现代设计方法---优化设计

E=2×105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用
料最省的方案。
优化目标
用料最省
V 1 d 2L
4
d
F M
L
强度条件
max
FL 0.1d 3
w
M
0.2d 3
条件 刚度条件
f
FL3 3EJ
64FL3
3Ed 4
f
边界条件 L Lmin 8c14m
例3 设某车间生产A和B两种产品，每种产品各有两道工序，分 别由两台机器完成这两道工序，其工时列于表中。若每台机器每 周至多工作40小时。产品A的单价为200元，产品B的单价为500 元。问每周A、B产品应各生产多少件，可使总产值为最高。 （这是生产规划的最优化问题）
F —弹簧在负荷P作用下所产生的变形量
n —弹簧的有效圈数
d —弹簧材料的直径
G —弹簧材料的切变模量
3
• 根据上式，如己知或先预定 D2、n、d、G 各参数，通过多次试算、
修改，就有可能得到压簧刚度等于或接近于 的设P计参数。
• 刚度公式也可以写成一般的多元函数表达式，即
• 式中 代表性y能指f 标(xi ) ， 是i 设 1计,2参,量,，N分别代 表 、y 、 、 ，所以P xi 。
0 x L
x b
图1－2
这一优化设计问题是具有两个设计变 量(即x和α)的非线性规划问题。
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例2：有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷
F=1000N和扭矩M=100N·m。由于结构需要，轴的长度L不得小于
8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力[σW]=120MPa，许用扭转切 应力[τ]=80MPa，允许挠度[f]=0.01cm，密度ρ=7.8t/m3，弹性模量
• 对G于一d 个n多元D函2 数，如N要求4函数值一定，固然可以通过适当选
定各 值来满足要求。但在 既有一定数值范围限制又包括部
分离散x i量的情况下，即使经过x i多次试算，修改，也难获得理想
结果。计算量也会随着试算次数的增多而加大。
4
• 2．表格法
这种方法始于20世纪30年代。它仍以一定的理论计算公式 为根据，参照常用离散数列及规范，预制出系统的表格，供 设计者直接查阅。目的在于简化设计过程、减少重复试算量。 如螺旋状拉、压弹簧设计中所用曲度系数表格。
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• 2．目标函数
✓ 概念：以所选定的设计变量为自变量，以所要求的性能指标 为因变量，并按一定关系所建立起来的函数式。
✓ 它反映了设计性能要求与设计参数之间的关系。由于目标函 数的函数值大小可以评价设计质量的优劣，也称为评价函数。
✓ 设计变量的个数，确定了目标函数的维数。设计变量的幂及 函数的性态，确定了目标函数的性质。
D2
1.05 1.1 1.15 1.2 1.28 1.3 1.4 1.5 1.8
2.0
K
图1-1 曲度系数K值线图
6
• 4．利用一元函数极值理论的设计方法
• 这种方法始于20世纪40年代末，目的在于获得理论上的最优 设计性能，是优化设计的萌芽。
• 如某一设计的性能指标为 y，诸设计参量为 xi ，并保持一定
表1-1 弹簧旋绕比的选择
d (mm)
C D2 d
0.2~0.4 0.45~1 1.1~2.2 2.5~6 7~16 7~14 5~12 5~10 4~10 4~8
表1-2 弹簧旋绕比与曲度系数对照表
C
4
5
6
7 89
K 1.40 1.31 1.25 1.21 1.18 1.16
18~24 4~6
10 1.14
现代设计方法
第二部分 优化设计 （ Optimal design ）
1
第一章 优化设计的基本知识
§1-1 概论
寻找最优的决策以获得最好的经济效果，就促使最优化技术 迅速发展。评价一种设计方法优劣的主要根据，是设计质量及 设计速度。设计质量取决于所用的基本理论是否正确及设计方 法恰当与否，设计速度则取决于设计方法及运算辅助工具。为 提高设计质量与设计速度，采用最佳的优化设计方法是极其重 要的。
优化设计是现代设计方法的一个重要领域，已经广泛应用到 各个领域，如在生产中，如何使成本最低？如何合理地分配资 源获得最大经济效益？如何使设计的机械在满足各项功能的前 提下，使其重量最低、造价最低等。优化设计技术的应用，成 为促进国民经济多、快、好、省地发展的有效方法。
2
优化设计的改进历史：
• 1．试算法
(1) 按有无约束：无约束优化问题和有约束优化问题。 (2) 按设计变量的性质：连续变量、离散变量和带参变量。 (3) 按问题的物理结构：优化控制问题和非优化控制问题。 (4) 按模型所包含方程式的特性：线性规划、非线性规划、二
次规划和几何规划等。 (5) 按变量的确定性性质：确定性规划和随机规划。
函数关系
y f (xi )
i 1,2,, n
• y 的极大值或极小值，表征了设计的最优性能
• 必要条件： y(x*) 0
• 充分条件：在x*点存在二阶连续偏导数。当 y(x* ) 0 时为
极大；当 y(x*) 0 时为极小。
• 所确定的设计参量，即为获得最优性能所应选用的具体值。
• 实际上，绝大多数设计都非一元问题。
§1-2 优化设计的术语及概念
一、实际技术问题及其数学模型
例1 现有一块薄铁皮，宽度 b =14厘米，长度L = 24厘米，制成 如图所示的梯形槽，求斜边长 x 和倾角α为多大时，槽的容积 最大 。
L
max A 1 (24 2x) (24 2x 2x cos ) x sin
2
f (x, )*
具体使用方法是：如
选d 11mm，D2 41 mm ，先分
别在d 线及 D2 线上找到相应的 两点，然后联结d — D2并延长，
与 K 线相交，交点即为K 值， 等于1.44。
31.75 19.05 15.9 11.0 9.53 6.35
4.76 3.18
d
304
152
50.8 41 38.7
25.4 19 9.5 3.2
制订上表的根据是曲度系数计算式
：
K
4C 4C
1 4
0.615 C
在选定C后，依上表即可查得K值。如表列数值不理想，尚须
插值求解。
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• 3．图算法
这种方法始于20世纪40年代。 它也以一定的理论公式为根据， 建立图尺方程，确定图尺系数， 作出具有专用图线的算图。这些 专用图线，避免了函数值的离散 化，使用时也需用插值法求中间 值。
✓ 可以利用一定方法，将约束形式相互转变。如 g(xi ) 0，可转 变为 g(xi ) 0 ；亦可转变为 g(xi ) xi 0 。
✓ 在所需求解的问题中，有时并无约束，有时则有约束。
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• 4.设计空间及设计可行域
✓ 为便于分析、研究，应用矩阵向量的知识，可将设计模型转化 为设计空间，并在此空间内，讨论择优过程。
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常 用 优 化 方 法 的 分 类
线性规划
匈牙利法 整数规划
单纯形法
隐枚举法
割平面法
标准单纯形法
修正单纯形法 对偶单纯形法
牛顿法
一维搜索法
分数法
0.618法
平分法
抛物线法
无约束非 线性规划
使用导数
优 化 方 法
非线性规划
不使用导数
几何规划 动态规划
约束非线 性规划
直接解法
间接解法 Auriel-Williams法 修正简约梯度法 分析解法 数值解法
优化算法各种各样，但大
多数方法都是采用数值法，其
基本思想是搜索、迭代和逼近。
就是说，在求解时，从某一初
始点x0出发，利用函数在某一 局部区域的性质和信息，确定
下一步迭代的搜索方向和步长，
去寻找新的迭代点x1。然后用
x1取代x0，(对于极小化问题) d0 x1点的目标函数值应比x0点的
值为小。
x0
d2 x2 d1
分类：一为直接法（数值法）：直接计算函数值、比较函数值， 并以之作为迭代，收敛根据的方法。 二为间接法（解析法）： 以多变量函数极值理论为依据，利用函数性态、以之作为迭代， 收敛根据的方法。两种方法的择优、运算过程，皆按预编程序 在计算机上进行。故在有的技术领域中，亦将此过程称之为自 动设计。
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优化设计的基本思想
• 这种设计方法虽有理论意义，但较少具有实用价值。
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• 5．优化设计法 (最优化设计Optimal Design)
起源：始于上世纪50年代末，而普及应用于70年代 概念：是以数学规划理论为基础，以电子数学计算为辅助工具的
一种设计方法
原理：将优化技术应用于设计过程之中，最终获得较理想的设计 参数，由于这种设计一般多在完成初始设计之后进行，最终获 得优化参数及结果，故称之为优化设计。
✓ 如果所选的设计变量与所要求的性能指标之间无精确的函数 关系，亦可采用曲线拟合、多元回归或其他近似计算方法，获 得近似的函数式作为目标函数。
✓ 如果在同一设计中，需要满足一个以上的性能指标，则可分 别建立一个以上的目标函数表达式，并以之作为初始模型。这 种目标函数称为多目标函数。
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• 3．约束条件
✓ 如将设计方案抽象为一个空间向量X，并将与之有关的各设计 变量抽象为各分向量(x1，x2，…… xn)，且各分向量线性独立， 则以各分向量为轴所构成的空间，即为设计空间。如有n个独 立的设计变量，就可相应地构成n维空间。称为n维欧氏空间， 记为En 。
n 2 则有
X
x1 x2
(
x1
,
x2
1、美国BELL公司利用优化方法解决450个设计变量的大型结构 优化问题。一个机翼质量减轻了35%
2、波音公司，在747的机身设计中收到了减轻质量、缩短生产 周期、降低成本的效果。
3、武汉钢铁公司从德国引进的1700薄板轧机，经该公司自主优
化之后，就多盈利几百万欧元。
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优化设计的分类
根据优化问题的不同特征，可有不同的分类方法。
三次插值法
有理插值法
坐标轮换法 一阶梯度法
牛顿法
共轭梯度法
变尺度法 随机搜索法
单纯形加速法
共轭方向法和Powell法
Hooke-Jeeves模式搜索法 随机试验法 随机方向法
复合形法 可行方向法 等式约束
不等式约束 加等式约束
消元法
拉格朗日乘子法
罚函数法 内点罚函数法 外点罚函数法 混合点罚函数法
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工时 工序
产品 A B
第一道
1.5 小时 5 小时
第二道
2 小时 4 小时
解： 设该车间每周应生产产品A、B分别为 x1、x2件。则有约束
条件为：
12.x51x1
4
5x2 40 x2 40
而且
x1 0 ,
x2 0
该车间每周的总产值为最大就是目标函数，即：
S 200 x1 500 x2 max f (x1, x2 )
这种方法始于20世纪20代末。试算法以一定的理论公式为 根据，利用已知或假定的技术条件，通过多次试算、修改， 最终获得适用的设计参数。
例如，设计一个刚度P一定的圆柱形螺旋压簧，可以根据
下列刚度公式进行试算：
P
P
Gd 4
式中
P—弹簧所受的轴向负荷，
F 8nD23
P d 3 0
D2—弹簧的平均直径，简称中径 8KD2
x1
x3 d3 xk
xk+1 dk
xk+1 = xk + akdk
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机械优化设计的优点
1. 使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能 2. 使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行 3. 使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能 4. 使零缺陷（废品）设计成为可能 5. 大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量 6. 大大提高了生产效率，降低了产品开发周期
)T
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n3
则有
x1
X
x2
( x1 ,
x2
,
x3
)T
x3
nn
则有x1 X源自x2 (x1,
x2
,
xn
)T
xn
✓ 显然，在设计空间中的每一个点，都唯一地确定了一个空间向 量，它代表了一组分向量及其数值，实际上也就代表了一种具 体的设计方案。
✓ 如在设计空间中存在着使目标函数达到极值的点，则该点就代
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二、术语
• 1．设计变量
✓ 概念：设计变量是设计模型的基本成分，是设计最后所需确 定的参数。设计变量的个数，即是所需求解问题的维数。
✓ 确定原则：在满足设计基本要求的前提下，应恰当确定设计 变量的数目，尽可能把影响不大的参数定为设计常量，只把 对目标函数影响较大的独立参数选为设计变量。
✓ 设计变量的分类： １)连续变量：可以在实数范围内连续取值的变量。 ２)离散变量：只能在给定数列或集合中取值的变量。
✓ 概念：对设计变量的取值加以某些限制的条件称为约束条件。 ✓ 分类：包括常量约束与约束方程两类。常量约束亦称边界约束，
它表明设计变量的允许取值范围。约束方程亦称性能约束，它 是以所选定的设计变量为自变量，利用几何关系、设计规 范，……建立起来的函数式，它常用来限制某些设计性能。约 束方程又分不等式约束和等式约束。