等差数列的求和公式ppt课件

n,求这个数列
的通项公式，这个数列是等差数列吗?如果是，它的
首项与公差分别是什么？
解：Sn a1 a2 an1 an
Sn1 a1 a2 an1(n 1)
当n
>1时：an
sn
sn1
n2
1 n [(n 1)2 2
1 (n 1)] 2
2n
1 2
①
由当数此n=列可1时{知a：n：}的a数1通列项s{1a公n}1是式2 以为12a32n为1首223n项，12也.公满差足为①2的式等. 差数列13 .
11
例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是 310，前20 项的和是1220，由这些条件能确定这等差数列的前n项和的
公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前n项和 的公式后，可以得到两个关于首项和公差 的关系式，他们是关于首项和公差的二元 一次方程，由此可以求得首项和公差，从 而得到所求的前n项和的告诉.
分析：方 程思想和 前n项和 公式相结
合
解：由题意知：S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d
得到
2100aa1114950dd
310 1220
解方程得
ad1
4 6
Sn
n4
n(n 1) 2
6＝3n2
n
12
例3.已知数列{an}的前n项和为Sn
n2
1 2
例4.已知等差数列5，4 72，3 74，....的前n项和为Sn,
求使得Sn最大的序号n的值. 【解析】由题意知，等差数列的公差为
5
于是S，n 当 5nn取与n(1n52最1)接(近75的) 整数154即(n7或 1825时)2，7
练习1、在等差数2 列 an 中，
1125
56
Sn 取最大值
Sn an (an d ) (an 2d ) [an (n 1)d ]
n个 2Sn （a1 an ) （a1 an ) （a1 an )
n（a1 an )
Sn
n（a1 an ) 2
8
例2 等差数列-10，-6，-2，2， …前多少项的和为54？
德国著名数学家
2
探究发现
问题 ：图案中，第1层到第100层一共有多少颗 宝石？
1
100
32
99
89
获得算法：
100(1 100)
S100
2
5050
100
1
3
问题1：1+2+3+…+n=?
解：Q Sn 1 2 3 L (n 1) n
Sn n (n 1) (n 2) L 2 1
2.3等差数列前n项和(1)
1
我国数列求和的概念起源很早，在南北朝时，张丘 建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》中给
出等差数列求和问题.观察归纳
1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100
1+100=101 2+ 99=101
3+ …98…=101
高斯
50+ 51=101
(1777年-1855年) (100+1) × 100/2 =5050
a1 20, an 54, Sn 999, 求n.
仍是 知三 求一
答案: 27
提示：999 n 20+54
2
练习2、等差数列－10，－6，－2，2，…的前_____
项的和为54？ 答案: n=9，或n=-3（舍去）
提示：Q d 4,54 10n n n 1 4
2
14
1.等差数列前n项和Sn公式的推导
Sn a1 an11 an1 an11 an
2
2
2
S n
n2 (a a )
n
n 1 2
1 2 (a1
(a1 an
an )
)a
a n1
2
n 1
2 a
2
n 1 2
a1 an 2
1n
6
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即： Sn=a1+a2+…+an
Sn= a1 + a2 + a3 +… + an-2 + an-1 + an Sn= an + an-1+ an-2 +… + a3 + a2 + a1
解：则设令a题1S＝n＝中－5的140等，，差由d＝数等－列差6是数－｛列（a前－n｝n1项0，）和前＝公n4项式和，为得S：n 方知三程求思二想
解得 n1＝9，n2＝－3（舍去） 因此,等差数列的前9项和是 54 例3.在等差数列{an }中
(1)已知 : a2 a5 a12 a15 36, 求S16
2Sn (114n4) 4(14 2n) 4L4 4(143n)
n
Sn
n(n 1) 2
(倒 序 相 加 法）
4
1.公式推导
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即：
Sn a1 a2 a3 ...... an1 an
a1+a2+a3+a4…+ an-2+ an-1+an=
若m n p q, 则am an a paq m、n、p、q N *
a1+an = a2+an-1 = a3+an-2 =……
问题是一共有多少个 a1+an
似乎与n的奇偶有关
5
设等差数列{an}前n项和为Sn ,则
Sn a1 a2 an1 an
(1)当n为偶数时 Sn a1 an an 1 an
2
2
(2) 当nS为n 奇数n2时(a1 an )
算 法 ：
a1 an a2 an1 a3 an2 ......
倒 序
两式相加得: 2Sn = (a1+an )×n
相 加
Sn
n(a1 an ) 2
求 和
7
等差数列的前n项和公式的另一种推导
对公差为 d的等差数列，我们用以 下两种方式表示 Sn :
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ]
(2)已知：a6 20, 求S11
(1)解:由已知得：2(a2 a15) 36 a2 a15 18
整体思想认识公式
S16
16(a1 2
a16 )
Sn
n(a1 2
an )
8(a2
a15 )
S16
818
144 9
例 题 解 析
例2：等差数列{an}中, d=4, an=18, Sn=48,求a1的值。
解： 由
an= a1+(n-1)d
n(n 1)
Sn na1
d
2
得： 18= a1+(n-1)4
n(n 1)
48 na1
4
2
解得： n = 4 或 n = 6
a1=6
a1= -2
10
例 3、2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于 在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市 据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年的时间,在全市中小学建成不 同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校 校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工程 的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增 加 50 万元,那么从 2001 年起的未来 10 年内,该 市在“校校通”工程中的总投入是多少?
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 2
1)
d
说明：求和公式的使用-------知Fra bibliotek求一.15