刚体功和能、角动量

m,l
只有重力产生力矩
o
棒上各部分重力矩之和 等于全部重力集中于质心 对轴的力矩
mg
(1)M Jα α
mg l cos 1 ml2 3g cos
2
3
2l
(2)α ω
α max
(θ
0) θα
0(θ
π) 2
d dt 3g cosdt d
2l
d
d
3g
cosd
0
2l 0
ω 3g sin θ/l θπ2ω 3g/l
o
W重
2 Md
0
m,l
2 mg
l
c osd
0
2
1 mgl
mg
2
（2）由动能定理求末态角速度：
W Ek Ek0
m,l
1 mgl 1 J 2 0
o
2
2
1 mgl 1 (1 ml 2 ) 2
2
23
3g
mg
l
解（二）：应用机械能守恒定律
1 mgl 1 J 2 0
2
2
解（三）：应用转动定律
m
ω
m
r2 r1
演示 (一)茹可夫斯基凳
m
ω
m
r2 r1
花样滑冰 跳水 J z J 00 c
再如：跳水运动员的“团身--展体” 动作，当运动员跳水时团身，转动惯量 较小，转速较快；在入水前展体，转动 惯量增大，转速降低，垂直入水。
滑冰运动员的旋转
猫的下落
(3)两个同轴刚体系统的角动量守恒
开始时盘载人相对地面以角速度 0 匀速
转动,然后此人垂直圆盘半径相对于盘以 速率 v 沿与盘转动相反方向作圆周运动, 已知圆盘对中心轴的转动惯量为 MR2 / 2, 人可视为质点,求: （1）圆盘对地的角速度。 （2）欲使圆盘对地静止,人沿着 R/2 圆周 对圆盘的速度 v 的大小及方向？
解：取人和盘为系统，
40
2v＋
R
盘地
M
R2盘地 / 2
盘地 (21R
2v) / 21R
0
(2)若要 盘地 0，
则要21R 2v 0， 0
得v 21R 0 / 2
四、刚体定轴转动的角动量定理（积分形式）
1.刚体定轴转动的角动量
质点 i 绕 Z 轴作圆周运动
的角动量 Li ri mi vi
刚体（质点组）沿Z轴的 角动量
解：人＋转盘，L 守恒：
J1 mR 2
m
z
z
J11 J22 0
d
d
J1 dt J2 dt
J2
1 2
MR
2
R M
J1d J2d
0
0
J1θ J2Θ Θ J1 2π 2m 2
Θ θ 2π
J1 J2
2m M
解法（二）：人＋转盘，L 守恒： z
mR2 1 MR2 0
2
mz
2 Md 2 J d d
d
dt
2 Jd
1
1 dt
1
A
1 2
J22
1 2
J12
Ek 2
Ek1
A Ek2 Ek1
M、ω1、 ω2是对于同一转轴的！
4. Gravitational potential energy of a rigid body near the earth’s surface 刚体对地面的重力势能： Δmi
r
ri
mi
vi
L Li (rimivi )
(r 2imi) J L J
P
mv
非刚体也是质点组，只要组内的各部分 对定轴有同一的角速度，上式也可以表示非 刚体的角动量！
2.质点系的角动量定理：
i （MM外i外MM内质i内） 点 dd的Lti角dd动Lti量定ddt理（:i质L点i）LM 系i的i 角Ld动idLt量i
Element
work元功:
dA
F
dr
F
|
dr|
cos
F cos rd
dr r
F sin i rd
F Md
Work:
A 2 Md 1
外力的功==外力矩的功
3. Work-energy Theorem for rotational
motion 转动的动能定理：
integrate M J J
共同角速度
J 11 J 22
J1 J2
1 2
啮合过程机械能损失 E E E 0
克服直升飞机机身反转的措施：
装置尾浆推动大 气产生克服机身 反转的力矩
装置反向转动的双 旋翼产生反向角动 量而相互抵消
TV 角动量守恒定律 (G01，G02)
§5-3 刚体的定点运动 一、基本特征 二、 现象 三、解释
§5-2
刚体定轴转动的运动定律
三、刚体定轴转动的能量关系
1. 转动动能：
Kinetic energy of dm:
v r
dEk
1 v2dm 2
1 2
r 2 2dm
Ek
1 r 2 2dm
2
1 2
r 2dm
2
rr dm
1 J 2 （J , Ek ）
2
（飞轮储能）
Ek
1 mv2 2
2.Work done by a torque力矩的功:
2.受力分析，确定作功的力矩。
3.确定始末两态的动能，Ek0、Ek。 4.列方程求解。
例1：一均匀细杆质量为m，长度为l，一端固定在
光滑水平轴上，由静止从水平位置摆下，求细杆摆 到铅直位置时的角速度。
解（一）：应用动能定理
以杆为研究对象，只有重力产生力矩，
且重力矩随摆角变化而变化。
（1）重力矩作功：
3 L M,L 4
m
过程2 质点、细棒上摆
系统中包括地球，只有保守 内力作功，所以机械能守恒。
设末态为势能零点
o
Ml
1 1 Ml 2 ml 2 2
23
0
m
Mg l 1 cos mg l1 cos 2
2
两式联
细棒势能
质点势能
立得解
应用转动动能定理解题方法
1.确定研究对象。
W Ek Ek0
Ep mi ghi g mihi C×
The height of center of mass is:
hc
mi hi m
hC
hi
Ep= 0
EP mghC 视为质量集中到质心上
5. Conservation of Mechanical Energy 机械能守恒
The total mechanical energy of system consisting of rigid bodies and particles remains constant if the only force that does work is conservative.
2. P16-2均匀细棒 oA 可绕通过其一端 o 而 与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所 示.今使棒从水平位置由静止开始自由下 落,在棒摆动到竖直位置的过程中,下列情 况哪一种说法是正确的? (A) 角速度从小到大,角加速度从大到小.
(B) 角速度从小到大,角加速度从小到大.
(C) 角速度从大到小, o
F
F O
[A]
4.一个人站在有光滑固定转轴的转动平台 上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把 此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、 哑铃与转动平台组成的系统的
（A）机械能守恒,角动量守恒; （B）机械能守恒,角动量不守恒, （C）机械能不守恒,角动量守恒; （D）机械能不守恒,角动量不守恒.
[C]
相对运动：
解得
mR2
mR2 1 MR2
2
R M
t
dt
0
2m 2m M
t
dt
0
2m 2m M
2
例3：在摩擦系数为m的桌面上有细杆，质量为 m、长度为 l，以初始角速度 0 绕垂直于杆的
质心轴转动，问细杆经过多长时间停止转动。
0
m,l o
m
解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的支 持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。
m2 v1
A
示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o
v2
的转动惯量 J= ml2/ 3 )
解：选m1和m2为系统，由于碰撞时间极
o
短，故系统角动量守恒，选逆时针方向为正，
则有：m 2 v1 l m 2 v2 l (m1 l2 / 3) ①
碰后m1在转动过程仅受摩擦力矩M
J11 J 22 J110 J 2 20 演示：直升飞机尾浆
例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分 别为 1 、2，求两飞轮啮合后共同的角速度 。啮
合过程机械能损失。 解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,
J1 J2
合外力矩为0，系统角动量守恒。
L0 L J 11 J 22 (J 1 J 2 )
由角动量定理：
t
t0
Mdt L L0
0t
5. P16-6两个均质圆盘 A 和 B 的密度分别为
A和 B，若 A> B ，但两圆盘的质量与厚
度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴 的转动惯量各为 JA和 JB，则
（A）JA>JB
（B）JB>JA
（C）JA=JB
（D）JA、JB哪个大，不能确定。
[B]
例2 转盘上站立一人，沿边缘行走一周。
求: 转盘转过的角度。
P19-22质量为 m1、长为 l 的均匀细
杆,静止平放在滑动摩擦系数为 m 的
水平桌面上,它可绕过其端点 o 且与 桌面垂直的固定光滑轴转动,另有一
o
水平运动的质量为m2的小滑块,从侧 面垂直与杆的另一端 A 相碰撞,设碰
m1
l
撞时间极短,已知小滑块在碰撞前后 的速度分别为 v1 和 v2 ,方向如图所
i fij
ri
f ji
j
rj
内力矩不改变质点系的总角动量， 但可以改变各质点的角动量。
3. 刚体定轴转动的角动量定理：
M外
dL dt
M dL dt
t
t0
Mdt L L0
（一般的质点系）
一个刚体
NOTE:
t t0
r Mdt
Jr
Jr 0
（1）L，M是对同一固定轴的。
（2）物体的各部分对定轴有同一 角速度的非 刚体，上式也适用！（非刚体中的内力改变质 量分布和形状，改变了转动惯量，但内力矩的 和仍为零！）
M 外 0 系统的角动量守恒.
R /2
Ro
v
(1)开始系统的角动量为
m
12 R
2
0
1 2
M
R 20
R R 后来：m 1 4
2
1 人地 2 M
2
盘地
人地
＋
人盘
盘地
2
m
1 2
R
0
1 2
M
R20
m
1 4
R 2 人地
1 2
M
R 2 盘地
R
R /2
o
v
21 M
R 20 / 40
M R2
作用，
r
m1
l
m2 v1
A
M r 大小为 :
v2
M
r
0l mdm 1 gx
0l
m
m l
1
gxdx
1 2
m
m
1
gl
②
在恒力矩M r 作用下，m1 转动t时间停止，
由角动量定理得：
0l M r dt
0
1 3
m
1
l2
③
联立方程 ①、②、③ 解得：
t 2 m 2 (v1 v2) / m m1 g
17、在半径为 R 的具有光滑竖直固定中心 轴的水平圆盘上,有一人静止站立在距转 轴为 R/2 处,人的质量是圆盘质量的 1/10,
确定细杆受的摩擦力矩
细杆的质量密度为：
m /l
分割质量元dm
m,l o
l/2 m
dm dx
质元受的摩擦力矩 dM mdmgx
0
dm l / 2 x dx x
细杆受的摩擦力矩
M
l /2 l / 2
dM
20l /2 gmxdx
1 mmgl
4
始末两态的角动量为： L0 J 0 , L 0
1.P16-4一轻绳跨过一具有水平光滑轴、 质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质 量m1 和 m2 的物体 (m1< m2)，如图所示.绳 与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时
针方向转动，则绳的张力
(A) 处处相等. (B) 左边大于右边. (C) 右边大于左边. (D) 无法判断.
•o
m1
m2
[C]
五、刚体定轴转动的角动量守恒定律:
if , M ext 0
L L0
L const
由多个刚 体组成的 刚体体系
Jii J00
i
i
(1) 单个刚体角动量守恒
Mz 0
回转仪 L const 大小、方向都不变！导航!
(2)单个非刚体角动量守恒
J z J 00 c 机械能不守恒!
M内 Mi内 (ri fij ) 0 （已证或见下页）
i
i
ji
于是有：
M外
dL dt
— 质点系角动量定理
若合外力矩等于零，则质点系的角动量守恒！
一对内力对某固定点的力矩之和为零
ri
(
rfi ijrjr)jfifj
ji
0
d
r f r f
i
ij
j
ji
0
0
Fijd 向里 Fjid 向外
Aex Ain,nco 0
E ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱE0
例1 质点与质量均匀的细棒相撞(如图)
设，完全非弹性碰撞
M
l
o
求：棒摆的最大角度
解：过程1 质点与细棒相碰撞 0
碰撞过程中系统对o 点
m
的合力矩为 M 0
所以，系统对o点的角动量守恒。即，
L1 L2
m0l
1 3
Ml
2
ml
2
1
弹回、穿透、子弹打在中间的 情况下,上式如何?
A
角加速度从大到小.
(D) 角速度从大到小,
角加速度从小到大.
[A]
3. P16-3一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的
轴 o 以角速度 按图示方向转动,若如图
所示的情况那样,将两个大小相等方向相 反但不在同一条直线的力 F 沿盘面同时作
用到盘上,则盘的角速度
（A）必然增大;（B）必然减少; （C）不会改变;（D）如何变化,不能确定。