高等数学1.5极限运算法则

二、求极限方法举例
2x3 3x2 5 . 例4 求 lim 3 2 x 7 x 4 x 1
分子分母的极限都是无穷大 解 x 时， 先用
( 型) xຫໍສະໝຸດ 3再求极限 分出无穷小， 去除分子分母，
3 2 2 x3 3 x2 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
例如 ,当x 0时,
1 x sin , x
1 x arctan x
2
都是无穷小
推论1 常数与无穷小的乘积是 无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积 也是无穷小.
§5. 极限运算法则
极限运算法则 定理3
设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
( 2) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
f ( x) A ( 3) lim , 其中 B 0. g( x ) B
定理3 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B; 分析： 要证 ( f ( x ) g ( x )) ( A B ) 0 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B . 证
有
u
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x0 2 时有 M u M , M

当 x x0 时
u
是无穷小.
1、无穷小的运算性质: 定理1. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
有 f [ g ( x )] A
x x0有u
a
u a
成立.
定理4（复合函数的极限运算法则） 设 g ( x ) u ,
o
x x0
lim u a， U ( x0 ) 时 g ( x ) u a， lim g ( x ) x x 且 x
0
lim f [ g ( x )] lim f ( u) A， 则有 x 又 lim x u a u a
当 x X1 时 有 ; 当 x X 2 时 有

2
;
取 X max{ X 1 , X 2 }, 当 x X 时有

2 2 .

1、无穷小的运算性质:
定理1. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 lim x sin( ) x 0 x
0
0
sin x 1. lim x 0 x
二、求极限方法举例
1 x, 例7 设 f ( x ) 2 x 1,
解：x
x0
x0 , 求 lim f ( x ). x0 x0
两个单侧极限为 0 是函数的分段点，
x0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1,
0
u 在 U ( x0 , 1 ) 内 有界, M 0, 当 0 x x0 1 时, 有 u M .
又设 是当 x x0 时的无穷小
0, 2 0, 使得当 0 x x0 2 时
有
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x0 2 时有 M
x2
小结: 1. 设 f ( x ) a0 x n a1 x n 1 an ,
x x0
0 0
证明 lim x x 0 .
x x0
n n 1 a ( lim x ) a ( lim x ) an lim f ( x ) 0 x x 1 x x
则有 a b
二、求极限方法举例
lim x x 0 . lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n . 证明 x x
x 1 . 例1 求 lim 2 x2 x 3 x 5
3
0
2 2 3 x lim 5 lim lim x lim ( x 3 x 5) 解 x2 x2 x2 x2
x lim 5 (lim x ) 3 lim x2 x2
2 x2
2 3 2 5 3 0,
2
3 x 1 7 2 1 x2 x2 . lim 2 3 x2 x 3 x 5 3 lim( x 2 3 x 5)
3
lim x 3 lim1
解
x 1 时， 分子分母的极限都是零
x 1 ( x 1)( x 1) lim lim 2 x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
0 ( 型) 0
x1 lim x 1 x 3
1 . 2
(消去零因子法)
x 1 先后再求极限 先约去不为零的无穷小因子，
有 g( x ) a
x U ( x0 , 0)
o
有g( x ) a，
1 2 n 例如 lim( 2 2 2 ). n n n n
是无限多个无穷小之和 其结果不是无穷小 n 时， 定理2 有界函数 与无穷小 的乘积 是无穷小.
1、无穷小的运算性质: 定理1. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 证 设 有界函数 与无穷小 的乘积是无穷小.
(1)成立.
A ( x ),
x 0时的无穷小.
1、无穷小的运算性质: 推论1 如果 lim f ( x ) 存在，C为常数，则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
常数因子可以提到极限记号外面. n为正整数，则 推论2 如果 lim f ( x ) 存在，
lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n . xn A, lim y n B y n , 如果 lim 定理4 设有数列xn 、 n n

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设
u 在 U ( x0 , 1 ) 内 有界, M 0, 当 0 x x0 1 时, 有 u M .
又设 是当 x x0 时的无穷小
0
0, 2 0, 使得当 0 x x0 2 时
则有 lim (xn y n ) A B ；lim xn y n A B n n
y n 0 (n 1,2),
定理5
xn B 0 ，lim n y n
A B
(x) (x), 而 lim (x) a, lim (x) b,
u a
x x0
u a，
则有 lim A，
意义： lim
x x0
f [ g ( x )]
x x0 令 u g( x )
f [ g ( x )]
lim f ( u ) A. u a
lim f ( u)
x x sin u sin u 2 lim 2 lim u 0 u x 0 x x ０ ＝x0有u ０ ＝a 2 分析 0, 0, 使当 0 x x 时, 0
由无穷小与无穷大的关系P41,
4x 1 . lim 2 x 1 x 2 x 3
1 ( 2) lim f ( x ) 0, 且f ( x ) 0 lim . x x0 x x0 f ( x ) ( x ) ( x )
二、求极限方法举例
x2 1 . 例3 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
a 0 x 0 a1 x 0
n
n 1
a n f ( x 0 ).
P( x) , 且Q( x0 ) 0, 则有 2. 设 f ( x ) Q( x )
x x0
lim f ( x ) x x
lim P ( x )
0
x x0
P ( x0 ) f ( x 0 ). lim Q( x ) Q ( x 0 )
m m 1
a0 b0
无穷小分出法:
以分母中自变量的最高次幂除分子, 分母,以分出无穷小,然后再求极限.
二、求极限方法举例 例5 解
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
n 时， 是无限多个无穷小之和
先变形再求极限. 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim 1 2 n n n n n n n2
5 3 x 2. 1 7 x3
二、求极限方法举例 小结: 当 a0 0, b0 0, m和n 为非负整数时有
n m, a0 x a1 x am lim n m, 0 n n 1 x b x b x bn 0 1 n m,
0
f (u)
A.
f ( u) A, 则 0, 0, 使当 0 u a 时 证 lim u a
又 lim g ( x ) a , 0 有 f ( u) A 成立； x x
0
取＝

对于 0, 1 0, 当 0 x x0 1 时
则有 lim (xn y n ) A B ；lim xn y n A B n n
y n 0 (n 1,2),
xn B 0 ，lim n y n
A B
1、无穷小的运算性质:
xn A, lim y n B y n , 如果 lim 定理4 设有数列xn 、 n n
如果 Q( x0 ) 0, 商的法则不能用
4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
x 1
商的法则不能用
又 lim(4 x 1)
x 1
3 0,
x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
第一章 函数与极限 第五节 极限运算法则
• 一、极限运算法则 • 二、求极限方法举例
1、无穷小的运算性质: 极限为零的函数称为无穷小. 定理1. 在同一过程中, 有限个无穷小 的代数和 仍是无穷小. 证: 设 、 是 x 时的无穷小 要证：
0, X 1 0,

2
X 2 0, 使得
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim ( 1 ) . lim n 2 n n 2 n2
二、求极限方法举例
sin x 例6 求 lim . x x
解
y
sin x x
1 当 ( x ) 时， 是无穷小 x
sin x 是有界函数
sin x lim x x
f ( x ) A , g ( x ) B . 其中、 0
由无穷小运算法则,得 0.
定理1 lim f ( x ) A f ( x ) 其中 ( x ) 是当 x
x x0
[ f ( x ) g ( x )] ( A B )
2 1, lim f ( x ) lim ( x 1) x0
y y 1 x
x0
左右极限存在且相等,
1
y x2 1
故 lim f ( x )
x 0
1.
o
x
x x0
定理4（复合函数的极限运算法则） 设 g ( x ) u , o lim g ( x ) lim u a， 且 x U ( x0 ) 时, g ( x ) 又 lim f ( u)