全等三角形总结与复习好

例4:下面条件中, 不能证出Rt△ABC≌Rt△A' B'C'的是[ C] (A.)AC=A'C' , BC=B'C' (B.)AB=A'B' , AC=A'C' (C.) AB=B'C' , AC=A'C' (D.)∠B=∠B' , AB=A'B'
例5：如图，在△ABC 中，AD⊥
BC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，
AD、CE交于点H，请你添加一个适 当的条件： BE=EH △AEH≌△CEB。 ，使
总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
D
A
E
B
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条 直线上求证：BE=AD E 证明： ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA B C D A
在△ACD和△BCE中
边的距离相等）
1.角平分线的性质：
2.角平分线的判定：
到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）． ∴点Q在∠AOB的平分线上．（到角的两边的距
离相等的点在角的平分线上）
1、如图AD=BC，要判定 △ABC≌△CDA，还需要的条件 是 ＡＢ＝ＣＤ 或∠1＝∠2 .
的 两边距离相等） . 又∵点 F在∠CBD 的平分线上，
交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
G M
H
FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换） ∴点F在∠DAE的平分线上
3、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。 c
高
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C，那么补充下列一具条件后，仍无法判 定△ABE≌△ACD的是( ) B
A．AD=AE
C．BE=CD
B． ∠AEB=∠ADC
D．AB=AC
例2：已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC， 垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点， ∠1=∠2，图中全等的三角形共有( ) D B．2对 C．3对 D．4对 A．1对
充的条件可以是
或 DC=BF D C
AB=ED
或 AC=EF
或 BC=DF
A
E
F B
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练习
2：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 （只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知： EG∥AF
求证： A
E B G D C F
∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD
在△ABC和△ABD中
AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在 BM上, PD⊥AB于D，PE⊥BC于E
A G F D H C E
B
例5：已知 AC=DB, ∠1=∠2. 求证: ∠A=∠D
A 1 2 D 证明：在△ABC和△DCB中 C AC=DB
B
∠1=∠2
BC=CB ∴ △ABC≌△DCB （SAS）
∴ ∠A=∠D
例8：如图，已知AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,AE=CF 求证：△ABF≌△CDE
D
F E A B
证明：∵ DE⊥AC,BF⊥AC C ∴ ∠AFB=∠CED=90°
∵ AE=CF
∴ AE+EF=CF+EF 即 AF=CE
在RT△ABF和RT△CDE中
AF=CE AB=CD ∴ RT△ABF≌RT△CDE (HL)
例9：如图，已知AC∥EF,DE∥BA,若使△ABC≌△EDF,还需要补
较难较综合题目
找全等形 1.如图，AB∥CD， BC∥AD， AE∥CF， 则图中全等三角形有( ) A 3对 D C B 4对 E C 5对 D 6对 F A B
找全等形 2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC， 连 结BD、CD并延长交AC、AB于E、F， 则图中全等三角形有( ) A A 3对 B 4对 C 5对 E F D 6对 D B C
B
D
C
E
P27
P27
拓展题
8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
求证:BC∥EF
F E D
A B C
12.已知：如图：在△ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在BE上 截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。 • 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
答：
D
△ABC≌△DEF ∴ ∠A=∠D ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ △ABC≌△DEF （SAS）
证明： ∵ AB∥DE
A
7.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
P B
N C
求线段大小 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D 到AB的距离为 。 A
B
D
C
求角大小 7.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C =70°，BE=CD，BD=CF，则∠EDF = 。 A F C
E B D
证角的关系 8.如图，AD平分∠BAC，AB>AC，BD =CD。 求证： ∠B+∠ACD=180°。 C A D
D
2 1
C
A
B
2、如图,已知AC平分∠BCD,要说明 △ABC≌△ADC,还需要增加一个什 么条件?请说明理由。
B
BC=CD
或∠3=∠4 或∠B=∠D
C
1 2
3 4
A
D
3：如图所示，AB=AD，∠E=∠C
要想使△ABC≌△ADE可以添加的条 件是
∠EDA=∠B AAS A ∠DAE=∠BAC ∠BAD=∠EAC
B A ND P M F C
E ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距
离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相
证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM（角平分线上的点到这个角
F
B E D
C 图1
运动变化 (2)若将图1中的直线AD绕点A旋转到图 2的位置，其他条件不变，则(1)中的结 论还成立吗？若不成立，则应该有怎样 的关系式？请在图2中画出图形，并说 D 明理由。 A
边为角的对边 找任一角 AAS 找夹角的另一边 SAS ② 已知一边一角 边为角的邻边 找边的对角 AAS
找夹边 ASA ③已知两角 找任一边 AAS
找夹角的另一角 ASA
二.角的平分线： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平 分线上 (已知） ∴ QD＝QE（角的平分线上的点到角的两
AC=BC ∠BCE=∠DCA
变式：以上条件不变，将
DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD
△ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于六十度）， 以上的结论海成立吗？
6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形？请任选一对给予证明。 E F C B
依据是
E
B
D
C
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边 (SSS) （1）：已知两边---找夹角 （SAS) 找这边的另一个邻角(ASA) 已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角--已知一边和它的对角 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS) 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS)
(3):已知两角---
题型二：给出条件并非三角形的 边或角
1、如图,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC, 说明∠EFD=∠BCA的理由。
E A F C B D
题型二：给出条件并非三角形的 边或角
2、如图，已知，∠C＝∠E，∠1＝∠2， AB＝AD，△ABC和△ADE全等吗？为什 么？
A 13 B 2 E
2、如图:AC和DB相交于点O,若 AB=DC，AC=DB，则∠B=∠C,请说 明理由. A D
O
B
C
题型四：多次利用全等
1：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么 AC等于AD吗？为什么？
C 3
解：AC=AD 理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4
A
E 4 D
1 2
EB=EB B
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 （割）
A
B
2、把一个三角形移到另一位置， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补）
例6：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。 1 AD ( AB AC ) 已知：如图，AD是△ABC 的中线，求证： 2 证明： 延长AD到E，使DE＝AD，连结BE A ∵ AD是△ABC 的中线 ∴ BD＝CD 又 ∵ DE＝AD ADC EDB ∴ △ADC ≌ △EDB ∴ AC = EB 在△ABE中，AE < AB+BE＝AB+AC 即 2AD < AB+AC 1 ∴ AD ( AB AC ) 2
证边相等 3.如图，已知AB∥DE，AB=DE， ∠1=∠2。 A 求证：BG=DF。
1
B
C
G
2
F E
D
证边相等 4.已知：如图，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足 为F，且DB=DC。 E 求证：BE=CF。 D B
A F
C
证边相等 5.已知：如图，已知BD是∠ABC的平 分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥ AD于M，PN⊥CD于N。 A 求证：PM=PN。 M D
全等三角形 小结与复习
知识点
1.全等三角形的性质:
Baidu Nhomakorabea
对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。 2.全等三角形的判定: ①一般三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS ②直角三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS、HL
知识点
3.三角形全等的证题思路：
找夹角 SAS ① 已知两边找另一边 SSS 找直角 HL
D
C
题型三：添加辅助线
1、如图，ＡＢ=ＣD，ＡＤ=ＣB， 试说明∠B=∠D。
Ａ Ｂ
Ｄ
Ｃ
拓展延伸
变式：如图，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ， 试说明△ABＤ≌ △ＣＤＢ。
Ａ
1
Ｂ
4
3
Ｄ
2
Ｃ
试一试：
2、如图:AC和DB相交于点O,若 AB=DC，AC=DB，则∠A=∠D,请说 明理由. A D
O
B
C
试一试：
线段和差 11.如图，在△ABC中，AC=BC， ∠C=90°，BD平分∠ABC。 求证：AB=BC+CD。 B
C
D
A
线段和差 12.如图，BD是△ABC的边AC上的中线， AE⊥BD于E， CF⊥BD交延长线 于F。 求证：BE+BF=2BD。 A F
E B
D
C
运动变化 13.如图1，在△ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°，分别过点B、C作点过 点A的直线AD的垂线，垂足分别为E、 F。 A (1)求证：AE=BE+EF。
B
面积问题 9.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E， DF⊥BC于F，S△ABC=36，AB=18， BC=12。求DE的长。 A E
D B F C
面积问题 10.已知：如图，AC与DE相交于点F， 且AF=CF，DF=EF，BC=12cm， △ABC中BC边上的高为15cm，求四 边形BCDE的面积。 C D F A E B