九师联盟2024届高三教学质量监测10月联考(新高考卷)数学试题及参考答案

九师联盟2024届高三教学质量监测10月联考（新高考卷）
数学试题及参考答案
一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足
i z
i
-=+13，则=z （）
A .5
B .2
C .3
D .2
2.设集合(){}3ln -==x y x A ，{}1-≤=x x B ，则{}
=≤<-31x x （
）
A .()
B A
C R B .()B A C R C .()
B C A R D .()
B C A R 3.已知()θθcos ,sin P 是角3
π
-
的终边上一点，则=θtan （）
A .3-
B .3
3-C .
3
3D .3
4.已知平面向量b a ，和实数λ，则“b a
λ=”是“b a 与共线”的（）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分又不必要条件
5.扇子是引风用品，夏令营必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或凌娟做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中
θ=∠AOB ,D C ,分别在OB OA ,上，m BD AC ==，弧AB 的长为l ，则该折扇的扇
面ABDC 的面积为（
）
A .()
2θ-l m B .
()2
m l m θ-C .
()22θ-l m D .
()22m l m θ-6.已知6
.023-⎪
⎭⎫
⎝⎛=a ，41log 3
1=b ，9
.032⎪⎭⎫
⎝⎛=c ，则（
）
A .a
c b >>B .b
a c >>C .c a
b >>D .b
c a >>
7.如图，已知两个单位向量OB OA ,和向量OC ，2=OC .
OA 与OC 的夹角为θ，且5
3
cos =
θ，OB 与OC 的夹角为45°，若()R y x OB y OA x OC ∈+=,，则=+y x （
）
A .3
B .2
C .1
D .
2
28.已知函数()()22
ln 2ln x e
a
x x a x x f +-=有三个零点321,,x x x ，且321x x x <<，则a 的取值范围是（
）
A .⎪⎭⎫
⎝⎛--0,12e e B .⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,12e C .⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,21e D .⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,2e 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()⎪⎭
⎫
⎝
⎛
<
>+=2,0sin πϕωϕωx x f ，21,x x 为()x f 的两个极值点，且21x x -的最小值为
2π，直线3π=x 为()x f 的图象的一条对称轴，将()x f 图象向左平移12
π个单位长度后得到函数()x g 的图象，则（
）
A .4
=ωB .6
πϕ-
=C .()x f 的图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,6π对称
D .()x g 的图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2π对称
10.下列式子中最小值为4的是（
）
A .x x 22sin 4sin +
B .x x -+222
C .
x x 22cos 1
sin 1+D .(
)(
)
x
x x x +++-+1ln
1ln
42211.已知函数()x f 的定义域为R ，其导数为()x f '，若R x ∈∀，()()04=--+x f x f ，且()1+x f 为奇函数，()11-='f ，则（
）
A .()01=f
B .4为()x f 的一个周期
C .()1
2='f D .()1
2023='f
12.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，P 为ABC ∆内一点，则下列命题正确的是（
）
A .若032
=++PC PB P A ，则P AC ∆的面积与P AB ∆的面积之比是3:2B .若4
423π
===A b a ，，，则满足条件的三角形有两个C
BC AC BC AB =，则ABC ∆为等腰三角形
D .若点P 是ABC ∆的重心，且03
3
22 =⋅+⋅+⋅PC c PB b P A a ，则ABC ∆为直角三角形
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()x e
x x f 1
-=
，则曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程为.
14.=︒+︒20sin 420tan .
15.函数x
x x
x y cos sin 2cos sin --=
的值域为
.
16.函数()()
()[]()6,03sin 62
∈++--=x a x x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，若
8=+m M ，则=
a .
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知()
x x a sin ,cos 22
= ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x b cos 3,21 ，()b a x f ⋅=.
（1）求函数()x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC ∆中，π12
7
=
+B A ，()1=A f ，32=BC ，求边AC 的长.18.（12分）已知函数()()
x m x f x
-+=1log 3（0>m ，且1≠m ）是偶函数.
（1）求m 的值；
（2）若关于x 的不等式()()()
033332
1≤+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-⋅-a x
x x f 在R 上有解，求实数a 的最
大整数值.
19.（12分）已知αsin 是方程06752
=--x x 的根.
（1）求()()
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-⋅⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπαπαπαππα2cos 2cos tan 2cos 23cos 23sin 的值；
（2）若α是第四象限角，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
201356sin πβπβ，求⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-3sin παβ的值.20.（12分）南京玄武湖称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉.夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有
了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P 在半圆形的中轴线OC 上（图中OC 与直径AB 垂直，P 与C O ,不重合），通过栈道把AB PC PB P A ,,,连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感.已知m AB 200=，θ=∠P AB ，栈道总长度为函数()θf .（1）求()θf ；
（2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P 的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值.
21.（12分）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，S 为ABC ∆的面积，且
()2
22c b S a -+=.
（1）求A tan 的值；
（2）若8=a ，证明：5816≤+<c b .
22.（12分）已知函数()x x e x f x
cos sin --=，()x f '为其导数.
（1）求()x f 在[)∞+-，π上极值点的个数；
（2）若()()R a x ax x f ∈-+≥'cos 22对[)+∞-∈∀,πx 恒成立，求a
的值.
参考答案
一、选择题1.A
解析：由
i z i -=+13，得()()()()
i i i i i i i z 21111313+=+-++=-+=，∴52122=+=z .2.B 解析：由题意得{}
3>=x x A ，∴φ=B A ，则()R B A C R = ，故A 错误；
{}
31>-≤=x x x B A 或 ，则()=B A C R {}31≤<-x x ，故B 正确；
又{}1->=x x B C R ，∴(){}
3>=x x B C A R ，故C 错误；
(){}1->=x x B C A R ，故D 错误.
3.B
解析：21
3cos sin =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=πθ，233sin cos -
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πθ，∴33cos sin tan -==θθθ.4.A 解析：若b a λ=，由共线向量定理知b a 与共线，知“b a
λ=”是“b a 与共线”的充分条件；若b a 与共线，如()()0,02,1==b a ，，则b a λ=不成立，故“b a
λ=”不是“b a 与共线”的必要条件.综上，“b a
λ=”是“b a 与共线”的充分不必要条件.
5.D
解析：由弧长公式可知，OA l ⋅=θ，∴θ
l
OA =
，则m l
OC -=
θ
，∴该折扇的扇面
的面积为：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅2
2121m l l l θθθ()22m l m θ-.
6.C 解析：9
.06
.06
.00
323223231⎪⎭
⎫
⎝⎛>⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-，即c a >>1，又14log 4
1
log 33
1
>=，∴c a b >>.7.D 解析：由[]πθθ，，053cos ∈=，得54531sin 2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=θ，
由题意得245cos 21=
︒⨯=⋅OC OB ，()5
2
45cos 21-
=︒+⨯=⋅θOC OA ，5
3=
⋅OB OA ，在OB y OA x OC +=两边分别点乘OB OA ,，得
y x OC OA 53+
=⋅，y x OC OB +=⋅5
3
，两式相加，得()y x +=-
58522，∴2
2
=+y x .8.D 解析：由题意知0>x ，∴()0=x f 可化为0ln 2ln 2
=+⋅-⎪
⎭
⎫
⎝⎛e a x x a x x ，令()x x x g u ln =
=，则()2ln 1x
x
x g -='，∴当e x <<0时，()0>'x g ，()x g 在()e ,0上单调递增；当e x >时，()0<'x g ，()x g 在()+∞,e 上单调递减，∴()()e
e g x g 1
max =
=，又0→x 时，()-∞→x g ；+∞→x 时，()0→x g ，故()x g 的值域为⎥⎦
⎤ ⎝
⎛∞-e
1,，且其图象如图所示.
则问题转化为()e a
u a u u h +-
=22
的零点：①一个在⎪⎭
⎫ ⎝
⎛e 1,0内，另一个为
e
1
，则()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛>>∆e a e h h 140010
00，即⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<=+->>-e a e a e a e e
a e a
a 4
0021004422无解.②一个在⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
e 1,0内，另一个在(]0，∞-内，若()00=h ，则0=a ，()2
u u h =，
函数()u h 有一个零点，不合题意，则()⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛>0100e h h ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-<02102e
a e a e e
a
，
解得02
<<-
a e
.二、选择题9.BD
解析：∵21,x x 为()x f 的两个极值点，且21x x -的最小值为
2
π
，∴()x f 的周期π=T ，∴22==
T
π
ω，故A 错误；又3π=x 为()x f 的图象的一条对称轴，∴()Z k k ∈+=+ππϕπ2
32，
即()Z k k ∈+-=ππϕ6，∵2πϕ<，∴6
π
ϕ-=，故B 正确；将()x f 图象向左平移12
π
个单位长度，得()x x g 2sin =，
∴0163sin 6≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
πππf ，0sin 2==⎪⎭
⎫
⎝⎛ππg ，故C 错误，D 正确.10.BC
解析：4
sin 4sin 2sin 4sin 22
22
=⨯≥+
x
x x x ，当且仅当x x 22sin 4sin =，即2sin 2
=x 时等号成立，∵1sin ≤x ，∴2sin 2
=x 不成立，故A 错误；
42222222=⨯≥+--x x x x ，当且仅当x x -=222，即1=x 时等号成立，故B 正确；()
4cos sin sin cos 2cos sin cos 1sin 1cos 1sin 12
2222
22222≥++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x
x x x x x x x x x ，当且仅当x
x x x 2
222cos sin sin cos =，即x x cos sin =时等号成立，故C 正确；∵当0=x 时，(
)(
)
01ln
1ln 422=+++-+x x x x ，∴最小值不为4，故D 错误.
11.ABD
解析：∵()1+x f 为奇函数，即()()11+-=+-x f x f ，则()01=f ，
∴()()x f x f +-=-2，又()()04=--+x f x f ，∴()()24+-=+x f x f ，即()()x f x f -=+2，∴()()()x f x f x f =+-=+24，即()x f 的一个周期为4，故A,B 正确；
由()()x f x f -=+2两边求导，得()()x f x f '-=+'2.
∵()()11+-=+-x f x f ，两边求导，得()()()111+'-=-⋅+-'x f x f ，即()()11+'=+-'x f x f ，∴()()x f x f -'='2，
又由()()04=--+x f x f ，两边求导得()()04=-'++'x f x f ，∴()02='f .由()()x f x f =+4两边求导得()()x f x f '=+'4，故()x f '的一个周期为4，∴()()()1112023='-=-'='f f f ，故C 错误，D 正确.
12.ACD 解析：对于A，由032
=++PC PB P A ，得()
PC PB PC P A +-=+2，
分别取BC AC ,的中点E D ,，则PE PD 2-=，∴
3
2
2==∆∆∆∆P AB P AD P AB P AC S S S S ，故A 正确；对于B，b a >，则B A >，∴ABC ∆是以角C 为钝角的钝角三角形，故B 错误；
对于
BC AC BC AB =
，得0=⋅⎪
⎫
⎛+BC AC AB ，
易知
AC AB +BAC ∠的角平分线共线，∴BAC ∠的角平分线与BC 垂直，
故AC AB =，ABC ∆为等腰三角形，故C 正确；
对于D，∵P 是ABC ∆的重心，∴()AC AB AP +=
31，()BC BA BP +=31,()
CA CB CP +=3
1
，代入条件并整理，得
()033233222 =⋅⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-BC c b AC c a AB b a ，又AB AC BC -=，代入并整理，得
0334233222 =⋅⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-AC c b a AB c b a ，∵AC AB ,不共线，∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-+=+-0
334203
3222c b a c
b a ，解得⎩⎨⎧==a
c a b 32.
∴2
2
2
2
4b a c a ==+，故B 为直角，∴ABC ∆为直角三角形，故D 正确.二、填空题13.0
12=--y x 解析：()()()
x x x
x e
x
e e x e x
f -=
--=
'212
，∴()20='f ，又()10-=f ，故所求切线方程为()()021-=--x y ，即012=--y x .
14.3
解析：︒
︒
︒+︒=
︒+︒︒=
︒+︒20cos 20cos 20sin 420sin 20sin 420cos 20sin 20sin 420tan ()3
20cos 20sin 20cos 320sin 20cos 2060sin 220sin 20cos 40sin 220sin =︒
︒
-︒+︒=︒︒-︒+︒=︒︒+︒=
15.⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-522522，解析：令x x t cos sin -=，则()
222
1cos sin 2
≤≤--=t t x x ，∴2
32t
t
y +=()
22≤≤-t ，当0=t 时，0=y ，当22≤≤-
t ，且0≠t 时，t
t y 32+
=
，令t
t u 3+
=，已知u 的值域为⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，
52
2522 ，∴t
t y 32
+
=的取值范围为⎦⎤
⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-52200522，， .综上所述，所求函数的值域为⎦⎤
⎢⎣
⎡-522522，.16.1
解析：()()
()()[]
()a x x x a x x x x x f ++---=++--=3sin 933sin 62
2
，
令[]()3,33-∈-=t x t ，则原函数变为()
a t t t y +++-=3sin 92
，
令()()
[]()3,3sin 92
-∈+-=t t t t t g ，∴()a t g y ++=3，
∴()a t g M ++=3max ，()a t g m ++=3min ，∴()()a t g t g m M 26min max +++=+.
∵()()t g t g -=-，∴()t g 为奇函数，∴()()0min max =+t g t g ，∴826=+=+a m M ，解得1=a .
三、解答题
17.解：（1）由题意得
()2162sin 2sin 232cos 2121cos sin 3cos 2+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=
+=πx x x x x x x f ，
∴()x f 的最小正周期ππ
==2
2T ,令
()Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ2236222，解得()Z k k x k ∈+≤≤+ππππ3
26，∴()x f 的单调递减区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡++ππππ326，.
（2）由（1）知()12
1
62sin =+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
=πA A f ,∴2162sin =⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πA ，又()π，0∈A ，∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈+613662πππ，A ，∴6562ππ=+
A ，∴3π=A .∵π127=+
B A ，∴4
π=B ，
由正弦定理得
A
BC
B A
C sin sin =
，∴222
3
22
32sin sin =⨯
==A B BC AC .
18.解：（1）∵()x f 为偶函数，∴()()x f x f -=对任意的R x ∈恒成立，即()()
x m x m x x
-+=++-1log 1log 33对任意的R x ∈恒成立，
又(
)()()
m x m m m m
m m
x
x x x
x x
333333log 1log log 1log 1log 1log -+=-+=+=+-，∴(
)(
)
x m x m x m x
x
-+=+-+1log log 1log 333对任意的R x ∈恒成立，即()02log 3=-m x 对任意的R x ∈恒成立，必须02log 3=-m ，即9=m ，故9=m .
（2）由（1）知，()()
x x f x
-+=19log 3，故()
()x x x x f x 3
1333
19log 3+==-+.
设()()
()233≥+=-t t x x ，则23132++=x x t ，即23
132
-=+t x x ，
∴圆原问题等价于关于t 的不等式0132
12
≤-+-a t t 在[)∞+，2上有解，
∴max
21321⎪⎭⎫
⎝⎛--≤t t a ，又()[)+∞∈+--=--=,2,21132113212
2t t t t y ，
∴当3=t 时，211max =
y ，∴211≤a ，故实数a 的最大整数值为5.19.解：（1）由αsin 是方程06752=--x x 的根，得53sin -=α或2sin =α（舍），原式()()
αααααππαsin sin tan cos 23cos 23sin -⋅-⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=()()ααααααα
ααααcos sin cos sin cos cos sin tan cos sin cos 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=---=.由53sin -
=α，∴α是第三象限或第四象限角，若α是第三象限角，则54cos -=α，此时54cos =-α；若α是第四象限角，则54cos =α，此时54cos -=-α.故所求式子的值为54或54-.（2）由（1）知，当α是第四象限角时，53sin -=α，54cos =α，由⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-201356sin πβπβ，得13126cos =⎪⎭⎫ ⎝
⎛-πβ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-απβπαπβπαβ6cos 26sin 6sin απβαπβsin 6sin cos 6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=653353135541312=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=.20.解：（1）由题意知θ=∠P AB ，4
0πθ<
<，AB OC ⊥,100==OB OA ,则θcos 100==PB P A ，θtan 100=PO ，∴θtan 100100-=PC ，∴()200tan 100100cos 200+-+=+++=θθθAB PC PB P A f ⎪⎭⎫ ⎝
⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=403cos sin 2100πθθθ.（2）建造栈道的费用()()⎪⎭⎫
⎝⎛+-==3cos sin 25005θθθθf F ，()θθθ2cos 1sin 2500-⨯='F ，令()0='θF ，得21sin =θ，又40πθ<<，∴6
πθ=.
当60πθ<<时，()0<'θF ，当4
6πθπ<<时，()0>'θF ，∴()θF 在⎪⎭⎫
⎝⎛60π，上单调递减，在⎪⎭⎫
⎝⎛46ππ，上单调递增，∴()()
335006min +=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πθF F ，此时331001006tan 100100-=-=πPC ，故观景台位于离岸边半圆弧中点距离⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
33100100米时，建造费用()33500+万元.21.解：（1）∵ABC ∆的面积为A bc S sin 21=
，()222c b a S --=，∴bc c b a A bc 2sin 222+--=，由余弦定理得A bc c b a cos 22
22-=--,∴A bc bc A bc cos 22sin --，∵0≠bc ，∴2cos 2sin =+A A ，又⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，A ，1cos sin 22=+A A ，∴2sin 12sin 2=-+A A ，
化简得0sin 4sin 52=-A A ，解得54sin =
A 或0sin =A （不合题意，舍去）.∵⎪⎭⎫
⎝⎛∈20π，A ，∴53sin 1cos 2=-=A A ，3
4cos sin tan ==A A A .（2）证明：由正弦定理，得105
4
8sin sin sin ====A a C c B b ，∴()B A C c B b +===sin 10sin 10sin 10，，
∴()()ϕ+=+=++=+B B B B A B c b sin 58cos 8sin 16sin 10sin 10，
其中ϕ为锐角，且5
52cos 55sin ==ϕϕ，.∵⎪⎭⎫
⎝⎛∈20π，A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πϕ，，∴2
2πϕπ<-<-A ，又ϕsin sin >A ，∴ϕ>A ，∴20πϕ<
-<A ，∴220πϕπ<+-<A ，
又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<2020ππB C ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<--<2020πππB B A ，∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<-<<-202π
ππB A B A ，∴22ππ<<-B A .∴ϕπϕϕπ+<+<+-2
2B A ，∵函数x y sin =在⎪⎭⎫
⎝⎛20π，上单调递增，在⎪⎭⎫
⎝⎛ππ，2上单调递减，且()A A A A sin sin cos cos cos 2sin ϕϕϕϕπ+=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-55
2545553552=⨯+⨯=552cos 2sin ==⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ϕϕπ，∴()58sin 5852
58≤+<⨯ϕB ，即5816≤+<c b .
22.解：（1）()⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=+-='4sin 2sin cos πx e x x e x f x x ，①当43ππ-<≤-x 时，πππ-<-≤-445x ，∴04sin 2>⎪⎭⎫ ⎝
⎛-πx ，又0>x e ，∴()0>'x f ，∴()x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡
--43ππ，
上单调递增；②当243ππ-<≤-x 时，4
34πππ-<-≤-x ，∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=''4cos 2πx e x f x ，且1<x e ，14cos 2-<⎪⎭⎫ ⎝
⎛-≤-πx ，∴()0<''x f ，∴()x f '在⎪⎭⎫⎢⎣⎡--24
3ππ，上单调递减，又04343>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'-ππe f ，0122<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'-π
πe f ，∴存在⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈24
30ππ，x ，使得()00='x f ，且在⎪⎭⎫ ⎝⎛-043x π上，()00>'x f ，在⎪⎭⎫ ⎝
⎛-2,0πx 上，()00<'x f ，
∴()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-043x π上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝
⎛-2,0πx 上单调递减；③当02<≤-x π时，4443πππ-<-≤-x ，∴14sin 22-≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛-≤-πx ，又1<x e ，∴()0<'x f ，故()x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-
02π上单调递减；④当40π<≤x 时，044<-≤-ππx ，∴04sin 21<⎪⎭⎫ ⎝
⎛-≤-πx ，又1≥x e ，∴()0≥'x f ，当且仅当0=x 时取等号，∴()x f 在⎪⎭⎫
⎢⎣⎡40π，上单调递增；⑤当4π≥x 时，04≥-πx ，24>≥πe e x ，24sin 2->⎪⎭⎫ ⎝
⎛-πx ，∴()0>'x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，4π上恒成立，∴()x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，4π上单调递增.综上所述，()x f 在[)0,x π-上单调递增，在()0,0x 上单调递减，在[)∞+，0上单调递增，∴()x f 在[)∞+-，π上仅有2个极值点.
（2）当π-≥x 时，()()R a x ax x f ∈-+≥'cos 22恒成立，
即()R a ax x x e x
∈≥--++02cos sin ，令()2cos sin --++=ax x x e x x
ϕ，则()0≥x ϕ，∵()0≥x ϕ且()00=ϕ，∴当0=x 时，()x ϕ取得最小值.
()a x x e x x -+-='cos sin ϕ，
则0=x 为函数()x ϕ的极小值点，故()020=-='a ϕ，解得2=a .
下面证明：当2=a 时，0=x 为函数()x ϕ的最小值点，()2cos sin -+-='x x e x x
ϕ.令()2cos sin -+-=x x e x h x ，()()x f x x e x h x
=--='sin cos ，由（1）知，()01>+=--ππe f ，∴当π-≥x 时，()x f 的最小值为()00=f ，∴函数()0≥'x h 在[)∞+-，π上恒成立，
∴()x h （即()x ϕ'）在[)∞+-，π上单调递增，
又()00='ϕ，∴当0<≤-x π时，()0<'x ϕ；当0>x 时，()0>'x ϕ，∴函数()x ϕ在[)0，π-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，
∴()()00=≥ϕϕx ，符合题意.
综上所述，2=a .。