4.1 函数 八年级上册北师大版

探究新知
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图象法
列表法
关系式 法
表示函数的一般方法有哪些呢？
表示函数的一般 方法有：
列表法、关系式 法和图象法.
探究新知 素养考点 1 利用函数的定义判断函数
例 下列关于变量x ，y 的关系式：①y =2x+3；②y =x2+3；
③y =2|x|；④ y x ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关
当t为-27℃时， T= -27+273=24Biblioteka Baidu（℃）;
当t为0℃时， T=0+273=273（℃）;
当t为18℃时， T=18+273=291（℃）.
（2）给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T
值吗？ 解：是，因为t ≥ -273时， T≥0.
唯一一个T值
探究新知
上面的三个问题中，有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数n、物体总数y； ③摄氏温度t 、热力学温度T.
（1）当t分别为-43 ℃， -27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应 的热力学温度T是多少？
（2）给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T 值吗？
探究新知
探究新知
（1）当t分别为-43 ℃， -27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的
热力学温度T是多少？
解：当t为-43℃时， T= -43+273=230（℃）;
这个问题中的变 量有几个？分别
是什么？
填写下表：
层数与物体总数
层数n
1
2
3
4
5
…
物体总数y 1
3
6
10 15 …
只要给定层数，就能求出物体总数.
探究新知
探究新知
2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273 ℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃作为热力 学温度的零度.热力学温度T（K）与摄氏温度t（℃）之间有 如下数量关系：T=t+273，T≥0.
探究新知
知探识究点新2知 函数值及自变量的取值范围
注意：要根 据实际问题确定自
上述问题中，自变量能取哪些值？ 变量的取值范围.
探究新知
函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a， 函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自 变量等于a时的函数值． 即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b 叫做当x=a时的函数值．
探究新知
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？ 解:(3)当 x = 200时,函数y的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.
巩固练习
变式训练
下列函数中自变量x的取值范围是什么？
（1）y 3x 1 ;
（3）y x 5 ;
（2）y
x
2. 了解函数的三种表达方式，并会用含有一个 变量的代数式表示另一个变量. 1. 理解函数及其相关概念，并能判断两个变 量之间的关系是不是函数关系.
探究新知
知引识入点新1知 函数及相关概念
如果你坐在摩天 轮上，随着时间的变 化，你离开地面的高 度是如何变化的？
由低变高， 再由高变低.
探究新知
h（米）
1
2
;
(4)y 3 2x 1 .
解:（1） x取全体实数;
（2） 由x+2≠0得 x≠-2 ;
（3） 由x-5≥0得 x 5;
使函数解 析式有意 义的自变 量的全体.
（4） x取全体实数.
探究新知
素养考点 2 求函数的值
例2
已知函数 y 4x 2 .
x 1
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
0.1x表示的意义是什么？
探究新知
（2）指出自变量x的取值范围； 解:(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0
得 0 ≤ x ≤ 500， 所以自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500.
汽车行驶里程，油 箱中的油量均不能
为负数！
提示：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析 式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
系的是 ① ② ③ ．
提示：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一 个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
巩固练习
变式训练
下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎
样改变，才能使y是x的函数？
（1）y 2x 3
（2）y
x
1 1
（3） y x 2
解：（1）、（2）中y是x的函数，因为对于x的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与其对应；（3）中，y不是x的函 数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其 对应.将关系式改为 y x 2 或 y x 2 ，都能使y 是x的函数.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值， 相应地就确定了另一个变量的值.
探究新知
小结
函数
一般地，如果在一个变化过程中有两 个变量x和y，并且对于变量x的每一个值， 变量y都有唯一的值与它对应，那么我们 称y是x的函数，其中x是自变量.
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中 两个变量之间的关系.
（2）y是x的函数吗？为什么？ 答：不是，因为y的值不是唯一的.
课堂检测
基础巩固题
5.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x（单位：m） 落下时弹跳高度y（单位：m）与下落高度x的关系，据表可以写 出的一个关系式是 y=0.5x ．
课堂检测
能力提升题
据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长 22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我 省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ B ） A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a
巩固练习
变式训练
变量x与y的对应关系如下表所示：
x 1 4 9 16 25 … y ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 … 问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的函数，可 以怎样改动表格？
解：y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都 有两个确定的值与其对应. 要使y是x的函数，可以将表 格中y的每一个值中的“±”改为“＋”或“－”.
（千米），则y关于x的函数解析式是（ D ）
A．y＝4x（x≥0） C．y＝3﹣4x（x≥0）
B．y＝4x﹣3（
x
3 4
D．y＝3﹣4x（0 x
） 3）
4
课堂检测
基础巩固题
1. 在下图中，不能表示y是x的函数的是（ D ）
A
B
C
D
课堂检测
基础巩固题
2.下列说法中，不正确的是（ C ） A.函数不是数，而是一种关系 B.多边形的内角和是边数的函数 C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数
3.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( C )
A. y 3x2 C. y x(x 0)
B. y 1
x
D. y 18x
课堂检测
基础巩固题
4.填表并回答问题：
x
1
y=+2x 2和－2
4
9
16
8和－8 18和－18 32和－32
（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？ 答： 不是 .
把自变量x的值代 入关系式中，即 可求出函数的值.
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
解：（1）当x=2时，y 4 2-2 =2 ; 2+1
当x=3时，y
5 2
;
当x=-3时，y=7.
（2）令
4x 2 x 1
=0，解得
x
1 2
，即当
x
1 2
时，y=0.
巩固练习
变式训练
已知函数 y 36-2x.2 (1)当x=3时,求函数y的值; (2)当y=2时,求自变量x的值.
北师大版 数学 八年级 上册
4.1 函数
导入新知
万物皆变
行星在宇宙中的位置随时间而变化
导入新知 气温随海拔而变化
导入新知 汽车行驶里程随行驶时间而变化
导入新知 为了更深刻地认识千变万化的世界，本节课，我们将
学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变 化的规律.
素养目标
3. 经历对具体实例的研究过程,进一步发展抽象 思维能力.
解:(1)当x=3时, y 36-2x2 36-2 32 18 3 2 .
(2)当y=2时,可得到 2 36-2x2 ,则4=36-2x2,即x2=16, 解得x=±4.
连接中考
已知A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千
米/小时，若用x表示行走的时间（小时），y表示余下的路程
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变 量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确 定时对应的因变量的值．
探究新知 素养考点 1 确定自变量的取值范围
例1 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的 油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少， 平均耗油量为0.1L/km. （1）写出表示y与x的函数关系的式子. 叫做函数的解析式
探究新知
探究新知
如图反映了摩天轮
上一点的高度h（m）与
旋转时间t（min）之间的
关系. （1）根据右图填表：
t/min 0
1
2
3
4
5
…
h/m 3 13 36 47 36 13 …
（2）对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？确定
探究新知
探究新知
做一做 1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.
随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
解析：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b 万件，所以b=（1+22.1%）2a． 故选：B．
课堂检测 拓广探索题
我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里， 一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8 元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收 费为y（元）. （1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的 关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
探究新知
h（米）
45
37
11 3
t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
探究新知
h（米）
47
36
15 3
t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
探究新知
h（米）
47
36
15 3
t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
课堂小结
概念：函数在某个变化过程中，如果有两 个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变 量，y是x的函数.
函数
函数的关系式：三种表示方法
自变量的取值范围 函数值
1.使函数解析式有意义 2.符合实际意义
课后作业
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
探究新知
h（米）
15
3
t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
探究新知
h（米）
36
15 3
t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
探究新知
h（米）
47
36
15 3
t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解：（1）当0＜x≤3时，y=8； 当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6. 当x=2时，y=8； x=6时，y=1.8×3＋8=13.4.
课堂检测
拓广探索题
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
解：当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的 每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.