 7 .4
C
1-q C dm ax (0 ,d S S ) 1 .1
对此期权如何定价是合理的? 为了解决此问题, 构造一个无风险套期保值的证券组合：
记为Pr(k|n)。例如，试验次数为3，则出现两次正面 的概率为Pr（2|3）。当试验次数不多时，Pr(k|n ）的系 数可以借助帕斯卡三角形（Pascal’s triangle）。每一行 的数据都是由前行相n 邻的两数之和。
试验次数 帕斯卡三角形
0
1
1
11
2
121
3
1331
4
1 46 4 1
出现正面次数 n， n-1，……. n-n 二、 n 期欧式看涨期权的定价公式
8. 叠做期权（Straps）： 购进两个看涨期权和一个看跌期权，它们的执行价与 到期日都相同。
9. 逆叠做期权（Strip）： 购买两份看跌期权 和一份看涨期权，具有相同的执行价 和到期日。
10. 三明治买卖（sandwich ）期权：买两份执行价格为
中间的Xm看涨期权,卖一份执行价为XL的较低价格的看 涨期权,卖一份执行价高Xu的看涨期权，即